描述
开 本: 32开包 装: 平装是否套装: 否国际标准书号ISBN: 9787030406668
内容简介
《抽象代数引论》在格和泛代数的层面上讲述传统抽象代数中的群、环、域和模的
内容, 同时介绍现代分析理论研究所需的代数理论.
内容, 同时介绍现代分析理论研究所需的代数理论.
目 录
前言
第1 章格. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1
1.1 偏序集. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 格的定义. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 格的同构与子格. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 分配格与模格. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 布尔代数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6 完备格等价关系代数格. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.7 正交模格. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.8 闭包算子. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
练习一. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
第2 章泛代数基础. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1 泛代数的基本概念. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 同态与同构. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 同余关系. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4 商代数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
练习二. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
第3 章群. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1 半群. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29
3.2 群的定义. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3 子群. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34
3.4 变换群与置换群. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36
3.5 循环群. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.6 群的陪集分解及正规子群. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.7 同构与同态. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.8 正规群列与群的直积. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.9 具有同构子群格的群. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
练习三. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
第4 章环和域. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55
4.1 环的基本概念. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.2 环上的矩阵与四元数环. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.3 子环与理想. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.4 环的同态与同构. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63
4.5 环的特征. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.6 极大理想与质理想. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.7 局部环. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.8 诺特环. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.9 多项式的零点. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.10 商域. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.11 单扩域. .
第1 章格. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1
1.1 偏序集. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 格的定义. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 格的同构与子格. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 分配格与模格. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 布尔代数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6 完备格等价关系代数格. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.7 正交模格. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.8 闭包算子. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
练习一. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
第2 章泛代数基础. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1 泛代数的基本概念. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 同态与同构. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 同余关系. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4 商代数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
练习二. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
第3 章群. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1 半群. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29
3.2 群的定义. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3 子群. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34
3.4 变换群与置换群. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36
3.5 循环群. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.6 群的陪集分解及正规子群. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.7 同构与同态. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.8 正规群列与群的直积. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.9 具有同构子群格的群. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
练习三. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
第4 章环和域. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55
4.1 环的基本概念. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.2 环上的矩阵与四元数环. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.3 子环与理想. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.4 环的同态与同构. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63
4.5 环的特征. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.6 极大理想与质理想. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.7 局部环. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.8 诺特环. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.9 多项式的零点. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.10 商域. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.11 单扩域. .
在线试读
第 1章格
格是一类应用广泛的代数系统 ,是随着经典逻辑的代数化与泛代数的发展而引进的 .近代格理论大约形成于 20世纪 30年代 .近年来 ,格的理论在组合数学、量子力学、模型推理、理论计算机科学 ,甚至在社会科学中都得到了广泛的应用 ,同时也极大地推动了该学科自身的发展 ,使之成为数学和理论计算机科学中的重要研究对象.
本章包括两部分内容 ,第一部分主要介绍偏序集的概念 ,第二部分是介绍格的一些基本概念及性质.
1.1偏序集
设 A是一个非空集合 , a, b ∈ A,则 a与 b之间可能存在某种关系 ,记这种关系为 R.假设若 a与 b具有关系 R,称为 aRb或者 (a, b).所有具有关系 R的元素对 (a, b)构成 A × A的一个子集.所以,给出下面的定义.
定义 1.1设 A为一个非空集合 , A × A的一非空子集 R称为是 A上的一个二元关系 .若 (a, b) ∈ R,则称 a与 b具有关系 R.习惯上 ,若 (a, b) ∈ R,则记为 aRb.
例 1设集合 A = {x, y, z}, R1 = {(x, x), (x, y), (x, z)}. A × A,则 R1是 A上的一个二元关系 ;又设 R2 = {(x, x), (y, y), (z, z)}. A × A,则 R2也是 A上一个二元关系.
定义 1.2设 R是非空集合 A上一个二元关系,即 R . A × A,若 R满足
(1) .x ∈ A,有 xRx,并称 R具有自反性;
(2)若 xRy且 yRx,则有 x = y,并称 R具有反对称性;
(3)若 xRy且 yRz,则 xRz,并称 R具有传递性,
则说关系 R是一个偏序关系.换个说法,设 R . A × A,若
(1)’ .x ∈ A有 (x, x) ∈ R,即 R具有自反性;
(2)’若 (x, y) ∈ R, (y, x) ∈ R,则 x = y,即 R具有反对称性;
(3)’若 (x, y) ∈ R, (y, z) ∈ R,则 (x, z) ∈ R,即 R具有传递性,则 R是 A上的偏序关系.
