描述
开 本: 16开包 装: 平装是否套装: 否国际标准书号ISBN: 9787030432803
编辑推荐
《对偶三角模-三角余模逻辑及推理》可作为非经典逻辑、推理及应用研究的学者的参考资料, 也可以作为数学、计算机、智能控制、不确定信息处理等相关专业的硕士研究生和博士研究生的教学参考书.
内容简介
非经典逻辑及推理的种类和成果颇多, 限于篇幅，《对偶三角模-三角余模逻辑及推理》总结作者2005 年以来关于概率论、Lawry 的适当测度理论、刘宝碇的不确定理论、模糊集理论与数理逻辑理论的结合研究成果. 根据非经典命题和谓词的不确定性的各种特征，作者分别提出了相应的逻辑和推理方法, 概括其本质分别称为*命题的概率逻辑、Vague 命题的Lawry 对偶三角模-三角余模逻辑，不确定命题和一阶不确定谓词的对偶下-上确界逻辑、模糊命题的三角模-蕴涵逻辑和三角模-蕴涵概率逻辑、*模糊命题的三角模-蕴涵概率逻辑和一阶*模糊谓词的三角模-蕴涵概率逻辑.
目 录
第1章 预备知识 1.1 二值命题演算的基础知识 1.2 二值谓词演算的基础知识 1.3 概率论的基础知识 1.4 不确定理论的基础知识 1.5 概率逻辑、不确定逻辑与模糊逻辑的比较 第2章 随机命题的概率逻辑与推理 2.1 RProPL的语言与概率真度 2.2 概率真度的规律 2.3 RProPL度量空间 2.4 RProAPL的公理化方法 2.5 基于RProPL的推理 第3章 Vague命题的Lawry对偶三角模-三角余模逻辑 3.1 引言 3.2 Lawry的不确定模型 3.3 同主语同标签Vague命题的Lawry逻辑 3.4 Vague命题的Lawry乘-加逻辑和Lawry下-上确界逻辑 3.5 Vague命题的Lawry三角模-三角余模逻辑 3.6 同Vague谓词命题的概率逻辑 第4章 不确定命题的对偶下-上确界逻辑与推理 4.1 UProL的语言与不确定命题的真度 4.2 不确定命题公式真度的规律 4.3 不确定命题公式的真度的一般计算方法 4.4 带有独立不确定命题集的不确定命题公式真度的计算 4.5 独立不确定命题公式真度的公理化及其推理 第5章 一阶不确定谓词的对偶下-上确界逻辑 5.1 不确定谓词命题和不确定谓词公式 5.2 不确定谓词公式的真度 5.3 不确定谓词公式真度的基本规律 第6章 模糊命题的多值逻辑与推理 6.1 引言 6.2 预备知识 6.3 三角模族T(q,p)-LGN与系统LGN 6.4 三角模族T(q,p)-L∏G与系统LIIG 6.5 三角模族T(q,p)-L∏GN((g，p)∈[-1,1]×(-∞,0)∪(0,∞)∪(1,0))与系统L∏GN 6.6 逻辑系统MTL(BL)的新的模式扩张系统GNMTL(GNBL) 6.7 Fuzzy命题的多维三层逻辑 6.8 蕴涵算子族及其应用 第7章 随机模糊命题的三角模-蕴涵概率逻辑与推理 7.1 模糊逻辑系统中理论的下真度与相容度 7.2 模糊逻辑系统∏和God扣理论的相容度与下真度的计算公式 7.3 模糊逻辑系统Luk和L*中理论相容度的计算公式 7.4 模糊逻辑系统中有限理论的弱相容度 7.5 多值命题逻辑公式在有限理论下的a-条件真度 7.6 命题模糊逻辑系统中公式的理论可证度 7.7 模糊逻辑系统中公式真值函数的特征 7.8 模糊逻辑系统中公式真度的特征 7.9 模糊逻辑系统中公式真度计算 7.10 MTL概率逻辑与推理 第8章 一阶随机模糊谓词的三角模-蕴涵概率逻辑 8.1 一阶模糊谓词逻辑公式的有限解释真度和可数解释真度的理论及其应用 8.2 一阶模糊谓词逻辑公式的解释模型真度理论及其应用 8.3 一阶模糊谓词逻辑公式的区间解释真度理论 8.4 一阶模糊谓词逻辑公式的可测集解释真度理论 8.5 逻辑有效公式理论及其应用 参考文献 关键词中英文对照索引
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第1章预备知识
1.1二值命题演算的基础知识
1.1.1命题变量及其公式
用符号 表示简单陈述句，并且用符号飞?，?，V和→分别表示连接词“非”“并且”“或者”和“蕴涵”.符号()表示括号.这样任何非简单陈述句都可以使用上述符号表示.例如，如果用符号分别表示“小王明天在北京”“小张明天在北京”“小王明天去天安门”和“小张明天去天安门”，则符号^表示非简单陈述句“若小王明天在北京且小张明天在北京，则他们两个明天都去天安门类似地，如果和分别表示简单陈述句“小王是一个大个子”“小张是一个大个子”“小王爱打篮球”和“小张爱打篮球”，则符号表示陈述句“并非小王是一个大个子”，符号表示陈述句“若小王是一个大个子则小王爱打篮球且若小张是一个大个子则小张爱打篮球”.
