微带电路

20世纪的60~70年代,国际上以信息技术为核心的科技革命悄然来临，微波集成电路即是其中之一，它的出现促进了电子设备的小型化、轻量化,提高了系统的性能和可靠性。尽管当时处于非常年代,我国科技人员还是觉察到这一新技术的重要性。国内有相当一部分高校、科研机构和企业投入这一新领域的研究,清华大学也位列其中。1972年,本人作为清华大学教师,带领两位新教师和几位学生到成都亚光电工厂开展实践教学，在微波集成领域进行校企合作，结合厂方对多种微波集成电路产品的研制进行新技术攻关。在此过程中，我们向厂方技术人员和工人学到不少有关微波集成技术新的知识,通过实际工作弥补了实践经验的不足。同时大家也深感理论和实践结合的重要，在实际研制产品时，迫切希望有系统性的理论指导。为此，本人从产品研制中提出的问题出发,对微波集成技术的机理和规律,进行系统性的整理和提炼, 结合当时所研制的产品和搜集到的国外文献,在厂内开出技术讲座,并将讲稿整理成《微带电路》讲义,颇受欢迎。随后和校内的研究工作结合起来，在讲义的基础上扩展内容，整理成书出版。除本人外,杨弃疾、高葆新、张雪霞、秦士和李永和老师也参加了编写工作。书籍以“清华大学微带电路编写组”署名。本书全面反映了当时微波集成技术的概貌，并结合相当多的实例叙述了各种具体的微波集成无源和有源电路。但我们认为不能使读者只停留于对这门技术的表面肤浅认识，而应更深入理解这一领域的内在规律，因此涉及微波集成的基本物理机理、理论分析方法乃至必要的数学推导绝不可缺。为此本书从内容安排上注意从浅入深、理论上不故弄玄虚、便于读者入门; 同时对必要的较有深度的理论分析和具有一定难度的数学分析方法并不避讳。我们认为从对读者真正负责的角度出发，这样的安排是合理的。    处于那个年代，国内外科技交流甚少。我们尽最大努力，从可能的渠道吸取了不少国外先进知识，引用了许多国外文献，尤其是从20世纪60年代中期至70年代初期《IEEE Transactions, on MTT》的许多论文和数据。当年成书时未列出参考文献,目前再版时因年代久远,难以追忆,仍然空缺,特此说明。    当年,沈肇熙编辑以敏锐的目光，多方捕捉科技作品素材。他主动上门约稿，不顾年迈，几次来到位于山区的清华绵阳分校，和我们共同商讨《微带电路》的全书安排及许多出版细节。没有他的鼓励和推动，本书难以最终出版。在本书再版之际，特向这位敬业的老编辑致以深切的敬意并表达怀念之情。本书出版以来，承蒙诸多读者的厚爱，使本书在微波集成技术的发展中起了小小的作用。岁月流逝,几十年科技的飞跃发展,本书某些内容已显陈旧，所述微波集成电路的结构和实际电路在许多方面已被发展或更新,计算机辅助设计也代替了原来常规的电路设计方法，但微波集成理论和技术的许多基本面仍然在书中得以保持，也许这是时至今日尚有部分读者仍在阅读本书的原因。这次应读者要求再版，如做较大的变动恐将使本书变得面目全非，因此除校正部分错字外，不对全书内容再作改动，留作微波集成技术发展史的一个历史记录。为提供读者对迄今为止微波集成技术发展全貌有一概括性的认识，在再版中列入“微波集成技术发展概述”以供参考，至于对本领域最新知识的详细了解，则完全可由当前的许多科技书籍和文献资料得到满足。数十年岁月,弹指一挥间,世事沧桑,现在作者们有的已故去,有的进入了其他单位。我们生者都已步入老年,已经和业务工作脱离，希望本书由清华大学出版社再版后能为国家科技事业奉献一份余热。非常感谢深圳兴森快捷射频实验室徐兴福主任对本书再版的积极推动和热情推荐，也感谢清华大学出版社盛东亮编辑和他的同事为本书再版所付出的辛勤劳动，他们对本书的支持和贡献令人永志难忘。李征帆2017年1月

耦合微带线3.1概述第1章主要对单根均匀微带线的特性和基本参量进行了讨论，并且曾经指出，由于微带线本身的结构特点以及高次波型的影响，微带电路各部分之间有可能存在耦合，因而降低了电路的性能。如果我们适当地选取微带线的参量，使高次波型不能存在，因此抑止了那些杂散的、无规律的耦合，而充分利用有规律的且其特性可以控制的耦合，则可以利用它来构成各种耦合微带线元件，其电性能和结构都很适合微带电路的要求。现在，这种元件已广泛应用于滤波器和定向耦合器中。因此本章将讨论耦合微带线的基本特性和等效电路，为以后章节讨论有关元件设计时打下一个基础。

图31耦合微带线

图31是耦合微带线的结构。两根相同参量的微带线相互隔开距离s平行排列，即构成了耦合微带线。这彼此耦合的两根线也并非参量必须相同，在带状线元件中，某些情况下是不同的； 但在微带线元件中，以相同情况为主，因此在下面均按相同微带线的耦合来进行分析。

上面说过，我们需要的是有规律、可以控制的耦合，这种耦合就是TEM波的耦合，或类似静电、静磁的耦合。更通俗地说，就是通过两根线之间的互电容和互电感进行耦合。如图32所示的那样，整个一对耦合线，成了彼此之间具有分布互电容和互电感的分布参数系统。图33则表示出耦合线的等效电路，其中的分布互电容和分布互电感分别表示两根线之间的电耦合和磁耦合。

