描述
开 本: 16开包 装: 平装是否套装: 否国际标准书号ISBN: 9787030403841丛书名: 现代数学基础丛书
编辑推荐
《代数体函数的值分布》是系统介绍代数体函数值分布的一部专著,主要读者为数学专业高年级本科生?研究生?教师以及相关专业的科技工作者。
内容简介
《代数体函数的值分布》主要介绍代数体函数的值分布,系统地阐述这一领域的基本理论和半个多世纪以来国内外的发展状况和*研究成果。 其内容包括代数体函数的Riemann 曲面?Nevanlinna 理论?Ahlfors 覆盖曲面几何理论与特征函数和基本不等式?型函数?充满圆及奇异方向?唯一性定理?正规族等。 为了读者阅读方便,《代数体函数的值分布》最后还有一个附录,对《代数体函数的值分布》涉及较多的覆盖曲面理论和无穷乘积进行介绍。
目 录
第1 章代数体函数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 结式及公因子. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 多项式的结式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 孤立点定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2
1.2 代数体函数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
1.2.1 代数体函数的定义. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 正则函数元素. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 函数元素的开拓. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
1.3.1 直接开拓. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
1.3.2 解析开拓. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
1.4 Riemann 曲面. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.1 代数体函数决定的Riemann 曲面. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.2 奇异元素. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17
1.5 零点与极点. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.6 代数体函数类. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6.1 两个代数体函数相等. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6.2 亚纯开拓. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28
1.6.3 导函数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31
1.6.4 代数体函数的对应运算. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
第2 章Nevanlinna 特征函数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36
2.1 亚纯函数的Poisson-Jensen 公式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2 Nevanlinna 第一基本定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2.1 特征函数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43
2.2.2 第一基本定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.3 代数体函数的增长性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3.1 增长级与系数函数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3.2 整代数体函数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.4 分支点的估计. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
第3 章第二基本定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63
3.1 Nevanlinna 第二基本定理及其应用. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63
3.1.1 Nevanlinna 第二基本定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.1.2 复合函数log f(z) 及对数导数定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.1.3 余项定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80
3.1.4 Milloux 定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.1.5 第二基本定理的应用. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.2 关于导数的庄圻泰不等式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.3 关于小代数体函数的第二基本定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
第4 章Ahlfors 的几何方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112
4.1 球面曲线与球面面积. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112
4.1.1 球极投影. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.1.2 球面上曲线的长. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.1.3 球面面积公式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.2 改良的Ahlfors 基本定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.2.1 Ahlfors 型第二基本定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.2.2 角域内的基本不等式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.3 Ahlfors 特征函数与Nevanlinna 特征函数之间的关系. . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.3.1 格林公式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.3.2 平均覆盖次数的分析推导. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.3.3 Ahlfors 型第一基本定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.4 关于岛的基本定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
第5 章型函数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .144
5.1 一些引理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .144
5.2 型函数的分类. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
5.2.1 Valion 有限级型函数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151
5.2.2 熊庆来无限级型函数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5.2.3 零级型函数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
第6 章代数体函数的充满圆及奇异方向. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6.1 代数体函数的充满圆. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .163
6.1.1 有限正级情形. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6.1.2 无穷级情形. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
6.2 代数体函数的奇异方向. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6.3 涉及重值的代数体函数的充满圆和奇异方向. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
6.4 代数体函数的最大型Borel 方向. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
6.4.1 最大型Borel 方向的存在性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .188
6.4.2 最大型Borel 方向上的充满圆. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .192
6.5 无奇异方向的代数体函数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
第7 章代数体函数的唯一性定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
7.1 代数体函数的循环运算. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
7.2 五值型定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
7.3 涉及重值?亏值的唯一性定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .212
7.4 代数体函数类中的唯一性定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
7.4.1 Nevanlinna 型唯一性定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
7.4.2 与导函数相关的唯一性定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .226
第8 章代数体函数的正规族. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
8.1 Hausdor? 距离. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
8.2 正规定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .234
8.2.1 关于面积的正规定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
8.2.2 Montel 型正规定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
附录. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
A.1 Euler 特征数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
A.2 覆盖曲面. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
A.2.1 Riemann-Hurwitz 公式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
A.2.2 Ahlfors 覆盖曲面的定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
A.3 无穷乘积. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
A.3.1 收敛判别法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
