大家小书 数学知识竞赛五讲（精）

华罗庚先生给学生做的报告富于启发性，叙述清晰简明，由浅入深，循循善诱。而且这些从中国古代数学成就引出的题目都是极好的爱国主义教材。

华罗庚教授是伟大的数学家，也是中学数学竞赛活动的热心创始人，组织者和参与者。著名的“‘华罗庚金杯’少年数学邀请赛”就是为了纪念他设立的。二十世纪五十年代北京的历次数学竞赛华罗庚教授都参与组织。每次竞赛前，他都亲自给学生做讲座。本书集合了他的五次讲座《从杨辉三角谈起》《从祖冲之的圆周率谈起》《从孙子的“神奇妙算”谈起》《数学归纳法》《谈谈与蜂房有关的数学问题》。

华罗庚（1910—1985）， 江苏金坛人。他是当代自学成才的科学巨匠和誉满中外的著名数学家，中国科学院院士，美国国家科学院外籍院士，第三世界科学院院士，联邦德国巴伐利亚科学院院士，并被列为芝加哥科学技术博物馆当今88位数学伟人之一。
    他毕生致力于发展祖国的数学事业。他是我国解析数论、典型群、矩阵几何学、自守函数论与多复变函数论等许多方面研究的创始人与开拓者；他是中国计算机事业的创导者与开拓者之一；他倡导应用数学，早把数学理论和生产实践相结合；他是中国管理科学的开创者；他致力于发展数学教育和科学普及工作，他培养了大批杰出人才，被誉为“人民的数学家”。

目 录
1.从杨辉三角谈起
/ 写在前面
/ 一 杨辉三角的基本性质
/ 二 二项式定理
/ 三 开方
/ 四 高阶等差级数
/ 五 差分多项式
/ 六 逐差法
/ 七 堆垛术
/ 八 混合级数
/ 九 无穷级数的概念
/ 十 无穷混合级数
/ 十一 循环级数
/ 十二 循环级数的一个例子
/ 十三 倒数级数
/ 十四 ……
2.从祖冲之的圆周率谈起 
/ 一 祖冲之的约率 22/7和密率 355/113
/ 二 人造行星将于2113年又接近地球
/ 三 辗转相除法和连分数
/ 四 答第二节的问
/ 五 约率和密率的内在意义
/ 六 为什么四年一闰，而百年又少一闰？
/ 七 农历的月大月小、闰年闰月
/ 八 火星大冲
/ 九 日月食
/ 十 日月合璧，五星联珠，七曜同宫
/ 十一 计算方法
/ 十二 有理数逼近实数
/ 十三 渐近分数
/ 十四 实数作为有理数的极限
/ 十五 逼近
/ 十六 结束语
/ 附录 祖冲之简介
3从孙子的“神奇妙算”谈起 
/ 一 问题的提出
/ 二 “笨”算法
/ 三 口诀及其意义
/ 四 辗转相除法
/ 五 一些说明
/ 六 插入法
/ 七 多项式的辗转相除法
/ 八 例子
/ 九 实同貌异
/ 十 同余式
/ 十一 一次不定方程
/ 十二 原则
4数学归纳法 
/ 一 写在前面
/ 二 归纳法的本原
/ 三 两条缺一不可
/ 四 数学归纳法的其他形式
/ 五 归纳法能帮助我们深思
/ 六 “题”与“解”
/ 七 递归函数
/ 八 排列和组合
/ 九 代数恒等式方面的例题
/ 十 差分
/ 十一 李善兰恒等式
/ 十二 不等式方面的例题
/ 十三 几何方面的例题
/ 十四 自然数的性质
5谈谈与蜂房结构有关的数学问题 
/ 楔子
/ 一 有趣
/ 二 困惑
/ 三 访实
/ 四 解题
/ 五 浅化
/ 六 慎微
/ 七 切方
/ 八 疑古
/ 九 正题
/ 十 设问
/ 十一 代数
/ 十二 几何
/ 十三 推广
/ 十四 极限
/ 十五 抽象
大哉数学之为用 
/ 数与量
/ 宇宙之大
/ 粒子之微
/ 火箭之速
/ 化工之巧
/ 地球之变
/ 生物之谜
/ 日用之繁
/ 数学之发展