图32微带线之间的电耦合和磁耦合

图33耦合微带线的等效电路

耦合微带线上的电压和电流的分布远比单根线的情况复杂，因为单根传输线是孤立的分布参数系统，被激励后得到单一的电压波和电流波； 而耦合微带线除了也是分布参数外，还具有彼此间的耦合，因此两根线上的电压波和电流波有相互影响。例如，两根耦合线中的一根受到信号源激励时，其一部分能量将通过分布参数的耦合逐步转移到另一根线上，因为这个转移过程是在整个耦合长度上连续地进行，还受着各口所接负载的影响，并且被耦合线还将通过线间的耦合，又把部分能量“反转移”回到第一根线。因此耦合线上的电压电流分布规律，将是相当复杂的。怎样从复杂的耦合线问题中，找到较简单解决的方法，使之便于设计耦合线元件，关于非正弦波通过线性电路的问题，在这方面给我们以启发。一个复杂的周期振荡波形，根据谐波分析的方法，可分解成一系列的基波和谐波振荡分量之和； 而线性电路对一个总的信号的响应，等于其各个分量各自响应的总和。线性电路对诸谐波分量的响应是很容易求出的，迭加后就得到对复杂波形的总响应。这种把复杂的事物分解成各个简单的问题来逐个加以解决的办法，在解决耦合微带线问题时，也是行之有效的。这就是目前广泛应用的所谓“奇偶模参量法”。

图34耦合微带线段

耦合微带线包括相互耦合的两根微带线，共有四个引出口，是一个典型的四口网络，如图34所示。现在首先要解决的是，当对任意一个口（例如1口）以信号源加以激励时，通过长度为l的线间耦合，如何求得主线和辅线（即不接信号源的线）的各个引出口的响应？此时，考虑到耦合线结构的上下对称性，如果在1、4两口输入一对相互对称的信号（例如两个相同的电压U），或者是一对相互反对称的信号（例如两个幅度相等、相位相反的电压U与-U），则由于耦合线上电磁场分布的对称性，对偶模来说，两根线的电场是偶对称分布的，对于奇模，则是奇对称分布。总而言之，从电磁场的图形来说，是完全相同的，这就使上下两部分可在中心线上对称分开，只需研究一半即可。于是四口网络的问题就可作为二口网络来研究，比较简单地就能得到结果。我们把上述两种激励情况分别称为偶对称激励和奇对称激励，或称奇偶模激励。当然，奇偶模激励只是一种特殊情况，在一般情况下往往并不是奇偶模激励。但是在1、4口上，任意一对输入电压U1、U4，总可以分解成一对奇偶模分量，因而使U1等于两分量之和，U4等于两分量之差。如以U 表示等幅等相的偶对称激励电压（偶模分量），U-表示等幅反相激励的电压分量（奇模分量），则

U1=U U-
U4=U -U-(31)

因而得到

U =U1 U42
U-=U1-U42(32)

式（32）说明了任意一对输入电压U1和U4总可分解成一对U 和U-分量。在特殊情况下，当U4=0，相应于只在1口上接信号源激励时，则U =（U1 0）/2=U1/2，U-=（U1-0）/2=U1/2，即其奇偶模分量相等。必须指出，奇偶模激励时，耦合线上的状况及其参量是不相同的。因此，在分解成奇偶模分量以后，必须用奇偶模各自的参量进行电路分析，最后再把结果叠加而得到耦合线的解，其具体过程将在以后进行讨论。还应指出，并非只对耦合微带线才采取奇偶模的分析方法，对所有具有对称结构的四口网络（例如以后要提到的分支线定向耦合器）以及部分三口网络（例如以后要提到的三线功率分配器），都可应用此方法，从而使分析过程大大简化。3.2均匀介质耦合微带线奇偶模激励下的微分方程上节曾经提到，应用奇偶模分析时，可以使过程简化。下面就来看耦合微带线工作于奇偶模激励状态下的特性以及奇偶模参量和线间耦合参量之间的关系。    由于耦合微带线系工作于部分充填介质的情况，其奇偶模工作状态比较复杂。为此，作为一个特例，我们先考虑均匀介质的情况（即全空间是单一介质），就是把介质基片移去后的空气耦合微带线，然后再讨论加入非均匀介质所引起的影响。在单根微带线中，可以解传输线方程（或称长线方程）求得其基本特性和求出其基本参量，如特性阻抗、传播常数等。在耦合微带线中．也可用类似方法研究其特性。在这里，首先假定以下条件： （1) 线上为TEM波，即线间耦合等同于静电和静磁耦合。可以用互电容和互电感表示。其他各种高次波型的杂散耦合可以忽略不计； （2） 两根微带线的参量相同，结构对称； （3） 微带线完全置于空气中，因此系工作于均匀介质状态； （4） 微带线的损耗可忽略不计； （5） 耦合微带线只工作于偶模（或称同相型）及奇模（或称反相型）的工作状态。参照图33，给出下列耦合微带线的参量： Co、Lo为两根耦合微带线相隔无限远时，每根线的分布电容和分布电感，即相当于单根微带线的分布电容、分布电感。C、L为一根微带线的旁边有另一相同微带线与之耦合、但未被激励情况下的单根线的分布电容和分布电感。C、L虽然也是单根线的分布电容、分布电感，但由于另一根线的影响（因为另一根线的存在，显然使电磁场的分布变形），和该线单独存在时的相应参量Co、Lo自然有所不同。Cm为两根微带线之间的耦合分布电容或互分布电容，表示两线间的电场耦合。Lm为两根微带线的耦合分布电感或互分布电感，表示两线之间的磁场耦合。CmC=KC称为电容耦合系数。LmL=KL称为电感耦合系数。根据上面给出的参量，并考虑到耦合线工作于奇偶模情况，可写出耦合线微分方程如下： 

U1z LI1t LmI2t=0
I1z CU1t-CmU2t=0
U2z LI2t LmI1t=0
I2z CU2t-CmU1t=0(33)

