医用高等数学（第二版）

熊安明、葛琳、刘智主编的《医用高等数学(第2版)》共分九章，**章至第六章，按48教学时数编写，属于基础部分。第七章至第九章相对独立。全书总教学时数大约72学时，能满足不同教学层次的需求。内容包含一元函数微积分、多元函数微积分、概率论基础、线性代数初步等几个部分。一元函数微积分部分以极限、连续、微分、积分为主线展开讨论，(常)微分方程本质上也是一元函数的积分；多元函数微积分部分在简单介绍空间解析几何知识的基础上，以二元函数为对象，介绍极限与连续、偏导数与全微分、极值、二重积分等知识；概率论部分，在介绍了事件与概率等基本概念之后，以古典概型为基础，讲述概率的加法与乘法公式，进而讨论了常见*变量的概率分布及其数字特征；线性代数部分，主要讲述行列式的性质与运算、矩阵的初等变换、线性方程组的解等内容。 

本教材包含一元函数微积分、多元函数微积分、概率论基础、线性代数初步等几个部分。一元函数微积分部分以极限、连续、微分、积分为主线展开讨论，（常）微分方程本质上也是一元函数的积分；多元函数微积分部分在简单介绍空间解析几何知识的基础上，以二元函数为对象，介绍极限与连续、偏导数与全微分、极值、二重积分等知识；概率论部分，在介绍了事件与概率等基本概念之后，以古典概型为基础，讲述概率的加法与乘法公式，进而讨论了常见*变量的概率分布及其数字特征；线性代数部分，主要讲述行列式的性质与运算、矩阵的初等变换、线性方程组的解等内容。

本教材可供基础、临床、预防、口腔等医学类专业及药学各专业使用，也可供相关教学及研究人员参考。

熊安明、葛琳、刘智、刘涛、洪俊田

章 函数与极限
节 函数
第二节 极限
第三节 函数的连续性
习题一
第二章 导数与微分
节 导数的概念
第二节 函数的求导法则
第三节 高阶导数
第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
第五节 微分
习题二
第三章 导数的应用
节 微分中值定理 洛必达法则
第二节 函数的单调性与极值
第三节 函数曲线的凹凸性与拐点
第四节 函数图形的描绘
习题三
第四章 不定积分
节 不定积分的概念与性质
第二节 换元积分法
第三节 分部积分法
第四节 有理函数的积分
习题四
第五章 定积分的概念与性质
节 定积分的概念和性质
第二节 微积分基本公式
第三节 定积分的换元积分法和分部积分法
第四节 定积分的应用
第五节 反常积分
习题五
第六章 微分方程基础
节 微分方程的基本概念
第二节 一阶微分方程
第三节 可降阶的高阶微分方程
第四节 二阶常系数线性齐次微分方程
第五节 微分方程在医学上的应用
习题六
第七章 多元函数微积分
节 极限与连续
第二节 偏导数与全微分
第三节 多元复合函数与隐函数的偏导数
第四节 多元函数的极值
第五节 二重积分
习题七
第八章 概率论基础
节 随机事件与概率
第二节 概率基本公式
第三节 随机变量及其概率分布
第四节 随机变量的数字特征
习题八
第九章 线性代数初步
节 行列式
第二节 矩阵
第三节 矩阵的初等变换
第四节 线性方程组解的结构
第五节 特征值与特征向量
习题九
习题参考答案
附录1 泊松分布P(ξ=m)=λ^m/m!e^-λ的数值表
附录2 正态分布函数Φ(x)=1/2π∫^x_-∞e^-t2/2dt的数值表

章函数与极限

函数描述变量之间的关系，它是对运动变化的客观事物间数量关系的抽象概括．极限刻画变量的变化趋势，采用极限方法研究函数是高等数学与初等数学的本质区别．本章主要内容包括函数、极限和函数连续性等基本概念，以及它们的主要性质．

节　函　　数

一、函数的概念

1．常量与变量在某一变化过程中可能会遇到各种不同的量，其中有的量始终保持同一数值，称为常量；有的量可以取不同的数值，称为变量．

一个量是常量还是变量是相对的，即它取决于具体的变化过程．例如，重力加速度这个物理量，如果研究的是某地自由落体的运动属性，则视它为常量；如果研究的是这个物理量本身（与地球位置的关系），则视它为变量．

2．函数的概念设x，y是同一变化过程中的两个变量，如果对于变量x的每一个允许的取值，按照一定的规律，变量y总有一个确定的值与之对应，则称y为x的函数．记为y＝f（x）．变量x称为自变量，变量y称为因变量．