A.3.2 典型乘积. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
参考文献. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .274
索引. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
1.1 结式及公因子. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 多项式的结式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 孤立点定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2
1.2 代数体函数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
1.2.1 代数体函数的定义. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 正则函数元素. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 函数元素的开拓. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
1.3.1 直接开拓. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
1.3.2 解析开拓. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
1.4 Riemann 曲面. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.1 代数体函数决定的Riemann 曲面. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.2 奇异元素. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17
1.5 零点与极点. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.6 代数体函数类. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6.1 两个代数体函数相等. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6.2 亚纯开拓. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28
1.6.3 导函数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31
1.6.4 代数体函数的对应运算. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
第2 章Nevanlinna 特征函数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36
2.1 亚纯函数的Poisson-Jensen 公式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2 Nevanlinna 第一基本定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2.1 特征函数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43
2.2.2 第一基本定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.3 代数体函数的增长性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3.1 增长级与系数函数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3.2 整代数体函数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.4 分支点的估计. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
第3 章第二基本定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63
3.1 Nevanlinna 第二基本定理及其应用. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63
3.1.1 Nevanlinna 第二基本定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.1.2 复合函数log f(z) 及对数导数定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.1.3 余项定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80
3.1.4 Milloux 定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.1.5 第二基本定理的应用. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.2 关于导数的庄圻泰不等式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.3 关于小代数体函数的第二基本定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
第4 章Ahlfors 的几何方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112
4.1 球面曲线与球面面积. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112
4.1.1 球极投影. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.1.2 球面上曲线的长. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.1.3 球面面积公式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.2 改良的Ahlfors 基本定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.2.1 Ahlfors 型第二基本定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.2.2 角域内的基本不等式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.3 Ahlfors 特征函数与Nevanlinna 特征函数之间的关系. . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.3.1 格林公式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.3.2 平均覆盖次数的分析推导. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.3.3 Ahlfors 型第一基本定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.4 关于岛的基本定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
第5 章型函数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .144
5.1 一些引理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .144
5.2 型函数的分类. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
5.2.1 Valion 有限级型函数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151
5.2.2 熊庆来无限级型函数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5.2.3 零级型函数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
第6 章代数体函数的充满圆及奇异方向. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6.1 代数体函数的充满圆. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .163
6.1.1 有限正级情形. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6.1.2 无穷级情形. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
6.2 代数体函数的奇异方向. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6.3 涉及重值的代数体函数的充满圆和奇异方向. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
6.4 代数体函数的最大型Borel 方向. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
6.4.1 最大型Borel 方向的存在性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .188
6.4.2 最大型Borel 方向上的充满圆. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .192
6.5 无奇异方向的代数体函数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
第7 章代数体函数的唯一性定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
7.1 代数体函数的循环运算. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
7.2 五值型定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
7.3 涉及重值?亏值的唯一性定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .212
7.4 代数体函数类中的唯一性定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
7.4.1 Nevanlinna 型唯一性定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
7.4.2 与导函数相关的唯一性定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .226
第8 章代数体函数的正规族. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
8.1 Hausdor? 距离. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
8.2 正规定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .234
8.2.1 关于面积的正规定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
8.2.2 Montel 型正规定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
附录. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
A.1 Euler 特征数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
A.2 覆盖曲面. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
A.2.1 Riemann-Hurwitz 公式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
A.2.2 Ahlfors 覆盖曲面的定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
A.3 无穷乘积. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
A.3.1 收敛判别法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
A.3.2 典型乘积. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
参考文献. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .274
索引. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
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第1 章代数体函数
本章主要介绍涉及代数体函数的一些基本知识. 主要内容有结式及重因子?