图35耦合线上电压电流正方向的规定

其中，U1、I1、U2、I2分别为线1和线2上的电压和电流，如图35所示。z为沿线方向的坐标。在上述微分方程中，Lm及Cm前面的符号相反，这是因为电耦合和磁耦合具有相反的性质。例如对于偶模，如对线1、2上的电压、电流规定相同的正方向，则由磁耦合的特点，i2对时间变化率在线1上产生的互感电动势，和i1对时间变化率在线1上本身产生的自感电动势同方向，故两者取相同的符号； 而电压U2通过耦合电容Cm产生一流入线1的位移电流，U1本身通过线1自电容产生一流出线1的分路电流，二者方向正好相反。因此，在方程组（33）的（2)(4）式中，两位移电流方向彼此相反，上述关系对奇模也是一样。
在考虑到耦合线只工作于偶模和奇模时，线1和线2的电压、电流有下列关系

U1U2=I1I2=±1（34)

其中，比值1对应于偶模，比值-1对应于奇模。在此种情况下，求方程式（33）的特解时，考虑到式（34）所表示的两线间电压、电流之间的关系，以及KC、KL的定义，则方程(33）可简化为

Uz L（1±KL）It=0
Iz C（1KC）Ut=0(35)

和单根传输线的微分方程相比，只是方程后项的系数有了改变。对于偶模，分别以L(1 KL)及C(1-KC）代替原来的L、C； 对于奇模，则分别以L(1-KL）及C(1 KC）代替原来的L、C。在式（35）中，用类似于单根传输线微分方程的求解过程，可得出对奇偶模的入射波分量和反射波分量以及相应的相位常数和特性阻抗，它们分别为

k±=ωLC（1±KL）（1KC）(36)

在式(36)中括弧内取上面符号得到k ，为偶模的相位常数； 取下面符号得k-，为奇模的相位常数。于是根据相速vφ=ωk的关系，可求得奇偶模相速为

v±φ=1LC（1±KL）（1KC）(37)

同样也可求得奇偶模的特性阻抗，通常分别以Z0e（偶模）和Z0o（奇模）表示，它们分别为

Z0e=LC·1 KL1-KC
Z0o=LC·1-KL1 KC（38)

从式（38）可知，由于奇偶模是不同的激励，故此时每根线上的行波电压和行波电流情况不同，因而所得出的奇偶模特性阻抗也不同。在式（37）中，由于事先假定耦合线工作于TEM波的情况，故对于空气介质，奇偶模的相速均应等于光速，亦即

v φ=v-φ=c（39)

为了满足式（39），在式（37）中，只有当KL=KC=K才有可能，亦即空气耦合微带线的电容耦合系数和电感耦合系数两者应该相等。此时式（37）成为

v±φ=c=1LC（1-K2）(310)

与此相应，奇偶模的特性阻抗为

Z0e=LC·1 K1-K=Z′01 K1-K(311)
Z0o=LC·1-K1 K=Z′01-K1 K(312）

其中，Z′0=L/C，为考虑到另一根耦合线影响时的单根线特性阻抗，它和孤立单线的特性阻抗Z0=L0/C0是不同的。现在考虑C0和C、L0和L以及Z0和Z′0之间的关系。由于孤立单线的相速为vφ=1/L0C0=c，应和式（310）得出的奇偶模相速相同，因此有

L0C0=LC（1-K2）(313)

而根据磁场分布的特点，当存在另一根线的耦合时，由于该线一般并非导磁体，其磁场分布图形受到影响不大，故可认为

L0≈L(314)

而电容的变化较大，因为导体对电场的分布影响比较显著，因而得

C=C01-K2(315)

故有

Z′0=LC=L0C0（1-K2）=Z01-K2(316)

因此奇偶模特性阻抗Z0o、Z0e又为

Z0e=Z′01 K1-K=Z0（1 K）(317）
Z0o=Z′01-K1 K=Z0（1-K）(318）

以上分别得出了Z0、Z′0，Z0e、Z0o四个不同的特性阻抗之间的关系。将式（317）和式（318）联立求解，得

Z0e·Z0o=Z′20(319)

及

K=Z0e-Z0oZ0e Z0o（320)

此两式表明了Z0e、Z0o、Z′0及耦合系数K之间的关系，是十分重要的。式(319）说明了奇偶模特性阻抗虽然随耦合情况而变，但其乘积应等于存在另一根线的影响时的单线特性阻抗的平方。式(320）则更进一步说明了耦合系数和奇偶模特性阻抗的关系。由此可知，将耦合线分解成奇偶模，不仅使分析过程简化，而且的确说明了用奇偶模的特性参量是可以说明耦合特性的。式（320)表示当耦合越紧时，Z0e和Z0o之间的差值应越大； 反之则应越小。当耦合十分微弱，因而K→0时，则Z0o=Z0e。再考虑到式（319），并注意当K→0时，Z′0=Z0，因而Z0o=Z0e=Zo。也就是说，当两根微带线相距较远，以致耦合相当微弱时，其奇偶模特性阻抗值就相互接近，并趋向于孤立单根微带线的特性阻抗。根据第1章中所指出的特性阻抗和分布电容的关系式（13)，奇偶模特性阻抗又可表为

Z0e=1v φC0e(321)
Z0o=1v-φC0o(322)

其中，v φ、v-φ分别为偶奇模相速，C0e、C0o则分别为偶、奇模激励时的单根线的分布电容。3.3非均匀介质的耦合微带线前节分析了均匀介质（空气介质）的耦合微带线情况。对于实际的微带线，由于存在介质基片而属于非均匀介质状态。这时微带线横截面空间分成空气及介质两部分，我们应考虑由此引起的影响。在讨论单根微带线时，曾提出过有效介电常数εe的概念，它表示了介质对微带的有效影响，并由εe可直接求得相速。对于耦合微带线，也可采用此概念，但耦合微带线和单根微带线有所区别。εe说明了电场在介质中和在空气中分布的相对比值。对于耦合微带线，其奇偶模电场分布很不相同（这一点在下节要讲到），介质基片的引入对电场的影响也不相同，如仍采用有效介电常数这一参量，则相应于奇偶模的情况应有不同的值εeo和εee，因此奇偶模的相速就不会相等，即

v φ=cεee(323)
v-φ=cεeo(324)

