泛函分析（原书第2版·典藏版）

本书是国际教材，在材料的取舍和处理手法上很有特色，对某些公理进行了准确描述，并精彩地讨论了一些深入的专题，还介绍了在其他数学分支（如微分方程）中有价值的应用。用作者自己的话来讲，他并不期望写一部百科全书，而是为进一步的探索打开通道。
本书叙述清楚，论证严谨，不少地方的注释相当精辟并具有启发性，可作为高等院校数学专业高年级本科生和研究生的教材和参考书。 

本书不仅详细叙述了拓扑线性空间，包括若干子类局部凸空间、赋范空间、内积空间的公理系统、结构属性及其之上的强弱拓扑、共轭性，还深入论述了该学科离不开的几个专题，即形式上更为一般的三大基本定理与泛函延拓定理, Banach代数特别是Gelfand变换的基本理论，紧算子及其谱理论，自伴算子的谱理论，无界正常算子的谱理论以及Bonsall的闭值域定理，不变子空间的Lomonosov定理等；而且给出了以上基本理论的丰富多彩的应用，包括完整的关于广义函数、Fourier变换及其偏微分方程基本解的论述，对于Tauber型定理的应用，von Neumann的平均遍历定理，算子半群的Hille-Yosida定理并应用于发展方程等。

沃尔特·鲁丁（Walter Rudin） 1953年于杜克大学获得数学博士学位。曾先后执教于麻省理工学院、罗切斯特大学、威斯康星大学麦迪逊分校、耶鲁大学等。他的主要研究兴趣集中在调和分析和复变函数上。除本书外，他还著有《Real and Complex Analysis》（实分析与复分析）和《Principles of Mathematical Analysis》（数学分析原理）等名著。这些教材已被翻译成十几种语言，在世界各地广泛使用。

译者序
前言
特殊符号表
第一部分　一般理论
第1章　拓扑向量空间1
　引论1
　分离性5
　线性映射8
　有限维空间9
　度量化11
　有界性与连续性15
　半范数与局部凸性16
　商空间20
　例22
　习题26
第2章　完备性30
　Baire纲30
　BanachSteinhaus定理31
　开映射定理34
　闭图像定理35
　双线性映射37
　习题38
第3章　凸性41
　HahnBanach定理41
　弱拓扑45
　紧凸集49
　向量值积分55
　全纯函数59
　习题61
第4章　Banach空间的共轭性67
　赋范空间的范数共轭67
　伴随算子70
　紧算子75
　习题80
第5章　某些应用86
　连续性定理86
　Lp的闭子空间87
　向量测度的值域88
　推广的StoneWeierstrass定理89
　两个内插定理92
　Kakutani不动点定理94
　紧群上的Haar测度95
　不可余子空间98
　Poisson核之和102
　另外两个不动点定理104
　习题107
第二部分　广义函数与Fourier变换
第6章　测试函数与广义函数110
　引论110
　测试函数空间111
　广义函数的运算115
　局部化119
　广义函数的支撑121
　作为导数的广义函数123
　卷积126
　习题131
第7章　Fourier变换135
　基本性质135
　平缓广义函数140
　PaleyWiener定理146
　Sobolev引理150
　习题152
第8章　在微分方程中的应用157
　基本解157
　椭圆型方程160
　习题166
第9章　Tauber理论170
　Wiener定理170
　素数定理173
　更新方程177
　习题180
第三部分　Banach代数与谱论
第10章　Banach代数183
　引论183
　复同态185
　谱的基本性质188
　符号演算192
　可逆元素群199
　Lomonosov不变子空间定理200
　习题202
第11章　交换Banach代数206
　理想与同态206
　Gelfand变换209
　对合215
　对于非交换代数的应用219
　正泛函222
　习题225
第12章　Hilbert空间上的有界算子230
　基本知识230
　有界算子232
　交换性定理236
　单位分解237
　谱定理241
　正常算子的特征值246
　正算子与平方根248
　可逆算子群250
　B代数的一个特征252
　遍历定理255
　习题256
第13章　无界算子262
　引论262
　图像与对称算子265
　Cayley变换269
　单位分解272
　谱定理277
　算子半群283
　习题290
附录A　紧性与连续性294
附录B　注释与评论298
参考文献311
索引313