Riemann 曲面?解析开拓?完全解析函数及解析图像?分支点?代数体函数的运
算等.
1.1 结式及公因子
1.1.1 多项式的结式
记区域D ? C 上的所有解析函数之集(包含全体复数) 为A = A(D). A(D)
是以1 为单位元的可交换环.
记区域D 上的全体亚纯函数之集(包含全体复数) 为M = M(D). M(D) 是
一个可交换的体, 是D 上的亚纯函数域.
环A(D) 上的全体多项式
P(W) =
Xk
t=0
Atwt = A0w0 + A1w + A2w2 + ? ? ? + Akwk
的集合为A(D) 上W 的多项式环, 记为A[W]. 它是一个可换环, 其中At = At(z) 2
A(D)(t = 0; 1; 2; ? ? ? ; k) 称为系数; 若Ak 6= 0, 称k 为P(W) 的次数, 记为d = d(P).
当d(P) = 0 时, 则零次多项式P(W) 2 A(D) 是一个D 上的解析函数或复数.
类似地, 记体M(D) 上的多项式环为M[W]. 它也是一个可换环.
体M(D) 上的两个不全是零次的多项式:
P(W) = Ak(z)Wk + Ak?1(z)Wk?1 + ? ? ? + A0(z);
Q(W) = Bj(z)Wj + Bj?1(z)Wj?1 + ? ? ? + B0(z)
的结式是一个k + j 阶行列式
R(P;Q) =
??????????????????
Ak Ak?1 ? ? ? A2 A1 A0
Ak Ak?1 ? ? ? A2 A1 A0
. . . . . . . . . . . .
Ak Ak?1 ? ? ? A2 A1 A0
Bj Bj?1 ? ? ? B1 B0
Bj Bj?1 ? ? ? B1 B0
. . . . . . . . . . . .
Bj Bj?1 ? ? ? B1 B0
??????????????????
: (1:1:1)
式(1.1.1) 上半部是由j 行P(W) 的亚纯系数组成, 下半部是由k 行Q(W) 的亚纯
系数组成. 因此结式R(P;Q) = R(P;Q)(z) 是D 上的一个亚纯函数. 它或者恒等
于零, 或者仅有弧立的零点.
特别地, 若P(W) ? A0(z), 则结式(1.1.1) 是j 阶行列式
R(P;Q)(z) =
???????????
A0
A0
. . .
A0
???????????
:
1.1.2 孤立点定理
引理1.1.1 两个不全是零次的多项式的结式(1.1.1) 恒等于零的充要条件是
P(W);Q(W) 有非零次的公因子, 即存在非零次多项式H(W) 2 M[W](d(H) > 0),
能整除P(W) 及Q(W).
证(i) 当P(W);Q(W) 的系数全为零, 则结式R(P;Q) ? 0. 这时任一非零多
项式均是P(W);Q(W) 的公因子.
(ii) 当P(W);Q(W) 的系数不全为零. 若存在公因子H(z) 2 M[W] (d(H) > 0).
记
a(W) := P(W)
H(W)
= ak?1Wk?1 + ak?2(z)Wk?2 + ? ? ? + a0;
b(W) := Q(W)
H(W)
= bj?1Wj?1 + bj?2(z)Wj?2 + ? ? ? + b0;
则D 上的亚纯函数ak?1; ak?2; ? ? ? ; a1; a0; bj?1; bj?2; ? ? ? ; b1; b0 不全恒等于零. 因此
除去D 内一些孤立点外, 对其余的任意一点z0(下面简称为“对D 内几乎所有的
点”), ak?1(z0), ak?2(z0); ? ? ? ; a1(z0),a0(z0), bj?1(z0), bj?2(z0); ? ? ? ; b1(z0), b0(z0) 是
不全为零的复数. 注意a(W); b(W) 2 M[W] 及d(a) < d(P), d(b) < d(Q), 且有
P(W)b(W) = Q(W)a(W): (1:1:2)
反之, 若式(1.1.2) 成立. 我们先进行质因子分解P(W) =
Q
j Pj(W), 则每个
质因子Pj(W) 均可整除Q(W)a(w), 故必可整除Q(W), a(w) 之一. 这样一个个地
除下去. 由于d(a) < d(P), 必定至少有一个质因子可整除Q(W). 这就是P(W);
Q(W) 的公因子. 这说明P(W);Q(W) 有非零次的公因子, 等价于式(1.1.2) 成立.