符号 分别可以表示任何命题，因此可以说它们是命题变量.
定义1.1.1设是有限或可数个命题变量集，F(S)是由S产生的型自由代数，即(i)若，则
(ii)若，则；
(iii)F(s)中的元素都能由S中的元素通过(i)和（ii)的方式产生.
称F（S)中的元素为命题变量公式.
一般用大写英文字母X，Y，Z 或Xi，X2， 表示命题变量公式.若命题变量公式包含命题变量，则它可记作
例如，都是命题变量公式.注意运算顺序是先括号，再飞然后是—.
以上没有用到连接词A和V，其实它们都可以用飞―表达.规定xVy是的简写，x八r是，(x→r)的简写.
1.1.2语义理论
定义1.1.2设映射v:F(S)→{0，1}.如果v满足条件：
(i)对于任一公式；
(ii)对于任二公式X，当且仅当且=0，则称t;为P(的上的一个赋值，简称赋值，记F⑶上的全体赋值之集为注1.1.1为了表达方便，也称t；(X)为X的赋值，或称它为X的真值.
注1.1.2为了表达方便，在{0，1}中规定
0=1，nl=0，0—0=0—1=1—1=1，1—0=0，
则{0，1}也称为卜，4)型自由代数，于是V是赋值当且仅当V:F(S)—{0，1}是同态.
注1.1.3既然F{S)是由S产生的（飞—）型自由代数，则任何映射v0:S^{0，1}都可以扩张为F(S)上的一个赋值，即
(i)对于任一公式
(ii)对于任二公式x
那么对于任何包含命题变量的公式是一个n元函数，称为X的Boole函数，或真值函数.
注1.1.4由—可知
定义1.1.3若对任意，有即
则称x为重言式，记作hx.若对任意则称x为矛盾式。
显然=0当且仅当十X)=1，所以，若X为矛盾式，则为重言式.因此若X为矛盾式，则记作N，X.
例1.1.1下述三类公式都是重言式.
证明（1)对于任意赋值V，如果t；(X)=1，显然
如果t;⑷=0，当v{Y)=1时，则
当v{Y)=0时，则
类似地，可证明（2)和⑶.
定义1.1.4设若对任意，有则称X与Y语义逻辑等价，记作
定义1.1.5设则称为产生的合取公式，这里产生的所有
合取公式为，中某些元素通过析取连接词V连接起来的式子称为析取范式.
例如，和都是析取范式.
定理1.1.1任一包含命题变量的非矛盾式都逻辑等价于一个析取范式
这里对于任一满足证明设赋值
因为若，则
反之，若赋值满足
则对于满足的任何使得
这说明x逻辑等价于一个析取范式
记X的析取范式为，即.
所以由定理1.1.1知
1.1.3语构理论
1.1.2节说明，可以通过验证公式X是否是重言式，断定它是否为真.其实，也可以通过确定FGS)中的某些重言式，定义几条推理规则和证明将F(S)中的所有重言式都推出来.为此引入公理、推理规则及证明的概念.
定义1.1.6F(S)中的下述重言式称为公理：
定义1.1.7(分离规则）由公式X—Y与X可推得y.
分离规则也称为modusponens，简称MP.
定义1.1.8—个证明是一个公式序列
这里对每个，Xi是公理，或者有j 定义1.1.9设从r到x的证明是一个公式序列
这里xn=X，且对每个是公理或Xier，或者有j使&是
由Xj与xk运用mp而得到的公式，存在从r到x的证明，记作.