例 2 (1)设 Z为一非空集合 ,用 Su(Z)表示 Z的幂集合 ,定义 Su(Z)×Su(Z)的子集为 (A, B) ∈ R当且仅当 A . B,则 R是 Su(Z)上的偏序关系 ,或者说 .是 Su(Z)上的偏序关系.
(2)设 A是正整数集 ,定义 A × A的子集 R为 (m, n) ∈ R当且仅当 m整除 n,则 R是 A上的偏序关系.
(3)设 A是实数集 ,到表示两个实数的大小关系 ,则到是 A上的一个偏序关系.定义 1.3设 R是集合 S上的一偏序关系 ,则称 (S, R)为偏序集 .习惯上 ,为了方便,用到表示偏序关系.注在偏序集 (S,到)中的任两个元素 a, b,不一定有 a到 b或者 b到 a,也就是说,任意两个元素不一定可以比较大小.若 a到 b,则说 a小于或等于 b.
定义 1.4设 (S,到)是偏序集 ,若任取 x, y ∈ S,有 y到 x或 x到 y,称 S是一个链或是一个有序集或全序集 .设 (S,到)是偏序集 , A . S.若 A是一个链 ,称 A是 S的线性子集或有序子集.
定义 1.5偏序集 (S,到)的元素 a称为 S的最小元 ,如果 .x ∈ S,有 a到 x. S的元素 b称为 S的最大元 ,如果 .x ∈ S,则有 x到 b. S的元素 m称为 S的极大元,如果存在 x ∈ S,使得 m到 x,则必有 m = x. S的元素 l称为 S的一个极小元,如果存在 x ∈ S,使得 x到 l,则必有 x = l.
显然 ,若 S有最大元 ,则必定是唯一的 .最大元一定是极大元 .反之未必 ,极大元若存在,也不一定唯一.最小元与极小元也是如此.
定义 1.6若偏序集 (S,到)是有限集 ,可用图形表示其偏序关系 ,称为 Hasse图.我们用 “.”代表 S的元素 ,若 a, b ∈ S且 a到 b,则用图 1.1表示 .注意 ,元素 a位于线段的下端 ,元素 b位于线段上端 .当 a = b时,我们理解为两个圆圈是重合的.这样,整个集合 S中元素之间的偏序关系就可以用图形表示出来 .利用偏序集 S的 Hasse图,能够比较容易地看出 S的元素的一些性质.
例 3设 S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, .m, n ∈ S,规定 m到 n当且仅当 m能整除 n,则 (S,到)是偏序集,它的 Hasse图为图 1.2,由图 1.2立即可知 S有极大元 5, 6, 7及 8,无最大元.
定义 1.7设 A是偏序集 (S,到)的一个非空子集 , S的一个元素 b称为 A的一个上界 ,如果 .x ∈ A都有 x到 b. A的一个上界 b称为 A的最小上界 (或上确界),如果对于 A的任意一个上界 c均有 b到 c.
A的下界及最大下界 (或下确界)可类似定义.
注对于偏序集 S的任意子集 A,用 ∨A或 sup A及 ∧A或 inf A分别表示它的上确界及下确界 .特别地 ,若 A = {ai|i =1, 2, 3, ··· ,n},习惯上 ,用 a1 ∨a2 ∨···∨an,即 ∨ai表示 A的上确界.同样地, ∧ai表示 A的下确界.
图 1.1图 1.2
例 4设 (Q,到)是由有理数组成的偏序集 ,到表示√
实数大小关系 . H = √{x|x ∈ Q,x < 2}为 Q的一个子集 ,则易证每一个大于 2的有理数都是 H的上界 ,即 H的
√ 上界之集为 H. = {y|y ∈ Q,y > 2}, H.中没有最小元素,即在 Q中不存在上确界 ∨A.例 5偏序集 (S,到),如图 1.3所示. H = {c, d, e}, c, b, a都是 H的上界 , ∨H = c, e是 H图 1.3 的下界,且 ∧H = e.