(iii) 比较式(1.1.2) 的系数,
Akbj?1 = Bjak?1;
Ak?1bj?1 +Akbj?2 = Bj?1ak?1 +Bjak?2;
Ak?2bj?1 +Ak?1bj?2 +Akbj?3 = Bj?2ak?1 +Bj?1ak?2 +Bjak?3;
? ? ? ? ? ?
A1bj?1 +A2bj?2+ ? ? ? +Ajb0 = ? ? ? +Bj?1a1 +Bja0;
A0bj?1 +A1bj?2+ ? ? ? +Aj?1b0 = ? ? ? +Bj?2a1 +Bj?1a0;
? ? ? ? ? ?
A0b2 +A1b1 +A2b0 = B0a2 +B1a1 +B2a0;
A0b1 +A1b0 = B0a1 +B1a0;
A0b0 = B0a0;
这说明式(1.1.2) 成立的充分必要条件是k + j 元线性方程组
8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>><
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:
Akx1 ?Bjxj+1 = 0;
Ak?1×1 +Akx2 ?Bj?1xj+1 ?Bjxj+2 = 0;
Ak?2×1 +Ak?1×2 +Akx3 ?Bj?2xj+1 ?Bj?1xj+2 ?Bjxj+3 = 0;
? ? ? ? ? ?
A1x1 +A2x2+ ? ? ? +Ajxj ? ? ? ? Bj?1xj+k?1 ?Bjxj+k = 0;
A0x1 +A1x2+ ? ? ? +Aj?1xj ? ? ? ? Bj?2xj+k?1 ?Bj?1xj+k = 0;
? ? ? ? ? ?
A0xj?2 +A1xj?1+ +A2xj ?B0xj+k?2 ?B1xj+k?1 ?B2xj+k = 0;
A0xj?1+ +A1xj ?B0xj+k?1 ?B1xj+k = 0;
A0xj ?B0xj+k = 0;
在可交换体M(D) 上有非零解.
(iv) 对(iii) 中k +j 元线性方程组, 在可换体M(D) 上有非零解的充分必要条
件是系数行列式??????????????????????????
Ak ?Bj
Ak?1 Ak ?Bj?1 ?Bj
Ak?2 Ak?1 Ak ?Bj?2 ?Bj?1 ?Bj…
. A1 A2 ? ? ? Aj ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?Bj?1 ?Bj
A0 A1 ? ? ? Aj?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?Bj?2 ?Bj?1
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
A0 A1 A2 ?B0 ?B1 ?B2
A0 A1 ?B0 ?B1
A0 ?B0
??????????????????????????
为零元, 即行列式表示的亚纯函数恒为零. 去掉行列式中的负号, 并将它绕主轴旋
转. 就是结式(1.1.1). 证毕.
设Ak(z); ? ? ? ;A0(z) 2 A(D) 是D 上的一组解析函数. 复函数
?(z;W) = Ak(z)Wk + Ak?1(z)Wk?1 + ? ? ? + A0(z) 2 A[W]
与其偏导数
?W(z;W) = kAk(z)Wk?1 + (k ? 1)Ak?1(z)Wk?2 + ? ? ? + A1(z)
的结式为
R(?;?W)=
????????????????????????
