基于线性正则变换的光学信号与系统分析

本书主要阐述了基于线性正则变换的光学信号与系统分析。全书共9章，内容包括线性正则变换基础理论、线性正则变换域带限信号采样理论、连续线性正则变换域带限信号外推、离散线性正则变换域带限信号外推、基于含噪声样本的线性正则变换域带限信号重构、广义4f光学系统及其本征问题、广义4f光学系统分析、时域和线性正则变换域*能量聚集序列。

赵辉，女，1980年生人，博士，教授。2010年毕业于哈尔滨工业大学航天学院，2011年晋升副教授，2015年破格晋升教授，2017年4月至2018年3月在美国佛罗里达大学访学一年。黑龙江省优秀毕业生，IEEE会员，重庆市电子学会会员，重庆邮电大学骨干教师、优秀教师，国家自然科学基金项目评审人，《IEEE　Transactions on Signal Processing》、《IEEE　Signal　Processing　Letters》、《IEEE　Communications　Letters》、《Signal　Processing》、《Optics　Communications》、《Circuits、Systems and Signal Processing》等国际期刊审稿人。主要研究方向包括图像与信号处理、深空和卫星通信。主持和参研国家863、973 项目、国家自然科学基金项目、重庆市自然科学基金项目、哈尔滨工业大学优秀团队支持计划项目等10余项，以第一作者（通讯作者）发表高水平SCI论文20余篇，申请发明专利13件，获重庆市自然科学二等奖一项。

第1章 绪论 1
1.1 线性正则变换 1
1.2 4f光学系统 12
1.3 线性正则变换域带限信号 17
1.3.1 连续线性正则变换域带限信号 17
1.3.2 离散线性正则变换域带限信号 18
参考文献 19
第2章 线性正则变换域带限信号采样理论 33
2.1 基于再生核的线性正则变换域带限信号采样理论 33
2.2 线性正则变换域带限信号非均匀采样定理 39
2.3 仿真分析 42
参考文献 50
第3章 连续线性正则变换域带限信号外推 53
3.1 理论基础 53
3.1.1 希尔伯特空间和算子理论 53
3.1.2 第一类Fredholm积分方程 55
3.2 基于连续区间段的外推算法 56
3.2.1 外推问题 56
3.2.2 外推算法1 57
3.2.3 外推算法2 61
3.3 基于有限样本的外推算法 67
3.3.1 外推问题 67
3.3.2 外推算法 67
参考文献 70
第4章 离散线性正则变换域带限信号外推 73
4.1 外推问题 73
4.2 外推算法1 75
4.3 外推算法2 77
4.4 外推算法3 79
4.5 外推算法4 82
4.6 外推算法5 84
参考文献 89
第5章 基于含噪声样本的线性正则变换域带限信号重构 91
5.1 确定信号分析 91
5.1.1 重构问题 91
5.1.2 重构方案 92
5.1.3 仿真分析 97
5.2 随机信号分析 99
5.2.1 重构问题 99
5.2.2 重构算法 99
5.2.3 误差分析 102
5.2.4 推论 103
5.2.5 仿真分析 105
参考文献 107
第6章 广义4f光学系统及其本征问题 109
6.1 广义4f光学系统 109
6.2 广义4f光学系统的本征问题 111
6.2.1 广义扁长椭球波函数在线性正则变换域带限信号
空间上的正交基性质 112
6.2.2 广义扁长椭球波函数在有限区间能量有限信号
空间上的正交基性质 118
6.3 广义扁长椭球波函数的数值计算 122
参考文献 131
第7章 广义4f光学系统分析 133
7.1 广义4f光学系统的描述 133
7.2 广义4f光学系统的空间带宽积 135
7.3 广义4f光学系统的能量保持率 137
7.4 广义4f光学系统的逆问题 145
参考文献 147
第8章 基于广义扁长椭球波函数的光学信号分析 149
8.1 基于广义扁长椭球波函数的采样定理 149
8.2 基于广义扁长椭球波函数的信号外推 154
8.3 基于广义扁长椭球波函数的信号重构 157
参考文献 175
第9章 时域和线性正则变换域最大能量聚集序列 177
9.1 标记法 177
9.2 时限序列在线性正则变换域的最大能量聚集性 178
9.2.1 离散广义扁长椭球波序列（DGPSS） 178
9.2.2 DGPSS v0在线性正则变换域的最大能量聚集性 180
9.3 线性正则变换域带限序列在时域的最大能量聚集性 185
9.3.1 离散广义扁长椭球波函数（DGPSWF） 185
9.3.2 DGPSS和DGPSWF之间的关系 188
9.3.3 DGPSS v0在时域的最大能量聚集度 189
9.3.4 仿真分析 190
参考文献

前言
近年来，经典分数傅里叶变换和线性正则变换理论及应用研究逐渐成为信息光学的一个热点研究方向。经典分数傅里叶变换在数学上拓宽了傅里叶变换的概念，同时能够在光学中很好地描述光由原始光场经过菲涅尔衍射区一直到无穷远的夫琅禾费衍射区的衍射传播全过程；线性正则变换作为许多信号处理算子和光学算子的广义形式，能够很好地描述一阶光学系统对输入光场的作用。经典分数傅里叶变换和线性正则变换的光学引入使得人们可以用一个新的观点去审视光的传播、成像、信息处理等问题，并提供了新的工具去处理这些问题。借助经典分数傅里叶变换和线性正则变换的概念，我们可以在任意分数域和线性正则变换域进行光学信息处理，解决傅里叶变换难以处理的问题。
4f光学系统是由透镜和自由空间实现一次傅里叶变换，并紧接着再实现一次傅里叶变换的系统（根据傅里叶变换的特殊性质，这个过程其实相当于实现一次傅里叶逆变换），它是一种最经典的光学信息处理系统。由于变换透镜的前后焦面存在准确的傅里叶变换关系，使用4f光学系统分析起来十分方便，因此其在光学信息处理中得到了广泛应用。然而，随着经典分数傅里叶变换和线性正则变换在光学信息处理中研究的不断深入，人们常常用到的不再是4f光学系统，而是实现一次经典分数傅里叶变换（线性正则变换），并紧接着再实现一次逆经典分数傅里叶变换（逆线性正则变换）的系统，即广义4f光学系统。广义4f光学系统的研究分析对光学信息处理的进一步发展具有重要的理论与实际意义。
同时，在以经典分数傅里叶变换和线性正则变换为工具进行光学信息处理的过程中，光学系统尺度的局限性使得线性正则变换域带限信号无处不在。由于任何实际的检测与记录系统都是采样系统，且任何系统的信息处理容量都是有限的，因此，如何根据所能获取的有限信息尽可能近似地恢复原线性正则变换域带限光学信号，以及如何处理与其相关的时频分析问题一直是人们所关心的研究方向。
作者多年来一直从事线性正则变换理论和应用方向的研究工作，尤其在基于线性正则变换的光学信号与系统分析方面展开了深入研究，并取得了一系列研究成果。为了使读者可以系统、深入地了解线性正则变换基础理论和光学应用，作者对自己的研究成果进行了整理和提炼，并形成了本书，旨在为相关领域的研究生和教学科研人员提供参考。
重庆邮电大学通信与信息工程学院在读研究生徐先明、王薇、王天龙、方禄发、黄橙、莫谨荣、李志伟、刘衍舟、孙振江在本书的写作过程中承担了部分具体工作，作者在此向他们表示感谢。另外，感谢国家自然科学基金项目（编号61671095）的部分资助。
由于作者水平有限，书中难免出现漏误，恳请专家、同行和读者予以指正。
赵  辉  
2019年3月