泛函分析是一门研究某些拓扑代数结构以及如何把关于这些结构的知识应用于分析问题的学科.
关于这门学科的一本好的入门教科书应该包含其公理系统(即拓扑向量空间的一般理论)的介绍，至少应该讲解某些具有一定深度的专题，应该包括对于其他数学分支的有价值的应用.我希望这本书符合这些准则.
这门学科是庞大的，而且正在迅速发展(［4］的第一卷中参考文献就有96页，还只到1957年).为了写一本中等规模的书，有必要选择某些领域而舍弃其他的方面.我充分意识到,几乎任何一个看过目录的行家都会发现见不到他(和我)所喜爱的某些专题，而这似乎是不可避免的.写成一部百科全书并不是我的目的，我想写一本能够为进一步探索打开通道的书.
因此，本书略去了拓扑向量空间的一般理论中许多更深奥的专题.例如，没有关于一致空间、MooreSmith收敛性、网和滤子的讨论.完备性概念仅仅出现在度量空间的内容中.囿空间没有提到，桶空间也没有.虽然提到了共轭性，但不是以最一般的形式出现的.向量值函数的积分是作为一种工具论述的.我们将重点放在连续的被积函数上，其值在Fréchet空间中.
然而，第一部分的材料对于具体问题的几乎所有应用是足够的.这其实就是这门课程应该强调的：抽象和具体之间紧密的相互作用不仅是这整个学科最有用的方面，而且也是最迷人的地方.
这里对于材料的取舍还具有以下特色.一般理论的相当一部分是在没有局部凸性的假设下叙述的.紧算子的基本性质是从Banach空间的共轭理论导出的.第5章里关于端点存在性的KreinMilman定理有着多种形式的应用.广义函数理论和Fourier变换是相当详尽的，并且(以很简短的两章)应用于偏微分方程的两个问题以及Wiener的Tauber定理及其两个应用中.谱定理是从Banach代数理论(特别地，从交换B*代数的GelfandNaimark特征)导出的，这也许不是最简捷的方法，但却是容易的.此外，相当详细地讨论了Banach代数中的符号演算，对合与正泛函也是如此.
我假定读者熟悉测度理论和Lebesgue积分理论(包括像Lp空间的完备性的知识)，全纯函数的某些基本性质(如Cauchy定理的一般形式和Runge定理)，以及与这两个分析问题相关的基础拓扑知识.另外一些拓扑知识在附录A中简要介绍，除了什么是同态之类的知识外，几乎不需要什么代数背景.
历史性的参考文献汇集在附录B中.其中一些是关于初始来源的，一些是较近时期的书、文章或者可以从中找到进一步参考文献的阐述性文章.当然还有许多条目根本没有提供文献.当缺少具体的参考文献时，绝不意味着我意欲将那些成果攫为己有.
大部分应用放在第5、8、9章中，有些在第11章和250多道习题里.许多习题备有提示.章与章之间的内在联系见下图.

包含在第5章那些应用中的大多数内容都在前4章讲述了.一旦建立了所需要的理论背景，立即给出它们的应用想必是一种好的教学方法.但是，为了不打乱书中理论的叙述，我代之以在第5章开头简短地指出每个问题需要的背景，这就使得必要时容易尽早学习它们的应用.
在第1版中，第10章主要讨论Banach代数中的微分.20年前(直到现在)这些材料看上去是有价值且有发展余地的，但多年来似乎没有取得进展，因此我删除了这些内容.另一方面，我加入了一些更容易融入现有课文的论述：von Neumann的平均遍历定理，算子半群的HilleYosida定理，两个不动点定理，Bonsall关于闭值域定理的出人意料的应用，Lomonosov的引人注目的不变子空间定理.我还重写了某些章节以便阐明某些细节.此外还简化了某些证明.
这些改动多数源于几位朋友和同事的十分热心的建议.我特别要提到的是Justin Peters和Ralph Raimi,他们对于第1版给出了详细的评述.还有第1版的俄文译者，他加入了不少与课文有关的脚注.我感谢他们所有人!

Walter Rudin