Ak Ak?1 ? ? ? A1 A0
Ak Ak?1 ? ? ? A1 A0
. . . . . . ? ? ?
. . . . . . ? ? ?
Ak Ak?1 ? ? ? A1 A0
kAk (k ? 1)Ak?1 ? ? ? A1
kAk (k ? 1)Ak?1 ? ? ? A1
. . . . . . . . . ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ?
kAk (k ? 1)Ak?1 ? ? ? A1
????????????????????????
:
结式R(?;?W) = R(?;?W)(z) 是D 上z 的解析函数.
引理1.1.2 若Ak(z) 6? 0, 结式R(?;?W) 恒等于零的充要条件是?(z;W)
有非亚纯函数的重因子.
证先证?(z;W) 与?W(z;W) 有非亚纯函数的公因子的充要条件是?(z;W)
有非亚纯函数的重因子. 设P(z;W) 是?(z;W) 的一个t > 1 重非亚纯函数因子, 即
?(z;W) = Pt(z;W)Q(z;W); P(z;W) 2 M[W]; d(P) > 0;
其中P(z;W) 是质因子(即不可约因子), 且不能整除Q(z;W). 上式两边对W 求
偏导, 得
?W(z;W) = Pt?1(z;W)[tPW(z;W)Q(z;W) + P(z;W)QW(z;W)]:
注意d(PW) 6 d(P). 故中括号内的函数不能被P(z;W) 整除. 因此P(z;W) 是
?W(z;W) 的t ? 1 重因子. 要使?(z;W) 与?W(z;W) 有非亚纯函数的公因子当
且仅当t > 1.
结合引理1.1.1, 结式R(?;?W) 恒等于零的充要条件是?(z;W) 与?W(z;W)
有非亚纯函数的公因子. 证毕.
由此可推出下面的定理.
定理1.1.1(孤立点定理) 设Ak(z) 6? 0. 若?(z;W) 没有非亚纯函数的重因
子, 则结式R(?;?W)(z) 的每个零点都是孤立点, 因此R(?;?W)(z) 6? 0.
我们将“?(z;W) 没有非亚纯函数的重因子”称为“孤立性条件”.
1.2 代数体函数
在给出代数体函数的定义前, 先介绍一些概念.
设多项式
?(z;W) = Ak(z)Wk + Ak?1(z)Wk?1 + ? ? ? + A0(z) 2 M[W]
具有如下性质:
(i) Ak(z);Ak?1(z); ? ? ? ;A0(z) 2 A(D) 是D 上的一组没有公共零点的解析
函数;
(ii) Ak(z) 6? 0;
(iii) 多项式?(z;W) 没有非亚纯函数的重因子, 即满足孤立性条件.
我们称?(z;W) 满足正则三条件.
由孤立点定理, 这时的结式R(?;?W)(z) 的零点集MW = MW(D) := fz 2
D;R(?;?W)(z) = 0g 是由D 上的一些孤立点组成. 称MW(D) 为重点集, PW(D) :=
fz;Ak(z) = 0g 为极点集, SW(D) := PW(D)
S
MW(D) 为临界点集;称IW(D) :=
D ? PW(D) 为有限值集, TW(D) := D ? SW(D) 为正则集. 1.2.1 代数体函数的定义
设二元复方程
?(z;W) = Ak(z)Wk + Ak?1(z)Wk?1 + ? ? ? + A0(z) = 0 (1:2:1)
满足正则三条件. 由代数基本定理, 方程(1.2.1) 在IW(D) 上定义了一个k 值代数
体函数W(z), 或称为无重因子代数体函数.
若?(z;W) 在D 上是不可约的, 则称W(z) 是D上的不可约k 值代数体函数;
若Ak(z) 是D上无零点的解析函数, 则称W(z) 是D 上的k 值整代数体函数;
若Ak(z); ? ? ? ;A0(z) 都是D 上的多项式, 则称W(z) 是D 上的k 值代数函数;
若Ak(z) ? c1, A
本章主要介绍涉及代数体函数的一些基本知识. 主要内容有结式及重因子?