其中，εee、εeo分别为偶奇模的有效介电常数。因v φ≠v-φ，故从式（36)，已不能推出KL=KC的关系，亦即KL≠KC。此时已不再存在一个统一的耦合系数K，而应分别考虑电感耦合和电容耦合两种情况。同时也不能用式(320）表示出KL、KC对Z0e、Z0o的关系。但如把奇偶模参量稍加改变，则仍可建立起它们之间的联系。假设令C0o(1）和C0e(1）分别为空气介质时的奇偶模分布电容，C0o(εr）和C0e（εr）分别为引入相对介电常数为εr的介质时的奇偶模分布电容，则在有介质基片存在时，其奇偶模特性阻抗为

Z0e=1v φC0e（εr）(325)
Z0o=1v-φC0o（εr）(326)

此时KL和空气介质的情况无差别，因为引入电介质时，对磁场分布毫无影响。故求KL时仍可按空气线考虑。如在式（320）中，按式（16）考虑到空气微带线的奇偶模特性阻抗和奇偶模分布电容C0o(1)、C0e(1）的关系Z0e=1cC0e（1）及Z0o=1cC0o（1）,则KL可表示成

KL=LmL=C0o（1）-C0e（1）C0o（1） C0e（1）(327)

仿照式（327），也可用奇偶模分布电容来表示存在介质基片的耦合微带线的电容耦合系数KC，但应该以C0o（εr）和C0e(εr）代替C0o(1)、C0e(1),C0o(εr)、C0o(εr)分别表示介质不均匀时的奇偶模分布电容。

KC=CmC=C0o（εr）-C0e（εr）C0o（εr） C0e（εr）（328）

式(327)和式(328）表示了介质不均匀的耦合微带线的耦合参量和奇偶模参量的关系。由于对一定的介质基片，在不同的耦合线尺寸参量时，可计算出C0o(1)、C0e(1)、C0o（εr）、C0e（εr）（下节要讨论到），故可分别算出KL及KC。由于C0o（εr）=εe0C0o（1），C0e（εr）=εeeC0e（1）而εeo-≠εee，故KL和KC也不相同。图36和图37画出了εr=9.6时，KL、KC对耦合微带线尺寸参量的关系曲线。

图36电感耦合系数和耦合微带尺寸的关系

图37电容耦合系数和耦合微带尺寸的关系

由上面分析也可知道，具有介质基片的耦合微带线，其奇偶模相速各不相同。这是一个缺点，因为这将使耦合微带线元件性能降低。当取此类元件的耦合段为某一电角度时，由于奇偶模相速的不同，因而使两者的电角度一般用角度θ表示，θ=2πlλ±g，其中l为耦合段的几何长度，λ g、λ-g分别为偶模，奇模的微带波长，两者不相等就不相同； 而一些元件则要求奇偶模的电角度都等于某个数值，因而由于不能同时满足而影响性能。为了设计这一类电路元件，我们折中照顾，而取奇偶模的平均有效介电常数εe为

εe=C0e（εr） C0o（εr）C0e（1） C0o（1）=εee C0o（1）C0e（1）·εeo1 C0o（1）C0e（1）（329）

相应地，平均相速vφ为

vφ=cεe（330）

当耦合微带线的耦合度并不很大，以致奇偶模分布电容相差不大时，则式（329）变为 

εe≈εee εeo2（331）

当εr=9.6时，根据式（329）算得的εe对微带线尺寸参量的关系曲线示于图38,εe也可近似地按式（331）计算。得出εe后，即可根据它计算电角度。

图38耦合微带线的平均有效介电常数

3.4耦合微带线的奇偶模参量以上几节讨论了耦合微带线的基本参量Z0e、Z0o、εee、ε0e、C0e（1）、C0o（1）、C0e（εr）、C0o（εr）等。现在讨论一下如何求出上述参量。首先看一看两根相同的微带线，彼此耦合，并且分别给以偶模激励及奇模激励时，其电场的分布图形。在偶模情况，两根微带线上具有数量相等、符号相同的电荷分布，因而其电力线构成一种相互排斥的偶对称分布。在奇模情况，则两根微带线上具有数量相等、符号相反的电荷分布，因而其电力线构成一种相互吸引的奇对称分布，如图39所示。

