高等数值计算

《高等数值计算》由沈艳、杨丽宏、王立刚、冯国峰编著，全书以数值计算方法的理论与方法为主线，在介绍了线性代数必备知识与误差理论的基础上，全面介绍了求解线性方程组的直接法，求解线性方程组、非线性方程(组)及矩阵特征值与特征向量的迭代法，函数的插值与逼近，数值积分与数值微分，求解常微分方程定解问题的数值方法，求解偏微分方程定解问题的有限差分法和有限元法，书中详细讲述了各种方法的构造思想、理论推导、计算公式以及误差分析等内容。本书结构清晰，重点突出，便于根据不同对象、学时和要求进行教学。此外，各章均配有一定数量的习题，以方便读者学习本课程。
本书既适合作为工科及理科高等院校高年级本科生、研究生的教材，也适合作为教师和广大科技工作者从事科学研究的参考书。

第1章 预备知识与误差理论
1.1 线性代数的一些基础知识
1.1.1 几种常见矩阵及其性质
1.1.2 矩阵的特征值问题与对角化
1.1.3 线性空间与内积空间
1.1.4 向量范数
1.1.5 矩阵范数与矩阵的算子范数
1.2 误差
1.2.1 误差的来源与分类
1.2.2 误差与有效数字
1.2.3 数值运算中的误差估计
1.2.4 病态问题与算法稳定性分析
1.2.5 避免误差危害与数值计算中算法设计
习题1
第2章 解线性方程组的直接法
2.1 高斯消去法
2.1.1 基本高斯消去法
2.1.2 列主元高斯消去法
2.2 矩阵三角分解
2.2.1 LU分解
2.2.2 三对角方程组的追赶法
2.2.3 对称矩阵的三角分解
2.2.4 平方根法
2.3 矩阵条件数与病态方程组
2.3.1 病态现象与条件数
2.3.2 线性方程组的误差分析
2.3.3 病态线性方程组
2.4 豪斯霍尔德变换与QR分解
习题2
第3章 解线性方程组的迭代法
3.1 经典迭代法的基本概念
3.1.1 雅可比迭代法
3.1.2 高斯赛德尔迭代法
3.1.3 逐次超松弛迭代法
3.2 迭代法的收敛性
3.3 共轭梯度法
3.3.1 最速下降法
3.3.2 共轭梯度法
习题3
第4章 非线性方程与方程组的迭代解法
4.1 根的搜索
4.2 压缩映像原理与不动点迭代法
4.2.1 不动点迭代法的基本思想
4.2.2 压缩映像原理
4.2.3 不动点迭代法的收敛性
4.3 牛顿迭代法及其变形
4.3.1 牛顿迭代法及其收敛性
4.3.2 牛顿迭代法的修正
4.3.3 重根的迭代法
4.4 迭代收敛的加速方法
4.4.1 埃特金加速收敛方法
4.4.2 斯特芬森迭代法
4.5 求解非线性方程组的迭代法
4.5.1 多变量的不动点迭代法
4.5.2 多变量的牛顿迭代法
习题4
第5章 矩阵特征值和特征向量的迭代算法
5.1 幂迭代法
5.1.1 幂迭代法原理
5.1.2 加速收敛的方法
5.1.3 反幂法
5.2 QR迭代法
5.2.1 QR迭代法的原理
5.2.2 黑森伯格矩阵
习题5
第6章 插值法
6.1 插值问题的提出
6.2 多项式插值
6.3 拉格朗日插值方法
6.3.1 拉格朗日插值
6.3.2 插值余项
6.4 牛顿插值多项式
6.4.1 差商形式的牛顿插值多项式
6.4.2 差商的基本性质
6.4.3 差分形式的牛顿插值多项式
6.5 埃尔米特插值多项式
6.5.1 构造基函数方法
6.5.2 待定系数法
6.5.3 重节点差商法
6.6 分段低次插值
6.6.1 高次插值多项式的缺陷
6.6.2 分段线性插值
6.6.3 分段三次埃尔米特插值
6.7 三次样条插值
6.7.1 三次样条插值问题的基本提法
6.7.2 三次样条插值公式
6.7.3 误差阶与收敛性
6.8 B样条插值
6.8.1 B样条函数
6.8.2 m次样条函数空间
6.8.3 B样条插值
习题6
第7章 函数逼近与曲线拟合
7.1 正交多项式
7.1.1 正交函数族
7.1.2 正交多项式的性质
7.1.3 勒让德多项式
7.1.4 切比雪夫多项式
7.1.5 切比雪夫多项式零点插值
7.2 最佳平方逼近
7.2.1 最佳平方逼近及其误差分析
7.2.2 用正交函数族作最佳平方逼近
7.3 曲线拟合的最小二乘法
7.3.1 最小二乘拟合问题
7.3.2 非线性最小二乘拟合的线性化
7.3.3 用正交多项式作最小二乘拟合
习题7
第8章 数值积分与数值微分
8.1 数值积分的基本概念
8.1.1 插值型求积公式
8.1.2 求积公式的代数精度
8.2 牛顿科特斯求积公式
8.2.1 牛顿科特斯公式
8.2.2 几种常用的牛顿科特斯求积公式
8.3 复化求积公式
8.3.1 复化梯形求积公式
8.3.2 复化辛普森求积公式
8.3.3 复化科特斯求积公式
8.4 龙贝格积分方法
8.4.1 后验误差估计
8.4.2 变步长梯形公式
8.4.3 理查森外推法
8.4.4 龙贝格算法
8.5 高斯求积公式
8.5.1 高斯型求积公式的建立
8.5.2 高斯求积公式的余项
8.5.3 高斯勒让德求积公式
8.5.4 高斯切比雪夫求积公式
8.6 数值微分
8.6.1 差商公式及误差分析
8.6.2 插值型求导公式
8.6.3 三次样条求导
习题8
第9章 常微分方程的初值问题
9.1 引言
9.2 常微分方程初值问题的一般方法
9.2.1 单步方法和多步方法
9.2.2 显式方法和隐式方法
9.2.3 局部截断误差和整体截断误差
9.2.4 线性多步法的相容性与收敛性
9.2.5 线性多步法的稳定性与绝对稳定域
9.3 常微分方程初值问题的高阶单步法
9.3.1 泰勒级数法
9.3.2 龙格库塔方法
9.4 高阶单步方法的性态分析及改进
9.5 线性多步法——亚当斯方法和吉尔方法
9.5.1 亚当斯巴什福思方法
9.5.2 亚当斯莫尔顿方法
9.5.3 吉尔方法
9.6 一般线性多步方法的构造
9.7 一阶常微分方程组
9.8 刚性问题
9.8.1 隐式龙格库塔方法
9.8.2 吉尔方法
习题9
第10章 求解微分方程的有限差分法
10.1 解两点边值问题的差分方法
10.2 在矩形区域上求解椭圆边值问题的差分方法
10.2.1 第一类边值条件
10.2.2 第二、第三类边值条件
10.3 在三角形网格上求解椭圆型方程的有限差分法
10.4 椭圆差分方程的性态研究
10.5 扩散方程的有限差分法
10.5.1 扩散方程的离散
10.5.2 古典显格式
10.5.3 古典隐格式
10.5.4 克兰克尼科尔森格式
10.5.5 最高截断误差阶的两层加权平均格式
10.5.6 理查森格式
10.6 对流方程的差分格式
10.7 波动方程的差分离散
习题10
第11章 求解微分方程的有限元法简介
11.1 变分问题
11.1.1 两点边值问题的变分形式
11.1.2 泛函和变分
11.1.3 两点边值问题的变分形式
11.1.4 椭圆型方程的变分形式
11.2 泛函的极值问题
11.2.1 泛函的极值问题的存在性
11.2.2 与椭圆型方程相应的泛函极值问题
11.2.3 极值问题与变分问题之间的联系
11.3 变分和泛函极值问题的近似求解
11.3.1 变分和泛函极值问题的进一步讨论
11.3.2 里茨法
11.3.3 伽辽金法
11.4 解椭圆型问题的有限元方法
11.4.1 基于变分问题的有限元方法
11.4.2 基于泛函极值问题的有限元方法
习题11
习题答案或提示
参考文献