1.2格的定义
格的定义有两种方法 ,一种是利用 1.1节中的偏序集概念定义 ,另一种是以代数运算为基础来定义.定义 1.8设 (L,到)是一个偏序集 ,如果对 .a, b ∈ L, a ∨ b与 a ∧ b都存在 ,
则称 (L,到)为一个格,称 ∨为格 L的并运算, ∧为交运算.下面是格的另一种定义方式.定义 1.8.包含两个二元运算 ∨和 ∧的非空集合 L称为格 ,若满足以下四
个条件：
(1) a ∧ a = a, a ∨ a = a (幂等律).
(2) a ∧ b = b ∧ a, a ∨ b = b ∨ a(交换律).
(3) (a ∧ b) ∧ c = a ∧ (b ∧ c), (a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c)(结合律).
(4) a ∧ (a ∨ b)= a, a ∨ (a ∧ b)= a(吸收律).
例 1 (1)设 Z是一个非空集合 ,在偏序集 (Su(Z), .)中定义 ∨和 ∧分别为集合的并和交,则 (Su(Z), ∪, ∩)是一个格,称为 Z的幂集格.
(2)以 A表示实数集 ,设 F = {f|f : A .→ A为连续函数 }, .f, g ∈ F ,定义 f到 g当且仅当 .x ∈ A,有 f(x)到 g(x),则 (F,到)是一个格.
(3)偏序集 M1,M2,M3,M4,N5都是格.如图 1.4所示.
图 1.4
命题 1.9格的两个定义是等价的.
证明 1)若 (L,到)是一个由定义 1.8给出的格 ,定义运算 ∨为 a∨b = sup{a, b},运算 ∧为 a ∧ b = inf{a, b},则
(1)由自反性知
, a到 a,于是 a是 {a, a}的一个下界 ,所以 a到 a ∧ a.反过来 ,因为 a ∧ a是 {a, a}的下确界 ,所以 a ∧ a到 a,因此 a ∧ a = a.同理 a ∨ a = a,幂等律证毕.
(2)因为a ∧ b既是 {a, b}的下确界 ,也是 {b, a}的下确界 ,所以 a ∧ b到 b ∧ a.同理 b ∧ a到 a ∧ b.所以 a ∧ b = b ∧ a.同理 a ∨ b = b ∨ a.交换律证毕.
(3)因为 (a∧b)∧c是 {a∧b, c}的下确界 ,所以 (a∧b)∧c到 a∧b且 (a∧b)∧c到 c.又由 a∧b是 {a, b}的下确界 ,所以有 a∧b到 a, a∧b到 b.于是 (a∧b)∧c到 a, (a∧b)∧c到 b, (a ∧ b) ∧ c到 c.由 (a ∧ b) ∧ c到 b, (a ∧ b) ∧ c到 c知 (a ∧ b) ∧ c是 {b, c}的下界 ,得 (a ∧ b) ∧ c到 b ∧ c.又 (a ∧ b) ∧ c到 a知 (a ∧ b) ∧ c是 {a, b ∧ c}的下界 ,得 (a ∧ b) ∧ c到 a ∧ (b ∧ c).同理 a ∧ (b ∧ c)到 (a ∧ b) ∧ c,所以 (a ∧ b) ∧ c = a ∧ (b ∧ c).
同理可证 (a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c),结合律证毕.
(4)因为 a ∧ (a ∨ b)是 {a, a ∨ b}的下确界 ,所以 a ∧ (a ∨ b)到 a.又因为 a ∨ b ? a, a ∨ b ? a ∨ b,所以 a ∧ (a ∨ b) ? a.故 a ∧ (a ∨ b)= a ,同理 , a ∨ (a ∧ b)= a,吸收律证毕.
综上所述,由定义 1.8可推出定义 1.8. .
2)若 (L, ∨, ∧)是一个由定义 1.8.给出的格 ,我们在 L上定义关系到为 a到 b当且仅当 a = a ∧ b或 b = a ∨ b,因为 a = a ∧ b与 b = a ∨ b是等价的.
(1)由 a ∧ a = a可以推出 a到 a.自反性成立.