图39耦合微带线的偶模奇模电力线分布

对于图39的奇偶模电力线分布，如果在两线之间取一对称平面，则对于奇模，电力线和此中心面垂直。由于电力线总是和理想导体表面相互垂直（因为在理想导体表面，电场的切向分量为零），因此奇模的中心面就可假想为一个理想导电平面，又可称为电壁。它和接地板相连后，可认为和接地板同电位。事实上，即使在此中心面的位置真正放置一导电平板，对奇模的电力线分布并没有影响，因为它对原来电力线的分布不产生扰动。因此，对于耦合微带线的奇模状况，相当于用一理想导电板将其两边隔开，得到完全对称的电力线结构，而只是电力线的方向相反而已。所谓奇模分布电容C0o就是用理想导电板把两边隔开后每一边的分布电容，也可看成是在单根微带线的一边把接地板延伸至原中心面的位置，使电力线的分布产生变化，此时的分布电容已不再和原来单根微带线相同，就成了奇模分布电容。可以看出，它比单根线的分布电容略大一些。再看偶模的电力线分布。此时中心面恰好和电力线平行，而电力线和磁力线是彼此垂直的，可知此时磁力线和中心面垂直（图上未画出磁力线），按照和电场相同的考虑，由于理想导磁平面总是和磁力线相互垂直，故认为偶模情况下，中心面为一理想导磁平面或称磁壁。当然理想导磁面并不实际存在，但这样的假设，可以和导电面进行对比而有助于问题的解决。因为假设中心面为理想导磁面后，同样可将耦合微带线在中心面对半切开而成为两根相同的单根微带线。但此时的单根微带线已和原来的不同，等于在其侧边的中心面位置已置放了一理想导磁面。由于理想导磁面必须与磁力线垂直而和电力线平行，因此也改变了原来单根微带线的电场结构，好像用一块平板在微带线的一侧将电力线向导体带条方向压紧，此时的单根线分布电容，即为偶模分布电容。容易看出： 其结果是使偶模分布电容比原来单根线的分布电容要小一些。由上述物理概念可知,当单根微带线的侧边在垂直于接地板位置分别放一块理想导电面和理想导磁面时，求得的电容即分别为奇偶模分布电容。在空气介质的情况，求得C0o（1），C0e（1）后，即很易算得奇偶模特性阻抗Z0o、Z0e。至于求C0o（1）和C0e（1），是一给定理想导电面和理想导磁面边界的电磁场边值问题，同样可以用多角形变换的方法来求解。但因边界条件比孤立单线情况更为复杂，故求解过程比第1章中的单根空气微带线还要更烦琐一些。对具有介质基片的实用微带线结构，由于引入了介质，而且该介质对奇偶模的影响又有差异（这从图39中两种情况电力线分布的不同可很容易看出），这样又使问题进一步复杂化。尽管如此，由于微带电路的迅速发展，在设计耦合微带线元件时又迫切需要奇偶模参量的设计数据，因此也促进了对奇偶模参量求解的研究。已经有人对此做了大量的工作，并用不同的方法（包括严格的求解和近似计算）得到了一些可用的结果。在目前的一些结果中，以应用介质边界格林函数积分方程所得到结果较为精确，应用其数据设计耦合微带线元件，其实验结果和理论计算也较符合。这种方法的大致物理概念是： 假设在耦合微带线的两根导体带条上，各加以单位偶模电压（即两根带条对接地板电位都是 1V），以及单位奇模电压（即两根带条对接地板电位各为 1V及-1V）。在此种条件下，应用介质格林函数，列出线上电荷分布的积分方程，用数值计算法得出奇偶模的总分布电荷，即可得到奇偶模分布电容。此种方法，在求解静电场问题时已经用过。因为空间某一点的电位，等于空间各个点电荷在该点造成的电位（此即是格林函数）的积分。如果反过来，给定电位，求电荷分布，就是一个求解积分方程的问题。只不过在介质边界的条件下，求解过程比较复杂罢了。近来，国内对耦合微带线奇偶模参量问题也进行了研究。其中，有的是仿照单根微带线的保角变换法加以改变，而适应于耦合微带线的情况，最后同样求得奇偶模的有效介电常数。在求得空气微带线的奇偶模阻抗后，即可由此计算介质基片微带线的奇偶模阻抗。此方法和上述积分方程方法相比较，结果相当接近。当耦合微带线的间距s比较小时，这种方法要更为精确一些； 而在s/h较大时，则积分方程法较为精确。在图310、图311和图312中，给出了综合上述两种方法，当εr=1.0,9.0和9.6三种情况下的奇偶模特性阻抗曲线。求εr≠1和εr=1的奇偶模特性阻抗的比值，即可得到εeo和εee，并由此可求出奇偶模的相速。

图310εr=1.0的耦合微带线的奇偶模特性阻抗

图311εr=9.0的耦合微带线的奇偶模特性阻抗

图312εr=9.6的耦合微带线的奇偶模特性阻抗

如果介质基片的εr和上面给出的介电常数值有差异时，则Z0e,Z0o也要产生相应的变化。如果εr变得不大，此时可应用下述近似方法求得变化后的Z0e,Z0o值： 

Z0o=Zo0oεeo(332）
Z0e=Zo0eεee(333）

其中，Zo0o及Zo0e分别为空气耦合微带线的奇偶模特性阻抗，而εeo和εee分别为介质奇偶模的有效介电常数。由上面两式可知,只要求得εeo和εee在εr变化时的相应改变值，即可求得变化后的Z0o和Z0e值。式（116）中给出过有效介电常数，相对介电常数以及填充系数的关系εe=1 q（εr-1)，其中q即为填充系数。可以证明： q主要决定于微带线的尺寸参量，而和εr的关系较小。因此当εr有一较小变化时，可认为q是常数，故有

Δεe=qΔεr(334）
Δεe/εe=Δεe1 q（εr-1）=qΔεr1 q（εr-1）(335）

因为所采用的基片介质材料的εr通常比1大得很多，故有εe≈qεr，
即

Δεeεe≈Δεrεr(336）

式(336）表示有效介电常数的相对变化近似地等于介质的介电常数的相对变化。又由于Δεeεe一般较小，故

Δεeεe≈12Δεeεe≈12Δεrεr(337)

以上关系不仅适用于单根线情况，也适用于奇偶模情况，由式(332）及式（333）知奇偶模特性阻抗和奇偶模有效介电常数的平方根成反比，故奇偶模阻抗的相对变化近似为

ΔZ0oZ0o≈ΔZ0eZ0e≈-Δεeεe≈-12Δεrεr（338)

故由εr的相对变化可近似计算出Z0o、Z0e的相对变化。当Δεrεr不大时，式（338)的误差是很小的。例如，已有εr=9.0的耦合微带线的Z0o、Z0e数据，求εr=9.6的Z0o、Z0e值。
因Δεrεr=0.69=0.07故得

ΔZ0oZ0o≈ΔZ0eZ0e≈-0.035

即从εr=9.0的曲线上，查出对一定的尺寸参量w／h、s/h的Z0o、Z0e值，扣去3.5%后，即近似地得到εr=9.6的奇偶模特性阻抗值。3.5耦合微带线单元的网络参量和等效电路在第2章分析微波网络问题时，曾经对各种电路单元进行分析，求出其各种矩阵参量。由不同的电路单元可构成各种复杂网络。对耦合微带线电路也可同样处理。如果也把它们分解成各个单元电路，并求出其特性，此时，复杂的耦合微带线电路问题亦可迎刃而解。由于耦合线单元不同于一般微带线单元，在求其特性时，就应根据前面几节提出的奇偶模分析方法求解。为直观起见，最好把得出的结果表达成等效电路。严格来说，下面讨论的情况只对均匀介质微带线才是真正正确的，但对于介质不均匀的情况亦可近似应用。此时应取相速为奇偶模相速的平均值（可根据平均有效介电常数εe来求，有时也可近似地直接取奇偶模相速的平均），并据此来考虑耦合段的电角度。

