线性代数与几何（第2版）（上）

 

《线性代数与几何（第2版）》的核心内容包括 矩阵理论以及线性空间理论，分上、下两册出版，对 应于两个学期的教学内容，本书是其中的上册。俞正
光、鲁自群、林润亮编著的这本《线性代数与几何（ 第2版上）》系统地介绍线性代数与空间解析几何的 基本理论和方法，具体包括行列式、矩阵、几何空间
中的向量、向量空间Fn、线性空间、线性变换、二次 型与二次曲面共7章内容。本书将空间解析几何与线 性代数密切地联系在一起，层次清晰，论证严谨，例
题典型丰富，习题精练适中。
本书可作为高等院校理、工、经管等专业的教材 及教学参考书，也可供自学读者及有关科技人员参考 。

预备知识
  数域
第1章  行列式
  1.1 n阶行列式的定义
    1.1.1 二阶行列式与三阶行列式
    1.1.2 排列
    1.1.3 n阶行列式的定义
  1.2 行列式的性质及应用
    1.2.1 行列式的性质
    1.2.2 用性质计算行列式的例题
  1.3 行列式的展开定理
    1.3.1 行列式的展开公式
    1.3.2 利用展开公式计算行列式的例题
  1.4 克莱姆法则及其应用
    1.4.1 克莱姆法则
    1.4.2 克莱姆法则的应用
  习题1
第2章  矩阵
  2.1 解线性方程组的高斯消元法
    2.1.1 线性方程组
    2.1.2 高斯消元法
    2.1.3 齐次线性方程组
  2.2 矩阵及其运算
    2.2.1 矩阵的概念
    2.2.2 矩阵的代数运算
    2.2.3 矩阵的转置
  2.3 逆矩阵
    2.3.1 方阵乘积的行列式
    2.3.2 逆矩阵的概念与性质
    2.3.3 矩阵可逆的条件
  2.4 分块矩阵
  2.5 矩阵的初等变换
    2.5.1 矩阵的初等变换和初等矩阵
    2.5.2 矩阵的相抵和相抵标准形
    2.5.3 用初等变换求逆矩阵
    2.5.4 分块矩阵的初等变换
  习题2
第3章  几何空间中的向量
  3.1 向量及其运算
    3.1.1 向量的基本概念
    3.1.2 向量的线性运算
    3.1.3 共线向量、共面向量
  3.2 仿射坐标系与直角坐标系
    3.2.1 仿射坐标系
    3.2.2 用坐标进行向量运算
    3.2.3 向量共线、共面的条件
    3.2.4 空间直角坐标系
  3.3 向量的数量积、向量积与混合积
    3.3.1 数量积及其应用
    3.3.2 向量积及其应用
    3.3.3 混合积及其应用
  3.4 平面与直线
    3.4.1 平面方程
    3.4.2 两个平面的位置关系
    3.4.3 直线方程
    3.4.4 两条直线的位置关系
    3.4.5 直线与平面的位置关系
  3.5 距离
    3.5.1 点到平面的距离
    3.5.2 点到直线的距离
    3.5.3 异面直线的距离
  习题3
第4章  向量空间Fn
  4.1 数域F上的n维向量空间
    4.1.1 n维向量及其运算
    4.1.2 向量空间Fn的定义和性质
  4.2 向量组的线性相关性
    4.2.1 线性相关的概念
    4.2.2 线性相关、线性无关的进一步讨论
  4.3 向量组的秩
    4.3.1 向量组的线性表出
    4.3.2 极大线性无关组
    4.3.3 向量组的秩的概念及性质
  4.4 矩阵的秩
    4.4.1 矩阵秩的引入及计算
    4.4.2 秩的性质
  4.5 齐次线性方程组
    4.5.1 齐次线性方程组有非零解的充要条件
    4.5.2 基础解系
  4.6 非齐次线性方程组
    4.6.1 非齐次线性方程组有解的条件
    4.6.2 非齐次线性方程组解的结构
  习题4
第5章  线性空间
  5.1 数域F上的线性空间
    5.1.1 线性空间的定义
    5.1.2 线性相关与线性无关
    5.1.3 基、维数和坐标
    5.1.4 过渡矩阵与坐标变换
  5.2 线性子空间
    5.2.1 线性子空间的概念
    5.2.2 子空间的交与和
    5.2.3 子空间的直和
  5.3 线性空间的同构
  5.4 欧几里得空间
    5.4.1 内积
    5.4.2 标准正交基
    5.4.3 施密特正交化
    5.4.4 正交矩阵
    5.4.5 可逆矩阵的QR分解
    5.4.6 正交补与直和分解
  习题5
第6章  线性变换
  6.1 线性变换的定义和运算
    6.1.1 线性变换的定义和基本性质
    6.1.2 线性变换的运算
  6.2 线性变换的矩阵
    6.2.1 线性变换在一组基下的矩阵
    6.2.2 线性变换与矩阵的一一对应关系
    6.2.3 线性变换的乘积与矩阵乘积之间的对应
  6.3 线性变换的核与值域
    6.3.1 核与值域
    6.3.2 不变子空间
  6.4 特征值与特征向量
    6.4.1 特征值与特征向量的定义与性质
    6.4.2 特征值与特征向量的计算
    6.4.3 特征多项式的基本性质
  6.5 相似矩阵
    6.5.1 线性变换在不同基下的矩阵
    6.5.2 矩阵的相似
    6.5.3 相似矩阵的性质
    6.5.4 矩阵的相似对角化
    6.5.5 实对称矩阵和对角化
  习题6
第7章  二次型与二次曲面
  7.1 二次型
    7.1.1 二次型的定义
    7.1.2 矩阵的相合
  7.2 二次型的标准形
    7.2.1 主轴化方法
    7.2.2 配方法
    7.2.3 矩阵的初等变换法
  7.3 惯性定理和二次型的规范形
  7.4 实二次型的正定性
  7.5 曲面与方程
    7.5.1 球面方程
    7.5.2 母线与坐标轴平行的柱面方程
    7.5.3 绕坐标轴旋转的旋转面方程
    7.5.4 空间曲线的方程
  7.6 二次曲面的分类
    7.6.1 椭球面
    7.6.2 单叶双曲面
    7.6.3 双叶双曲面
    7.6.4 锥面
    7.6.5 椭圆抛物面
    7.6.6 双曲抛物面
    7.6.7 一般二次方程的化简
  习题7
附录A  集合与关系
附录B  集合的分类与等价关系
附录C  映射与代数系统
习题提示与答案
索引