(2)若 a到 b, b到 a,则 a = a ∧ b, b = b ∧ a,所以 a = b.反对称性成立.
格是一类应用广泛的代数系统 ,是随着经典逻辑的代数化与泛代数的发展而引进的 .近代格理论大约形成于 20世纪 30年代 .近年来 ,格的理论在组合数学、量子力学、模型推理、理论计算机科学 ,甚至在社会科学中都得到了广泛的应用 ,同时也极大地推动了该学科自身的发展 ,使之成为数学和理论计算机科学中的重要研究对象.
本章包括两部分内容 ,第一部分主要介绍偏序集的概念 ,第二部分是介绍格的一些基本概念及性质.
1.1偏序集
设 A是一个非空集合 , a, b ∈ A,则 a与 b之间可能存在某种关系 ,记这种关系为 R.假设若 a与 b具有关系 R,称为 aRb或者 (a, b).所有具有关系 R的元素对 (a, b)构成 A × A的一个子集.所以,给出下面的定义.
定义 1.1设 A为一个非空集合 , A × A的一非空子集 R称为是 A上的一个二元关系 .若 (a, b) ∈ R,则称 a与 b具有关系 R.习惯上 ,若 (a, b) ∈ R,则记为 aRb.
例 1设集合 A = {x, y, z}, R1 = {(x, x), (x, y), (x, z)}. A × A,则 R1是 A上的一个二元关系 ;又设 R2 = {(x, x), (y, y), (z, z)}. A × A,则 R2也是 A上一个二元关系.
定义 1.2设 R是非空集合 A上一个二元关系,即 R . A × A,若 R满足
(1) .x ∈ A,有 xRx,并称 R具有自反性;
(2)若 xRy且 yRx,则有 x = y,并称 R具有反对称性;
(3)若 xRy且 yRz,则 xRz,并称 R具有传递性,
则说关系 R是一个偏序关系.换个说法,设 R . A × A,若
(1)’ .x ∈ A有 (x, x) ∈ R,即 R具有自反性;
(2)’若 (x, y) ∈ R, (y, x) ∈ R,则 x = y,即 R具有反对称性;
(3)’若 (x, y) ∈ R, (y, z) ∈ R,则 (x, z) ∈ R,即 R具有传递性,则 R是 A上的偏序关系.
例 2 (1)设 Z为一非空集合 ,用 Su(Z)表示 Z的幂集合 ,定义 Su(Z)×Su(Z)的子集为 (A, B) ∈ R当且仅当 A . B,则 R是 Su(Z)上的偏序关系 ,或者说 .是 Su(Z)上的偏序关系.
(2)设 A是正整数集 ,定义 A × A的子集 R为 (m, n) ∈ R当且仅当 m整除 n,则 R是 A上的偏序关系.
(3)设 A是实数集 ,到表示两个实数的大小关系 ,则到是 A上的一个偏序关系.定义 1.3设 R是集合 S上的一偏序关系 ,则称 (S, R)为偏序集 .习惯上 ,为了方便,用到表示偏序关系.注在偏序集 (S,到)中的任两个元素 a, b,不一定有 a到 b或者 b到 a,也就是说,任意两个元素不一定可以比较大小.若 a到 b,则说 a小于或等于 b.
定义 1.4设 (S,到)是偏序集 ,若任取 x, y ∈ S,有 y到 x或 x到 y,称 S是一个链或是一个有序集或全序集 .设 (S,到)是偏序集 , A . S.若 A是一个链 ,称 A是 S的线性子集或有序子集.
定义 1.5偏序集 (S,到)的元素 a称为 S的最小元 ,如果 .x ∈ S,有 a到 x. S的元素 b称为 S的最大元 ,如果 .x ∈ S,则有 x到 b. S的元素 m称为 S的极大元,如果存在 x ∈ S,使得 m到 x,则必有 m = x. S的元素 l称为 S的一个极小元,如果存在 x ∈ S,使得 x到 l,则必有 x = l.
显然 ,若 S有最大元 ,则必定是唯一的 .最大元一定是极大元 .反之未必 ,极大元若存在,也不一定唯一.最小元与极小元也是如此.