自变量x允许值的集合称为函数的定义域，如果x0是函数定义域中的一点，也说成函数f（x）在x0有定义，且把它对应的因变量的值称为函数值，记为f（x0）或y|x＝x0，即y|x＝x0＝f（x0），所有函数值的集合称为函数的值域．

对应法则和定义域是函数概念中的两大要素，只有当二者完全相同时才认为两个函数是相同的函数．根据具体的情况，对应法则即函数关系，可以使用解析式、图像、表格等表示．

二、初等函数　分段函数

1．基本初等函数幂函数　　　y＝xa （a∈R）；指数函数　　y＝ax （a＞0，a≠1）；对数函数　　y＝logax（a＞0，a≠1）；三角函数　　y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx，y＝cotx等；反三角函数　y＝arcsinx，y＝arccosx，y＝arctanx，y＝arccotx等．

这五种基本初等函数再加上常数函数y＝C（C为常数）统称为基本初等函数．

2． 复合函数

设y＝f（u）是变量u的基本初等函数，而u＝φ（x）是变量x的基本初等函数，如果变量x取某些值时，相应地u使y有定义，则称y是x的复合函数，记为

y＝f［φ（x）］．

变量u称为中间变量．例1　设y＝lgu，u＝arccosv，v＝x+1，写出y关于x的复合函数．解　通过对u，v依次进行变量代换知，y关于x的复合函数是y＝

lgarccos（x+1），其定义域为［-2，0）．例2　设

f（x）＝x2 ，　g（x）＝x 1+1 ，

试求f［f（x）］，f［g（x）］，g［f（x）］，g［g（x）］．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

解　f［f（x）］＝［f（x）］2 ＝ x4；

f［g（x）］＝［g（x）］2 ＝ x 1+1 2；

g［f（x）］＝1+1 f （x）＝ x21+1 ；

1 x +1 g［g （x）］＝g（x）+1＝ x +2 ． 注意：如果两个函数复合而成的函数的定义域为空集，则此复合函数无意义（或称它们不能复合）．例如，y＝lnu，u＝sinx-1，因任意x都使得u＝sinx-1≤0，lnu无意义，它们不能复合．例3　将下列复合函数分解为简单函数．

（1）y＝lnsin（x2 -1）；（2）y＝asin（bx+c）+1+ b eax ．

解　（1）函数由y＝lnu，u＝sinv，v＝x2 -1复合而成，由sinv＞0知，2kπ＜x2 -1＜（2k+1）π，

即

2kπ+1＜x＜

（2k+1）π+1，　（k＝0，1，2，3，.）．

（2）整体上不是一个复合函数，它是y＝y1+y2两个复合函数的和．函数y1＝asin（bx+c），由y1＝asinu1，u1＝bx+c复合而成．

函数y2＝1+ b eax ，由y2＝ub 2，u2＝1+ev ，v ＝ ax 复合而成．

3． 初等函数

由基本初等函数经过有限次四则运算或复合所得到的仅用一个解析式表达的函数，称为初等函数．

例如，y＝x3+ ln x +

x2+1，y＝xtanx+sin（ex + 1） 等都是初等函数．

4．分段函数有些函数，自变量x在定义域的不同区间段内取值时，需要用到不同的解析式，这种需要由几个初等函数才能表达的函数称为分段函数．

例如，值函数xx≥0，

y ＝ | x| ＝

-xx＜0；

符号函数

1 x ＞ 0， y ＝ sgn x ＝

0x＝0，-1x＜0；它们都不能用一个解析式描述．分段函数一般不属于初等函数．求值时要注意根据自变量的值选择相应的解析式．例4　设函数

|sinx||x|＜π，

3

φ（x）＝

0 | x| ≥ π．

3

求φ 6π ，φ -4π ，φ（-2）．

1

sin π

解　φ6π＝

＝；

6

2

π

2

sin -π

＝；

φ-4 ＝

4

2

φ（-2）＝0．

三、函数的几种特性

1． 有界性

设I是函数f（x）的某个定义区间，如果存在一个正数M，使对所有的x∈I，恒有|f（x）|≤M，则称函数f（x）在区间I内有界，否则称函数f（x）在I内无界（注：定义区间是指包含在定义域内的区间）．