图313耦合微带线段的奇偶模激励

首先我们来讨论一段长度为l、电角度为θ的耦合微带线的网络参量，因为它有1、2、3、4四个引出头，故属于四口网络。下面设法求得其阻抗矩阵，并再由此转化成其他矩阵形式。为了便于求解，我们就采取奇偶模分析法。假定在1、2口上分别用同相恒流源Ie12及反相恒流源Io12进行激励（分别对应于偶模激励和奇模激励），同样在3、4口上也接以同相恒流源Ie34和反相恒流源Io34，如图313所示。则四个口上的电流I1、I2、I3、I4和Io12、Ie12、Ie34、Ie34之间有以下关系： 

I1=Ie12 Io12
I2=Ie12-Io12
I3=Ie34-Io34
I4=Ie34 Io34(339）

以下分别求出各恒流源在耦合微带线上激励起来的电流、电压，然后应用叠加定理求各口的总电压、总电流。考虑到1、2口的同相恒流源Ie12在耦合微带上激励起偶模电压和电流，在两根微带线上存在偶模电流分布I′ea（z）=I′eb（z），以及偶模电压分布U′ea（z）=U′eb（z）。因为这时只考虑Ie12，可认为在终端3、4为开路，故电流取下列驻波分布： 

I′ea（z）=I′eb（z）=Ie12sink（l-z）sinkl(340)
U′ea（z）=U′eb（z）=-jZ0e·Ie12·cosk（l-z）sinkl（341)

这是由于I′ea（z）在z=0处必须满足I′ea（z）=Ie12以及在z=l处I′ea必为波节的条件，以及电压波腹值和电流波腹值之比必须等于偶模特性阻抗Z0e； 并且在驻波情况下，电压波腹和电流波腹位置彼此错开λ/4，在z=l处电压必须为波腹而决定的。在1、2口以反相恒流源Io12激励时，则在微带上建立起奇模的电压电流分布

I′oa（z）=-I′ob（z）=Io12sink（l-z）sinkl(342)
U′oa（z）=-U′ob（z）=-jZ0o·Io12·cosk（l-z）sinkl(343)

同样，在3、4口以同相恒流源Ie34进行激励。而1、2两端开路，在耦合微带线上即得下列电流电压分布： 

I″ea（z）=I″eb（z）=Ie34·sinkzsinkl(344)
U″ea（z）=U″eb（z）=-jZ0eIe34·coskzsinkl(345）

当3、4口以反相恒流源Io34激励时，得以下电流电压分布：

I″oa（z）=-I″ob（z）=Io34·sinkzsinkl(346)
U″oa（z）=-U″ob（z）=-jZ0oIo34·coskzsinkl(347)

根据叠加关系，在四个引出口上的电压应分别为

U1=（U′ea U′oa U″ea U″oa）z=0(348)
U2=（U′eb U′ob U″eb U″ob）z=0(349)
U3=（U′eb U′ob U″eb U″ob）z=l(350)
U4=（U′ea U′oa U″ea U″oa）z=l(351)

将式（341)、式(343)、式(345)和式(347）代入式（348）~式（351）中，即得U1、U2、U3、U4对Ie12、Io12、Ie34、Io34的表达式。再根据式（339)，将奇偶模的恒流源转换成各引出口的电流，这样就得到U1、U2、U3、U4对I1、I2、I3、I4的关系，即阻抗矩阵

U1U2U3U4=Z11Z12Z13Z14Z21Z22Z23Z24Z31Z32Z33Z34Z41Z42Z43Z44·I1I2I3I4(352)

注意，此时得到的不是归一化阻抗矩阵，而是有量纲的阻抗矩阵。其中的每一个元素，均以Ω为单位。根据上面推导，可以把阻抗矩阵的诸元素一一求出：

Z11=Z22=Z33=Z44=-j（Z0e Z0o）cotθ2（353）
Z12=Z21=Z34=Z43=-j（Z0e-Z0o）cotθ2(354)
Z13=Z31=Z24=Z42=-j（Z0e-Z0o）cscθ2(355)
Z14=Z41=Z23=Z32=-j（Z0e Z0o）cscθ2(356）

其中，θ=k l为耦合段的电角度。如求其逆矩阵，可得Y矩阵，其诸元素为

Y11=Y22=Y33=Y44=-j（Y0o Y0e）cotθ2(357）
Y12=Y21=Y34=Y43=-j（Y0o-Y0e）cotθ2(358)
Y13=Y31=Y24=Y42=-j（Y0o-Y0e）cscθ2(359)
Y14=Y41=Y23=Y32=-j（Y0o Y0e）cscθ2(360)

上述阻抗矩阵或导纳矩阵欲转化成为归一化矩阵时，诸矩阵元素应分别除以传输线特性阻抗Zo或特性导纳Yo。求出了耦合微带线的四口网络参量之后，很多单元电路的特性即可求得。实用上除了把耦合微带线定向耦合器作为四口元件使用外，一般都把它作为滤波器电路单元； 而此时经常把其中的二个引出口短路或开路，因而只有二个引出口和其他电路相连，实际上成了二口网络。可以根据第2章讨论波导魔T的类似概念，引入一定的端口条件，把四口网络变为二口网络，并求出其网络特性。下面举微带滤波器中

图3142、4口开路的耦合线单元

经常碰到的一个电路单元为例进行分析。如图314所示，有一段电角度为θ的耦合微带线，其中2、4两口均为开路，而以1、3两口和外电路连接而作为二口网络应用，求其矩阵参量。
此时四口网络成为二口网络，写出四口网络的阻抗表达式，并以I2=I4=0的端口条件代入，得