定义 1.6若偏序集 (S,到)是有限集 ,可用图形表示其偏序关系 ,称为 Hasse图.我们用 “.”代表 S的元素 ,若 a, b ∈ S且 a到 b,则用图 1.1表示 .注意 ,元素 a位于线段的下端 ,元素 b位于线段上端 .当 a = b时,我们理解为两个圆圈是重合的.这样,整个集合 S中元素之间的偏序关系就可以用图形表示出来 .利用偏序集 S的 Hasse图,能够比较容易地看出 S的元素的一些性质.
例 3设 S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, .m, n ∈ S,规定 m到 n当且仅当 m能整除 n,则 (S,到)是偏序集,它的 Hasse图为图 1.2,由图 1.2立即可知 S有极大元 5, 6, 7及 8,无最大元.
定义 1.7设 A是偏序集 (S,到)的一个非空子集 , S的一个元素 b称为 A的一个上界 ,如果 .x ∈ A都有 x到 b. A的一个上界 b称为 A的最小上界 (或上确界),如果对于 A的任意一个上界 c均有 b到 c.
A的下界及最大下界 (或下确界)可类似定义.
注对于偏序集 S的任意子集 A,用 ∨A或 sup A及 ∧A或 inf A分别表示它的上确界及下确界 .特别地 ,若 A = {ai|i =1, 2, 3, ··· ,n},习惯上 ,用 a1 ∨a2 ∨···∨an,即 ∨ai表示 A的上确界.同样地, ∧ai表示 A的下确界.
图 1.1图 1.2
例 4设 (Q,到)是由有理数组成的偏序集 ,到表示√
实数大小关系 . H = √{x|x ∈ Q,x < 2}为 Q的一个子集 ,则易证每一个大于 2的有理数都是 H的上界 ,即 H的
√ 上界之集为 H. = {y|y ∈ Q,y > 2}, H.中没有最小元素,即在 Q中不存在上确界 ∨A.例 5偏序集 (S,到),如图 1.3所示. H = {c, d, e}, c, b, a都是 H的上界 , ∨H = c, e是 H图 1.3 的下界,且 ∧H = e.
1.2格的定义
格的定义有两种方法 ,一种是利用 1.1节中的偏序集概念定义 ,另一种是以代数运算为基础来定义.定义 1.8设 (L,到)是一个偏序集 ,如果对 .a, b ∈ L, a ∨ b与 a ∧ b都存在 ,
则称 (L,到)为一个格,称 ∨为格 L的并运算, ∧为交运算.下面是格的另一种定义方式.定义 1.8.包含两个二元运算 ∨和 ∧的非空集合 L称为格 ,若满足以下四
个条件：
(1) a ∧ a = a, a ∨ a = a (幂等律).
(2) a ∧ b = b ∧ a, a ∨ b = b ∨ a(交换律).
(3) (a ∧ b) ∧ c = a ∧ (b ∧ c), (a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c)(结合律).
(4) a ∧ (a ∨ b)= a, a ∨ (a ∧ b)= a(吸收律).
例 1 (1)设 Z是一个非空集合 ,在偏序集 (Su(Z), .)中定义 ∨和 ∧分别为集合的并和交,则 (Su(Z), ∪, ∩)是一个格,称为 Z的幂集格.
(2)以 A表示实数集 ,设 F = {f|f : A .→ A为连续函数 }, .f, g ∈ F ,定义 f到 g当且仅当 .x ∈ A,有 f(x)到 g(x),则 (F,到)是一个格.
(3)偏序集 M1,M2,M3,M4,N5都是格.如图 1.4所示.
图 1.4
命题 1.9格的两个定义是等价的.
证明 1)若 (L,到)是一个由定义 1.8给出的格 ,定义运算 ∨为 a∨b = sup{a, b},运算 ∧为 a ∧ b = inf{a, b},则
(1)由自反性知
, a到 a,于是 a是 {a, a}的一个下界 ,所以 a到 a ∧ a.反过来 ,因为 a ∧ a是 {a, a}的下确界 ,所以 a ∧ a到 a,因此 a ∧ a = a.同理 a ∨ a = a,幂等律证毕.