定理1.1.2(演绎定理）设.如果.
证明略（参见文献[1]).
定理1.1.3(三段论（hypotheticalsyllogism)规证明略（参见文献[1]).
定义l.1.1设x，yef(S).如果，则称x与y可证等价.
1.1.4可靠性定理与完备性定理
1.1.3节中所列的定义、公理、推理规则和证明目的是把所有的重言式都推出来.事实上，这种目的是可以实现的.
定理1.1_4(可靠性定理）凡定理都是重言式，即若，则.
证明例1.1.1已经证明定义1.1.6中的所有公理都是重言式.只需证明推理规则保持重言式.若X与X—Y都是重言式，即任意赋值1，显然.则Y是重言式。
我们还关心任一重言式X是否都能推理规则证明出来，即若hX，则hX是否成立.
定理1.1.5(完备性定理）凡重言式都是定理，即若，则.
证明略（参见文献[1]).
定理1.1.6设X，yef{S).x与y可证等价当且仅当x与y逻辑等价.
由定理1.1.5知可证等价的性质类同逻辑等价.
1.2二值谓词演算的基础知识
命题演算理论提供了哪些命题公式，无论它代表什么实际的复合命题，它总是真的；哪些命题公式，无论它代表什么实际的复合命题，它总是假的.再就是它提供了命题公式真的推理方法.然而它却不能满足实际的需要.例如，命题的演算理论无法实现下述推理：
(i)每个人都会死的；
(ii)欧拉是人；
(iii)所以欧拉会死的.
可能读者会想，分别用X，Y和Z表示“每个人”“会死”和“欧拉”，那么上面的(i)，(ii)和(iii)可以形式化为
这里是由㈤和⑴运用HS规则得到.然而以上的X，Y和Z都不是命题.因为X和z分别是命题“每个人都会死的”和“欧拉是人”的主语，y是命题“每个人都会死的”和“所以欧拉会死的”的谓语，所以，它不属于命题演算理论的范畴.因此，为了实现上述推理，命题演算理论推广为本章的二值谓词演算理论.在二值谓词演算理论中，用希腊字母表示谓语，把主语用小写英文字母放在主语的括号中，即用m表示％具有性质并用符号V表示“对于每一个”，则⑴?(iii)可以形式化为
1.1二值命题演算的基础知识
1.1.1命题变量及其公式
用符号 表示简单陈述句，并且用符号飞?，?，V和→分别表示连接词“非”“并且”“或者”和“蕴涵”.符号()表示括号.这样任何非简单陈述句都可以使用上述符号表示.例如，如果用符号分别表示“小王明天在北京”“小张明天在北京”“小王明天去天安门”和“小张明天去天安门”，则符号^表示非简单陈述句“若小王明天在北京且小张明天在北京，则他们两个明天都去天安门类似地，如果和分别表示简单陈述句“小王是一个大个子”“小张是一个大个子”“小王爱打篮球”和“小张爱打篮球”，则符号表示陈述句“并非小王是一个大个子”，符号表示陈述句“若小王是一个大个子则小王爱打篮球且若小张是一个大个子则小张爱打篮球”.
符号 分别可以表示任何命题，因此可以说它们是命题变量.
定义1.1.1设是有限或可数个命题变量集，F(S)是由S产生的型自由代数，即(i)若，则
(ii)若，则；
(iii)F(s)中的元素都能由S中的元素通过(i)和（ii)的方式产生.
称F（S)中的元素为命题变量公式.
一般用大写英文字母X，Y，Z 或Xi，X2， 表示命题变量公式.若命题变量公式包含命题变量，则它可记作
例如，都是命题变量公式.注意运算顺序是先括号，再飞然后是—.
以上没有用到连接词A和V，其实它们都可以用飞―表达.规定xVy是的简写，x八r是，(x→r)的简写.
1.1.2语义理论
定义1.1.2设映射v:F(S)→{0，1}.如果v满足条件：
(i)对于任一公式；
(ii)对于任二公式X，当且仅当且=0，则称t;为P(的上的一个赋值，简称赋值，记F⑶上的全体赋值之集为注1.1.1为了表达方便，也称t；(X)为X的赋值，或称它为X的真值.
注1.1.2为了表达方便，在{0，1}中规定
0=1，nl=0，0—0=0—1=1—1=1，1—0=0，
则{0，1}也称为卜，4)型自由代数，于是V是赋值当且仅当V:F(S)—{0，1}是同态.