Riemann 曲面?解析开拓?完全解析函数及解析图像?分支点?代数体函数的运
算等.
1.1 结式及公因子
1.1.1 多项式的结式
记区域D ? C 上的所有解析函数之集(包含全体复数) 为A = A(D). A(D)
是以1 为单位元的可交换环.
记区域D 上的全体亚纯函数之集(包含全体复数) 为M = M(D). M(D) 是
一个可交换的体, 是D 上的亚纯函数域.
环A(D) 上的全体多项式
P(W) =
Xk
t=0
Atwt = A0w0 + A1w + A2w2 + ? ? ? + Akwk
的集合为A(D) 上W 的多项式环, 记为A[W]. 它是一个可换环, 其中At = At(z) 2
A(D)(t = 0; 1; 2; ? ? ? ; k) 称为系数; 若Ak 6= 0, 称k 为P(W) 的次数, 记为d = d(P).
当d(P) = 0 时, 则零次多项式P(W) 2 A(D) 是一个D 上的解析函数或复数.
类似地, 记体M(D) 上的多项式环为M[W]. 它也是一个可换环.
体M(D) 上的两个不全是零次的多项式:
P(W) = Ak(z)Wk + Ak?1(z)Wk?1 + ? ? ? + A0(z);
Q(W) = Bj(z)Wj + Bj?1(z)Wj?1 + ? ? ? + B0(z)
的结式是一个k + j 阶行列式
R(P;Q) =
??????????????????
Ak Ak?1 ? ? ? A2 A1 A0
Ak Ak?1 ? ? ? A2 A1 A0
. . . . . . . . . . . .
Ak Ak?1 ? ? ? A2 A1 A0
Bj Bj?1 ? ? ? B1 B0
Bj Bj?1 ? ? ? B1 B0
. . . . . . . . . . . .
Bj Bj?1 ? ? ? B1 B0
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: (1:1:1)
式(1.1.1) 上半部是由j 行P(W) 的亚纯系数组成, 下半部是由k 行Q(W) 的亚纯
系数组成. 因此结式R(P;Q) = R(P;Q)(z) 是D 上的一个亚纯函数. 它或者恒等
于零, 或者仅有弧立的零点.
特别地, 若P(W) ? A0(z), 则结式(1.1.1) 是j 阶行列式
R(P;Q)(z) =
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A0
A0
. . .
A0
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:
1.1.2 孤立点定理
引理1.1.1 两个不全是零次的多项式的结式(1.1.1) 恒等于零的充要条件是
P(W);Q(W) 有非零次的公因子, 即存在非零次多项式H(W) 2 M[W](d(H) > 0),
能整除P(W) 及Q(W).
证(i) 当P(W);Q(W) 的系数全为零, 则结式R(P;Q) ? 0. 这时任一非零多
项式均是P(W);Q(W) 的公因子.
(ii) 当P(W);Q(W) 的系数不全为零. 若存在公因子H(z) 2 M[W] (d(H) > 0).
记
a(W) := P(W)
H(W)
= ak?1Wk?1 + ak?2(z)Wk?2 + ? ? ? + a0;
b(W) := Q(W)
H(W)
= bj?1Wj?1 + bj?2(z)Wj?2 + ? ? ? + b0;
则D 上的亚纯函数ak?1; ak?2; ? ? ? ; a1; a0; bj?1; bj?2; ? ? ? ; b1; b0 不全恒等于零. 因此
除去D 内一些孤立点外, 对其余的任意一点z0(下面简称为“对D 内几乎所有的
点”), ak?1(z0), ak?2(z0); ? ? ? ; a1(z0),a0(z0), bj?1(z0), bj?2(z0); ? ? ? ; b1(z0), b0(z0) 是
不全为零的复数. 注意a(W); b(W) 2 M[W] 及d(a) < d(P), d(b) < d(Q), 且有
P(W)b(W) = Q(W)a(W): (1:1:2)
反之, 若式(1.1.2) 成立. 我们先进行质因子分解P(W) =
Q
j Pj(W), 则每个
质因子Pj(W) 均可整除Q(W)a(w), 故必可整除Q(W), a(w) 之一. 这样一个个地
除下去. 由于d(a) < d(P), 必定至少有一个质因子可整除Q(W). 这就是P(W);
Q(W) 的公因子. 这说明P(W);Q(W) 有非零次的公因子, 等价于式(1.1.2) 成立.