第2版前言

清华大学数学科学系“线性代数”教学团队在近几年教学实践的基础上，根据教师的教学经验及在教学中遇到的问题、提出的意见和建议，对第1版中的部分内容作了调整，重新改写了部分章节．
调整的内容主要体现在以下方面．在第1版中，数域概念安排在第5章引进抽象的线性空间时才提出，之前的讨论涉及数的概念时，总是默认为大家熟悉的实数域或复数域．其实，这些概念在一般数域上也是成立的．这次，我们将数域概念作为预备知识放到前面，使得讨论的问题不仅仅局限于实数域或复数域．在第1版中，一般矩阵的相似对角化内容安排在下册，考虑到部分专业的学生只选修一个学期的课程，为了保持教学内容的完整性，现将这部分内容从下册调整到上册．另外，作为代数中的一些非常基本的概念，如集合、映射、关系等（有的在中学已经学过），在第1版中它们是分散在各章中陆续地引入的．这次，我们将这些内容作为附录较系统地集中介绍，供师生参考使用．改写的内容主要是矩阵的秩以及子空间的直和分解这两部分．希望这次改编的教材能更加适合教学．
感谢清华大学数学科学系“线性代数”教学团队老师们的支持和帮助，欢迎广大读者批评指正．
作者2014年4月