U1=Z11I1 Z12·0 Z13·I3 Z14·0
U2=Z21I1 Z22·0 Z23·I3 Z24·0
U3=Z31I1 Z32·0 Z33·I3 Z34·0
U4=Z41I1 Z42·0 Z43·I3 Z44·0(361)

如只考虑1、3两口，得

U1=Z11I1 Z13I3
U3=Z31I1 Z33I3(362）

其中Z11=Z33=-j（Z0e Z0o）cotθ2Z13=Z31=-j（Z0e-Z0o）cscθ2

图315前述耦合微带单元的等效电路

为了直观地判断耦合微带线的电路单元的电路特性，可根据上面求出的网络参量，将其用一个普通的等效电路来表示。此时耦合微带线单元的矩阵参量应和其等效电路的矩阵参量完全相同。图315是一个双串联分支线，其各部分参量（特性阻抗及电角度）如图315所示。应用矩阵运算规则，并根据第2章表22给出的单元矩阵参量，可以证明，它就是上述耦合微带线电路单元的等效电路。该电路的两个串联分支线之间有一段电角度为θ的传输线，串联阻抗本身则为电角度为θ的开路线。分支线及主线的特性阻抗分别为Z0o及Z0e-Z0o2。
串联分支线的输入阻抗Z=-jZ0ocotθ，如对主线其特性阻抗为Z0e-Z0o2归一化，得归一化阻抗z=-jZ0ocotθZ0e-Z0o2。根据表22，其归一化的A矩阵为

［a］z=1-j2Z0oZ0e-Z0o·cotθ
01（363）

电角度为θ的一段传输线的a矩阵为

［a］t=cosθjsinθjsinθcosθ(364）

则整个电路的a矩阵为三个单元a矩阵的连乘，即

a=1-j2Z0oZ0e-Z0o·cotθ01·cosθ,jsinθjsinθ,cosθ·1-j2Z0oZ0e-Z0o·cotθ01
=cosθ 2Z0oZ0e-Z0o·cosθjsinθ-j2Z0oZ0e-Z0o·cotθ·cosθ
jsinθcosθ×1-j2Z0oZ0e-Z0o·cotθ01
=Z0e Z0oZ0e-Z0ocosθ-jZ0e Z0oZ0e-Z0ocotθ·cosθ·2Z0oZ0e-Z0o jsinθ-j2Z0oZ0e-Z0o·cotθ·cosθjsinθ2Z0oZ0e-Z0o·cosθ cosθ
=Z0e Z0oZ0e-Z0ocosθ-j4Z0oZ0e（Z0e-Z0o）2cotθcosθ jsinθjsinθZ0e Z0oZ0e-Z0ocosθ(365)

然后再根据表21，把式（365）得到的a矩阵转化为z矩阵，由于网络对称，故

z11=z22=ac=Z0e Z0oZ0e-Z0o·cosθjsinθ=-jZ0e Z0oZ0e-Z0o·cotθ(366）
z12=z21=1c=1jsinθ=-jcscθ(367）

再将其对Z0e Z0o2反归一化，因而得

Z11=Z22=-jZ0e Z0oZ0e-Z0o·cotθ·Z0e-Z0o2=-jZ0e Z0o2·cotθ(368）
Z12=Z21=-jcscθ·Z0e-Z0o2=-jZ0e-Z0o2·cscθ(369)

这和前面给出的耦合微带线单元的阻抗矩阵完全相同，只是因为表21中输出口标号为2，故矩阵参量中，均以标号2代替了3。由耦合微带单元转化成一般形式的等效电路，其特性完全相同，但比较直观，并且可以用过去已熟知的概念来分析其电特性。如上述耦合微带线单元，如以图315的等效电路表示，很易看出它是一带通滤波器单元。如在一特定频率fo，使电角度θ=90°时，串联开路线的输入阻抗为零，对主线无影响。如果取引出线的特性阻抗Zo=Z0e-Z0o2和等效电路中的主线特性阻抗一致，则信号将无衰减地通过。当f左、右偏离fo时，则电角度θ左、右偏离90°，因而串联分支线输入阻抗已不等于零而开始起作用，使电路的衰减上升，因而电路具有带通特性。事实上，在

图316前述耦合微带单元的衰减频应特性

其余几个频率附近，使θ=270°,450°,…，也可得到类似特性。我们一般把θ=90°所相应的通带称为主通带，其余的称为寄生通带，如图316所示。此种耦合线单元广泛应用于微带带通滤波器中，在第5章将详加讨论。
这里提出了一个问题： 既然耦合微带线电路单元完全可以用一般的等效电路来表示，那么为什么不直接采用一般电路，而要转一个弯，应用耦合微带线呢？我们不能只从纸面上看电路，而应考虑到实际结构实现的可能性和方便性。图315的结构对于平面型的微带电路是很难实现的，因为它是串联型的电路。即使耦合微带线单元的等效电路是并联电路（下面讲到的有几种微带线单元就是如此），具体实现也是不方便的。因为作为一个多节滤波器，为了提高其性能而必须进行最佳设计时，其各节的参量是不同的，甚至相差甚为悬殊。此时，按普通的电路就较难实现，因为滤波器各节微带线的特性阻抗大小相差将甚为悬殊。由工艺的限制，微带线特性阻抗太大（＞100Ω）就较为困难，因其线条宽度将在100μm以下而较难保证精度。当特性阻抗很低时，由于线条太宽而引起很多寄生参量影响，故微带线特性阻抗不能取得过大或过小，因此就难于满足最佳设计的要求。但如采用耦合微带单元时，由于可通过控制Z0e、Z0o来实现等效电路中所要求的特性阻抗值，而影响Z0e、Z0o的因素不仅有线宽W，还有线距s，因此比较容易控制，并且在结构上也较易实现。在具体进行耦合微带线元件设计时，就可对此有进一步领会。下面再把其他几种常用的耦合微带线单元的矩阵参量和等效电路列出，其具体推导过程完全和上述相同。图317的耦合微带单元1的矩阵参量为