(iii) 比较式(1.1.2) 的系数,
Akbj?1 = Bjak?1;
Ak?1bj?1 +Akbj?2 = Bj?1ak?1 +Bjak?2;
Ak?2bj?1 +Ak?1bj?2 +Akbj?3 = Bj?2ak?1 +Bj?1ak?2 +Bjak?3;
? ? ? ? ? ?
A1bj?1 +A2bj?2+ ? ? ? +Ajb0 = ? ? ? +Bj?1a1 +Bja0;
A0bj?1 +A1bj?2+ ? ? ? +Aj?1b0 = ? ? ? +Bj?2a1 +Bj?1a0;
? ? ? ? ? ?
A0b2 +A1b1 +A2b0 = B0a2 +B1a1 +B2a0;
A0b1 +A1b0 = B0a1 +B1a0;
A0b0 = B0a0;
这说明式(1.1.2) 成立的充分必要条件是k + j 元线性方程组
8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>><
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:
Akx1 ?Bjxj+1 = 0;
Ak?1×1 +Akx2 ?Bj?1xj+1 ?Bjxj+2 = 0;
Ak?2×1 +Ak?1×2 +Akx3 ?Bj?2xj+1 ?Bj?1xj+2 ?Bjxj+3 = 0;
? ? ? ? ? ?
A1x1 +A2x2+ ? ? ? +Ajxj ? ? ? ? Bj?1xj+k?1 ?Bjxj+k = 0;
A0x1 +A1x2+ ? ? ? +Aj?1xj ? ? ? ? Bj?2xj+k?1 ?Bj?1xj+k = 0;
? ? ? ? ? ?
A0xj?2 +A1xj?1+ +A2xj ?B0xj+k?2 ?B1xj+k?1 ?B2xj+k = 0;
A0xj?1+ +A1xj ?B0xj+k?1 ?B1xj+k = 0;
A0xj ?B0xj+k = 0;
在可交换体M(D) 上有非零解.
(iv) 对(iii) 中k +j 元线性方程组, 在可换体M(D) 上有非零解的充分必要条
件是系数行列式??????????????????????????
Ak ?Bj
Ak?1 Ak ?Bj?1 ?Bj
Ak?2 Ak?1 Ak ?Bj?2 ?Bj?1 ?Bj…
. A1 A2 ? ? ? Aj ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?Bj?1 ?Bj
A0 A1 ? ? ? Aj?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?Bj?2 ?Bj?1
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
A0 A1 A2 ?B0 ?B1 ?B2
A0 A1 ?B0 ?B1
A0 ?B0
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为零元, 即行列式表示的亚纯函数恒为零. 去掉行列式中的负号, 并将它绕主轴旋
转. 就是结式(1.1.1). 证毕.
设Ak(z); ? ? ? ;A0(z) 2 A(D) 是D 上的一组解析函数. 复函数
?(z;W) = Ak(z)Wk + Ak?1(z)Wk?1 + ? ? ? + A0(z) 2 A[W]
与其偏导数
?W(z;W) = kAk(z)Wk?1 + (k ? 1)Ak?1(z)Wk?2 + ? ? ? + A1(z)
的结式为
R(?;?W)=
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Ak Ak?1 ? ? ? A1 A0
Ak Ak?1 ? ? ? A1 A0
. . . . . . ? ? ?