注1.1.3既然F{S)是由S产生的（飞—）型自由代数，则任何映射v0:S^{0，1}都可以扩张为F(S)上的一个赋值，即
(i)对于任一公式
(ii)对于任二公式x
那么对于任何包含命题变量的公式是一个n元函数，称为X的Boole函数，或真值函数.
注1.1.4由—可知
定义1.1.3若对任意，有即
则称x为重言式，记作hx.若对任意则称x为矛盾式。
显然=0当且仅当十X)=1，所以，若X为矛盾式，则为重言式.因此若X为矛盾式，则记作N，X.
例1.1.1下述三类公式都是重言式.
证明（1)对于任意赋值V，如果t；(X)=1，显然
如果t;⑷=0，当v{Y)=1时，则
当v{Y)=0时，则
类似地，可证明（2)和⑶.
定义1.1.4设若对任意，有则称X与Y语义逻辑等价，记作
定义1.1.5设则称为产生的合取公式，这里产生的所有
合取公式为，中某些元素通过析取连接词V连接起来的式子称为析取范式.
例如，和都是析取范式.
定理1.1.1任一包含命题变量的非矛盾式都逻辑等价于一个析取范式
这里对于任一满足证明设赋值
因为若，则
反之，若赋值满足
则对于满足的任何使得
这说明x逻辑等价于一个析取范式
记X的析取范式为，即.
所以由定理1.1.1知
1.1.3语构理论
1.1.2节说明，可以通过验证公式X是否是重言式，断定它是否为真.其实，也可以通过确定FGS)中的某些重言式，定义几条推理规则和证明将F(S)中的所有重言式都推出来.为此引入公理、推理规则及证明的概念.
定义1.1.6F(S)中的下述重言式称为公理：
定义1.1.7(分离规则）由公式X—Y与X可推得y.
分离规则也称为modusponens，简称MP.
定义1.1.8—个证明是一个公式序列
这里对每个，Xi是公理，或者有j 定义1.1.9设从r到x的证明是一个公式序列
这里xn=X，且对每个是公理或Xier，或者有j使&是
由Xj与xk运用mp而得到的公式，存在从r到x的证明，记作.
定理1.1.2(演绎定理）设.如果.
证明略（参见文献[1]).
定理1.1.3(三段论（hypotheticalsyllogism)规证明略（参见文献[1]).
定义l.1.1设x，yef(S).如果，则称x与y可证等价.
1.1.4可靠性定理与完备性定理
1.1.3节中所列的定义、公理、推理规则和证明目的是把所有的重言式都推出来.事实上，这种目的是可以实现的.
定理1.1_4(可靠性定理）凡定理都是重言式，即若，则.
证明例1.1.1已经证明定义1.1.6中的所有公理都是重言式.只需证明推理规则保持重言式.若X与X—Y都是重言式，即任意赋值1，显然.则Y是重言式。
我们还关心任一重言式X是否都能推理规则证明出来，即若hX，则hX是否成立.
定理1.1.5(完备性定理）凡重言式都是定理，即若，则.
证明略（参见文献[1]).
定理1.1.6设X，yef{S).x与y可证等价当且仅当x与y逻辑等价.
由定理1.1.5知可证等价的性质类同逻辑等价.
1.2二值谓词演算的基础知识
命题演算理论提供了哪些命题公式，无论它代表什么实际的复合命题，它总是真的；哪些命题公式，无论它代表什么实际的复合命题，它总是假的.再就是它提供了命题公式真的推理方法.然而它却不能满足实际的需要.例如，命题的演算理论无法实现下述推理：
(i)每个人都会死的；
(ii)欧拉是人；
(iii)所以欧拉会死的.
可能读者会想，分别用X，Y和Z表示“每个人”“会死”和“欧拉”，那么上面的(i)，(ii)和(iii)可以形式化为
这里是由㈤和⑴运用HS规则得到.然而以上的X，Y和Z都不是命题.因为X和z分别是命题“每个人都会死的”和“欧拉是人”的主语，y是命题“每个人都会死的”和“所以欧拉会死的”的谓语，所以，它不属于命题演算理论的范畴.因此，为了实现上述推理，命题演算理论推广为本章的二值谓词演算理论.在二值谓词演算理论中，用希腊字母表示谓语，把主语用小写英文字母放在主语的括号中，即用m表示％具有性质并用符号V表示“对于每一个”，则⑴?(iii)可以形式化为
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