前言

随着计算机的广泛使用与科学技术的迅速发展，科学计算已成为科学研究、工程设计中的一个重要的手段，它已成为与理论分析、科学试验并驾齐驱的科学研究方法.目前，掌握和应用科学计算的基本方法或数值计算方法，已不再仅仅是数学专业的学生和专门从事科学与工程计算工作的科研人员的必备知识，大量从事力学、物理学、航空航天、信息传输、能源开发、土木工程、机械设计、医药卫生及社会科学领域的科研人员和工程技术人员，也将数值计算方法作为各自领域研究的一种重要研究工具.因此，“数值计算方法”已逐渐成为理工科大学本科生和硕士研究生的必修课程.
本教材根据国家教委关于“数值计算方法”课程的基本要求，介绍计算机上常用的数值计算方法，不仅充实完善了线性代数方程组直接法和迭代法、非线性方程与方程组求根、函数的插值与逼近、数值微积分和微分方程数值解等内容，而且还增加了数值求解偏微分方程的有限差分法和有限元法.全书深入浅出，层次分明，部分理论证明和全书内容独立，便于根据工科研究生32学时、48学时等不同需求进行取材和教学，也适合数学系高年级本科生64学时、72学时使用.该书在内容安排上，既注重理论的严谨性，又注重方法的实用性.每章配备了大量的例题与数值计算应用实例，并配有丰富的习题，以帮助读者巩固和加深理解有关内容.
本教材适合理工科大学硕士研究生“数值计算”或者“数值分析”课程及数学系高年级本科生 “计算方法”课程使用，也可供相关科技人员学习参考.
 本书编写得到哈尔滨工程大学研究生院大力支持，在此表示衷心的感谢．希望使用本书的广大读者和教师，对本书缺点和不足之处提出批评并指正．
      
编者2014年3月