. . . . . . ? ? ?
Ak Ak?1 ? ? ? A1 A0
kAk (k ? 1)Ak?1 ? ? ? A1
kAk (k ? 1)Ak?1 ? ? ? A1
. . . . . . . . . ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ?
kAk (k ? 1)Ak?1 ? ? ? A1
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:
结式R(?;?W) = R(?;?W)(z) 是D 上z 的解析函数.
引理1.1.2 若Ak(z) 6? 0, 结式R(?;?W) 恒等于零的充要条件是?(z;W)
有非亚纯函数的重因子.
证先证?(z;W) 与?W(z;W) 有非亚纯函数的公因子的充要条件是?(z;W)
有非亚纯函数的重因子. 设P(z;W) 是?(z;W) 的一个t > 1 重非亚纯函数因子, 即
?(z;W) = Pt(z;W)Q(z;W); P(z;W) 2 M[W]; d(P) > 0;
其中P(z;W) 是质因子(即不可约因子), 且不能整除Q(z;W). 上式两边对W 求
偏导, 得
?W(z;W) = Pt?1(z;W)[tPW(z;W)Q(z;W) + P(z;W)QW(z;W)]:
注意d(PW) 6 d(P). 故中括号内的函数不能被P(z;W) 整除. 因此P(z;W) 是
?W(z;W) 的t ? 1 重因子. 要使?(z;W) 与?W(z;W) 有非亚纯函数的公因子当
且仅当t > 1.
结合引理1.1.1, 结式R(?;?W) 恒等于零的充要条件是?(z;W) 与?W(z;W)
有非亚纯函数的公因子. 证毕.
由此可推出下面的定理.
定理1.1.1(孤立点定理) 设Ak(z) 6? 0. 若?(z;W) 没有非亚纯函数的重因
子, 则结式R(?;?W)(z) 的每个零点都是孤立点, 因此R(?;?W)(z) 6? 0.
我们将“?(z;W) 没有非亚纯函数的重因子”称为“孤立性条件”.
1.2 代数体函数
在给出代数体函数的定义前, 先介绍一些概念.
设多项式
?(z;W) = Ak(z)Wk + Ak?1(z)Wk?1 + ? ? ? + A0(z) 2 M[W]
具有如下性质:
(i) Ak(z);Ak?1(z); ? ? ? ;A0(z) 2 A(D) 是D 上的一组没有公共零点的解析
函数;
(ii) Ak(z) 6? 0;
(iii) 多项式?(z;W) 没有非亚纯函数的重因子, 即满足孤立性条件.
我们称?(z;W) 满足正则三条件.
由孤立点定理, 这时的结式R(?;?W)(z) 的零点集MW = MW(D) := fz 2
D;R(?;?W)(z) = 0g 是由D 上的一些孤立点组成. 称MW(D) 为重点集, PW(D) :=
fz;Ak(z) = 0g 为极点集, SW(D) := PW(D)
S
MW(D) 为临界点集;称IW(D) :=
D ? PW(D) 为有限值集, TW(D) := D ? SW(D) 为正则集. 1.2.1 代数体函数的定义
设二元复方程
?(z;W) = Ak(z)Wk + Ak?1(z)Wk?1 + ? ? ? + A0(z) = 0 (1:2:1)
满足正则三条件. 由代数基本定理, 方程(1.2.1) 在IW(D) 上定义了一个k 值代数
体函数W(z), 或称为无重因子代数体函数.
若?(z;W) 在D 上是不可约的, 则称W(z) 是D上的不可约k 值代数体函数;
若Ak(z) 是D上无零点的解析函数, 则称W(z) 是D 上的k 值整代数体函数;
若Ak(z); ? ? ? ;A0(z) 都是D 上的多项式, 则称W(z) 是D 上的k 值代数函数;
若Ak(z) ? c1, A
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