Z11-Z12=j2Z0eZ0oZ0e Z0o·tanθ2
Z12=-j2Z0eZ0oZ0e Z0o·cscθ
Z22-Z11=j（Z0e-Z0o）22（Z0e Z0o）tanθ具有低通和带阻特性。

图317耦合微带单元1及其等效电路

图318的耦合微带单元2的矩阵参量为

Y11=Y22=-jY0o Y0e2cotθ
Y12=Y21=-jY0o-Y0e2cosθ具有带通特性。

图318耦合微带单元2及等效电路

图319的耦合微带单元3的矩阵参量为

Z11=-jZ0e Z0o2cotθ=Z22
Z12=Z21=-jZ0e-Z0o2cscθ

具有带通特性。图320的耦合微带单元4的矩阵参量为

Z11=-j（Z0e Z0o）cotθ2 j（Z0e-Z0o）2(Z0e Z0o)cos2θ
Z22=j（Z0e Z0o）tanθ2
Z12=Z21=j（Z0e-Z0o）tanθ2

具有带通特性。

图319耦合微带单元3及等效电路

图320耦合微带单元4

图321的耦合微带单元5的矩阵参量为

Z12=-jZ0e Z0o2·cosθ
Z11=Z22=Z12 jZ0e Z0o2tanθ2

具有全通特性。图322的耦合微带单元6的矩阵参量为

Z12=-j12（Z0ecotθ Z0otanθ）
Z11=Z22=Z12 jZ0otanθ
具有全通特性。

图321耦合微带单元5及等效电路

图322耦合微带单元6

图323的耦合微带单元7的矩阵参量为

Z12=-jZ0e-Z0o2cotθ
Z11=Z12-jZ0ocotθ

具有全阻特性。

图323耦合微带单元7及其等效电路

图324的耦合微带单元8的矩阵参量为

Y11=jY0e Y0o2tanθ
Z22=jZ0e Z0o2tanθ
Z12=Z21=0

电路具有全阻特性。

图324耦合微带单元8及其等效电路

这里，电路呈全阻特性，等效电路分成了两半，对此证明如下： 按式（361）写出耦合单元的阻抗矩阵的联立方程式，并考虑到U2=0，I4=0，则有

U1=Z11I1 Z12I2 Z13I3 Z14·0
0=Z21I1 Z22I2 Z23I3 Z24·0
U3=Z31I1 Z32I2 Z33I3 Z34·0
U4=Z41I1 Z42I2 Z43I3 Z44·0(370）

解式（370）中的第2式，得I2=-1Z22（Z21I1 Z23I3），以此代入第1式和第3式，则第1、3式构成的二口网络阻抗矩阵的联立方程为

U1=Z11-Z12Z21Z22I1 Z13-Z12Z23Z22I3
U3=Z31-Z32Z21Z22I1 Z33-Z32Z23Z22I3(371）

以式(353）~式（356）代入以上联立方程，得

U1=-j(Z0e Z0o)2cotθ–j（Z0e-Z0o）2cotθ2·1-j（Z0e Z0o）2cotθI1
-j（Z0e-Z0o）2cscθ–j（Z0e-Z0o）2cotθ·-j（Z0e Z0o）2cscθ-j（Z0e Z0o）2·cotθI3
=-j（Z0e Z0o）2-（Z0e-Z0o）22（Z0e Z0o）cotθ· I1=-j2Z0eZ0oZ0e Z0o·cotθ·I1（372）
U3=0 -j(Z0e Z0o)2cotθ–j（Z0e Z0o）2cscθ2-j（Z0e Z0o）2cotθI3
=j（Z0e Z0o）2·-cotθ 1sinθcosθI3
=j(Z0e Z0o)2·1-cos2θsinθcosθI3=j(Z0e Z0o)2tanθ·I3（373）

由式(372)、式(373）可看出，此电路单元Z13=Z31=0，亦即输入输出口之间是互相隔离的。输入阻抗Zsr=Z11=-j2Z0eZ0oZ0e Z0o·cotθ，输出阻抗Zsc=Z33=jZ0e Z0o2tanθ，各相应于一段电角度为θ的开路线和短路线，故等效电路可画成图324的形式。在图中输入参量以导纳表示，只需取其倒数即等于以上得出的Z11。3.6小结耦合微带线在微带电路中经常碰到，在本章中，分析了它的耦合特性、耦合参量和奇偶模参量，并用奇偶模分析的方法得出了几种耦合微带单元的网络参量和等效电路。通过本章，应掌握以下几个主要问题。（1） 微带线之间可通过多种途径进行耦合，但只要合理设计横截面尺寸，即可将高次型抑止，此时线间的耦合属于TEM型，即只通过分布互感和分布互电容进行耦合，其耦合程度完全能够进行控制。(2） 为了便于分析，往往将耦合微带线分解成偶模和奇模的工作状态，前者为对一对耦合微带线进行等幅同相激励，后者则进行等幅反相激励。在偶模和奇模的情况下，容易得到奇偶模参量，并求得它们与耦合参量之间的关系。（3） 对于均匀介质微带线，奇、偶模均为TEM波，并且两者的相速相等。对于非均匀介质的实际微带线，由于介质基片对奇偶模的电场分布具有不同的影响，使奇偶模两种情况的有效介电常数或相速不等，严格地说，不能搬用由均匀介质情况推出的结论和公式，但在工程实际中，在εe取两者的平均值以后，仍可近似地采用均匀介质情况的有关公式。但在某些情况下，例如考虑耦合微带线定向耦合器的方向性时，对此引起的影响必须予以考虑。(4） 用奇、偶模分析方法可以得到耦合微带线段的网络参量，它们均系以奇偶模特性阻抗及耦合段电角度θ来表示。对其中两口给以一定的端口条件后，可变为二口耦合微带电路单元，并可用矩阵运算方法得出其等效电路。不同形式的耦合单元可分别具有带通、带阻、全通、全阻特性，用于具体的微带电路中，可以用较简单合理的电路结构，满足多方面的电路特性要求。