(2)因为a ∧ b既是 {a, b}的下确界 ,也是 {b, a}的下确界 ,所以 a ∧ b到 b ∧ a.同理 b ∧ a到 a ∧ b.所以 a ∧ b = b ∧ a.同理 a ∨ b = b ∨ a.交换律证毕.
(3)因为 (a∧b)∧c是 {a∧b, c}的下确界 ,所以 (a∧b)∧c到 a∧b且 (a∧b)∧c到 c.又由 a∧b是 {a, b}的下确界 ,所以有 a∧b到 a, a∧b到 b.于是 (a∧b)∧c到 a, (a∧b)∧c到 b, (a ∧ b) ∧ c到 c.由 (a ∧ b) ∧ c到 b, (a ∧ b) ∧ c到 c知 (a ∧ b) ∧ c是 {b, c}的下界 ,得 (a ∧ b) ∧ c到 b ∧ c.又 (a ∧ b) ∧ c到 a知 (a ∧ b) ∧ c是 {a, b ∧ c}的下界 ,得 (a ∧ b) ∧ c到 a ∧ (b ∧ c).同理 a ∧ (b ∧ c)到 (a ∧ b) ∧ c,所以 (a ∧ b) ∧ c = a ∧ (b ∧ c).
同理可证 (a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c),结合律证毕.
(4)因为 a ∧ (a ∨ b)是 {a, a ∨ b}的下确界 ,所以 a ∧ (a ∨ b)到 a.又因为 a ∨ b ? a, a ∨ b ? a ∨ b,所以 a ∧ (a ∨ b) ? a.故 a ∧ (a ∨ b)= a ,同理 , a ∨ (a ∧ b)= a,吸收律证毕.
综上所述,由定义 1.8可推出定义 1.8. .
2)若 (L, ∨, ∧)是一个由定义 1.8.给出的格 ,我们在 L上定义关系到为 a到 b当且仅当 a = a ∧ b或 b = a ∨ b,因为 a = a ∧ b与 b = a ∨ b是等价的.
(1)由 a ∧ a = a可以推出 a到 a.自反性成立.
(2)若 a到 b, b到 a,则 a = a ∧ b, b = b ∧ a,所以 a = b.反对称性成立.
(3)若
a到 b, b到 c,则 a = a ∧ b, b = b ∧ c,所以 a = a ∧ b = a ∧ (b ∧ c)= (a ∧ b) ∧ c = a ∧ c,即 a到 c.传递性成立 .由上面 (1)(2)(3)知,二元关系到为一个偏序关系 .因为 a = a ∧ (a ∨ b),b = b ∧ (a ∨ b),所以 a到 a ∨ b, b到 a ∨ b,即 a ∨ b是 {a, b}的上界 .若 a到 u, b到 u,则 a ∨ u =(a ∧ u) ∨ u = u.同样地 , b ∨ u = u,所以 (a∨u)∨(b∨u)= u∨u = u.所以 (a∨b)∨u = u,又 (a∨b)∧u =(a∨b)∧[(a∨b)∨u]= a∨b,可以得出 a ∨ b到 u.因此 a ∨ b = sup{a, b}.同理可证 a ∧ b = inf{a, b}.
综上,由定义 1.8.可以推出定义 1.8.口
例 2设 I是正整数集合 , m, n ∈ I,定义 : m到 n当且仅当 m整除 n,则 (I,到)是偏序集 .进一步在 I上定义运算 ∨和 ∧: a ∨ b = a与 b的最小公倍数 ; a ∧ b = a与 b的最大公约数,则 (I, ∨, ∧)是一个格.
例 3设 (L, ∨, ∧)与 (M, ∨, ∧)是两个格 ,在 L × M上定义运算 ∨·和 ∧·如下： .(a, c) ∈ L × M, (b, d) ∈ L × M,(a, c) ∨·(b, d)=(a ∨ b, c ∨ d), (a, c) ∧· (b, d)=(a ∧ b, c ∧ d),则可以证明 (L × M, ∨·, ∧· )也是一个格.
1.3格的同构与子格
对任意的两个格 L1与 L2,为了方便 ,我们用相同的运算符号 ∨与 ∧表示它们的运算.
定义 1.10设 L1与 L2是格 ,若存在映射 α: L1 .→ L2满足 α(a
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