例如，tanx在-4π ，+ 4π 内有界，但在-2π ，+ 2π 内无界．

2． 单调性

设x1，x2是函数f（x）的某定义区间（a，b）内的任意两点，且x1＜x2．若f（x1）＜f（x2），则称f（x）在（a，b）内是单调递增的；若f（x1）＞f（x2），则称f（x）在（a2，xb）内是单调递减的．2

例如，在（-∞，+∞）内是单调递增的；x在（-∞，0）内是单调递减的，在（0，+∞）内是单调递增的．

3． 奇偶性

设函数f（x）的定义域关于原点对称．对于定义域内的任意x，如果f（-x）＝f（x）恒成立，则称f（x）为偶函数；如果f（-x）＝-f（x）恒成立，则称f（x）为奇函数．

奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称．例如，x2-x4 ，2x +2-x ，cosx都是偶函数；x3-x5 ，2x -2 -x ，sinx都是奇函数；但x3-x4 ，2x + x2，arccosx都是非奇非偶函数．

4． 周期性

设x是函数f（x）定义域内的任意一点，如果存在一个正数l，使得f（x+l）也有定义，且等式f（x+l）＝f（x）恒成立，则称f（x）为周期函数，满足这个等式的小正数l称为函数的小正周期．

例如，sinx，cos2x都是周期函数，它们的小正周期为2π，π．注意：有界性与单调性是函数的局部特性，而奇偶性与周期性是其整体特性．

思考与讨论

1．下面各组函数是否为相同的函数，为什么？

（1）f（x）＝lgx2，g（x）＝2lgx；

（2）f（x）＝1，g（x）＝sec2 x-tan2 x ；

（3）f（x）＝eln x ，g（x）＝x；

（4）f（x）＝arcsinx，g（x）＝π-arccosx．

2

2．下列函数哪些是奇函数？哪些是偶函数？哪些是非奇非偶函数？

（1）f（x）＝arctan（sinx）；（2）f（x）＝lg2 x ；

（3）f（x）＝lncosx．

3．下列函数哪些是周期函数，对于周期函数，指出其周期．

（1）y＝arctan（tanx）；（2）y＝xcosx；

（3）y＝sin1 ；（4）y＝sin2 x ．

x

第二节　极　　限

一、极限的概念

实际问题会出现这种情况：函数在某点不一定有定义，但自变量无限靠近该点时，函数的变化趋势却存在一定规律性，这种函数变化趋势的问题，就是极限概念所要描述和解答的问题．

对于函数y＝f（x），自变量x的变化趋势包括其值无限增大（记为x→∞）和其值无限靠近某个常数（记为x→x0）两种情形，下面分别讨论这两种情况下函数y＝f（x）的变化趋势．并且讨论数列｛an｝当n趋向正无穷大（n→∞）时，an的变化趋势．

1．x →∞ 时函数的极限

考察函数f（x）＝1 x 当x→∞时的变化趋势，如下表．

x

±1±10±100±1000±10000±100000.→∞

±1±0．1±0．01±0．001±0．0001±0．00001.→0

f（x）

　　可以看出，当|x|无限增大（即x→±∞）时，函数

f（x）＝1 x 无限趋向0．如图11，观察｜x｜无限增大时

曲线的走向，也说明了这点．

定义1　设函数f（x）当｜x｜大于某一正数时有定义，如果｜x｜无限增大时，函数f（x）无限趋向某一常数A，就称当x趋向无穷大时，函数f（x）以A为极限（或

收敛于A），记为lim f（x）＝A　或　f（x）→A（x→∞）．

x →∞

上述变化趋势用极限表示就是lim 1 ＝0．如果|x|无限增大时，函数

x →∞ x

f（x）不趋向某个常数，就称x→∞时，f（x）的极限不存在（或称发散）．极限不存在通常有两种情形：一是函数值在某个范围内波动，如函数y＝sin x，当x→∞时，函数值在-1与+1之间波动；一是函数值趋向无穷大，如函数y＝x2，当x→∞时，y无限增大．这种情况我们通常记为

lim x2＝∞　或　x2 →∞（x→∞）．

x →∞

｜x｜无限增大即x→∞，包含x→±∞两种情形，某些函数不可以笼统地讨论．例如，观察函数arctan x的变化情况，我们发现

lim arctan x ＝ π，　lim arctan x＝-π ．

x →+ ∞ 2 x →-∞ 2

仅当自变量x沿x轴正方向无限增大（或沿x轴负方向值无限增大）时，函数f（x）无限趋向某常数A，则称A为函数f（x）的单侧极限，即