忆华罗庚先生的数学教育与普及工作王元一
中国古代数学曾有过极为光荣的传统与贡献.由于我国长期处于封建社会，而西方已进入资本主义社会，我国的数学落后了.我国现代的数学研究是20世纪20年代开始的.华罗庚教授是中国解析数论，典型群，矩阵几何学，自守函数论与多个复变数函数论等很多方面研究的创始人与开拓者，也是我国进入世界著名数学家行列杰出的代表.迄今他共发表学术论文约二百篇，专著十本，其中有八本被国外翻译出版，有些可列入本世纪经典著作之列.他被选为美国科学院国外院士，法国南锡大学与香港中文大学授予他荣誉博士.他的名字已进入美国华盛顿斯密司-宋尼博物馆，也被列为芝加哥科学技术博物馆中当今88位数学伟人之一.外国报刊上征引了很多著名数学家对他的赞扬：“由于他工作范围之广，使他堪称世界名列前茅的数学家之一”(劳埃尔·熊飞尔德)，“他是流的数学家，他是作出特多贡献的人”(李普曼·贝尔斯).“受他直接影响的人也许比受历史上任何数学家直接影响的人都多，他有一个普及数学的方法”(罗兰德·格雷汉)，等等.这些绝非溢美之词，他是当之无愧的.
本文不准备介绍他的学术成就，有兴趣的读者可以参看近斯普林格出版社出版的《华罗庚论文选集》及他的一些著作.但是，华罗庚教授不仅是一位卓越的数学家，他对组织领导工作、教育工作、普及工作也作出了出色的贡献.特别是他多年来从事应用数学的研究与推广工作，收效极为丰富，影响甚为深远.本文将就这些方面作一些简略的介绍.
二
正当他年富力强，风华正茂，创作处于潮的时刻，中国新民主主义革命成功了.中华人民共和国成立的消息很快传到了美国.他毅然放弃了伊利诺大学终身教授席位，于1950年带领全家回到北京.那时帝国主义封锁我们，旧中央研究院数学所的图书馆又搬到台湾去了.他就在这个时刻担当起中国科学院数学研究所所长职务，负责新建数学所的重任.在这样艰难的工作与生活条件下，以他为核心与榜样，数学所上下团结一致，艰苦工作，不到五年，就初具规模，涌现出一批出色的成果与人才，受到国内外的高度赞扬.这与他卓越的领导是分不开的.
他深知培养中国青年数学家的重要.新中国成立后，他始终抓紧这项工作，不仅向他们传授数学知识和治学方法，更注意教育他们热爱祖国和人民，教育他们有良好的学术品德和作风.
他的宝贵治学经验只有较少一些已写成文章发表，特别在20世纪60年代以后，他很少有时间再去撰写这方面的文章，这是很可惜的.
早在50年代初，他就提出“天才在于积累，聪明在于勤奋”，虽然他聪明过人，但他从不夸耀自己的天分，而是把比“聪明”重要得多的“勤奋”与“积累”看作两把成功的钥匙.反复告诉青年人,要他们学数学做到“拳不离手，曲不离口”，经常地锻炼自己.
当时他领导的两个数论讨论班，一个是基础性的：由他每周讲一次，讲义交给学生分别负责仔细阅读，反复讨论后再定稿；另一个是哥德巴赫问题讨论班,由学生轮流报告，每一点疑难，他都要当场追问清楚，学生常常被挂在黑板上下不了台.在节假日，他还常到宿舍找学生谈数学问题.除此而外，他还领导了代数学与多个复变数函数论的研究工作.对全所的研究工作，他都亲自过问.在不到五年的时间里，受他直接领导而很好成长的学生就有越民义，万哲先，陆启铿，龚升，王元，许孔时，陈景润，吴方，魏道政，严士健与潘承洞等.这些人都成为了院士和教授，是我国数学界的骨干，有些已是国际知名数学家.受过他影响的数学家更是不胜枚举.
其实早在40年代，他就在昆明西南联大领导了一个讨论班，在讨论班中受到教益而成为著名数学家的有段学复，闵嗣鹤，樊畿与徐贤修等人.
50年代中期，他又提出“要有速度，还要有加速度”.所谓“速度”就是出成果，所谓“加速度”就是成果的质量要不断提高.这是针对当时数学所已经出了一批成果，有些人有自满情绪，写了一些同等水平的文章.他这一意见，正是针对这种倾向，鼓励大家千万不要自满，要继续攀登高峰.
在治学方面，他总是不吃老本，永远向前看.当他成为世界著名数论学家时仍不停步，宁可另起炉灶，研究新领域代数学与复分析.到他老年时，还勇敢地接触新的数学领域，如近似积分与偏微分方程等.他要大家不要“画地为牢”，要抓紧机会学习别人的长处与锻炼自己.特别他提出了“专”与“漫”的关系.首先要专，使研究工作深入，然后必须注意从自己的专长出发，向有关方面漫出去，扩大研究领域.
十年浩劫中，受了林彪、“四人帮”的毒害，一些人包括青年人中不良学风颇为盛行，表现在粗制滥造，争名夺利，任意吹嘘.这些作风，使他深感痛心.1978年，他语重心长地提出“早发表，晚评价”.后来又提出“努力在我，评价在人”.自然科学的成果，常需经时间检验，才能逐渐清楚其价值，刚一发表就吹嘘，本身就是违反科学的客观规律的.
他对自己的要求比对其他人更严格了.当他以古稀高龄到西欧与美国讲学时，他向自己提出“弄斧必到班门”.意思是到一个单位去演讲，好讲该单位专长的内容，这样才能得到更多的帮助.
他深知年龄是不饶人的.在1979年，他指出：“树老易空，人老易松，科学之道，戒之以空，戒之以松，我愿一辈子从实以终，这是我对自己的鞭策，也可以说是我今后的打算.”
他正是以“实”与“紧”要求自己，即使在卧病之中，仍然坚持工作;并且说：“我的哲学不是生命尽量延长，而是工作尽量多做.”
三
当然，能够在华罗庚教授身边工作，承受他的身教与言教的学生总还是极少数人.早在50年代，他就注意发现社会上的卓越人才.陈景润就是他发现并推荐到数学所工作的.他是由于见到陈景润对塔内问题有些见解，而看出陈景润是一个可造就的人才的.这件好事情，居然使他在历次政治运动中受到错误的批判，说他重视“只专不红”的人，使他无法再作推荐人才的工作.
他是我国在中学进行数学竞赛活动的热心创始人、组织者与参加者.50年代北京的历次数学竞赛活动，他都参与组织，从出试题，到监考、改试卷都亲自参加，也多次到外地去推动这一工作.特别在竞赛前，他都亲自给学生作报告，作为动员.他写的几本通俗读物《从杨辉三角谈起》、《从祖冲之的圆周率谈起》、《从孙子的“神奇妙算”谈起》、《数学归纳法》等，都源出于当时的报告.这些报告不仅传授知识，还富于启发性，更重要的是这些报告都是极好的爱国主义教材.杨辉、祖冲之都是我国古代的卓越数学家.“神奇妙算”是《孙子算经》中的光辉篇章.《数学归纳法》中有一个李善兰恒等式的证明，这还有个故事.当匈牙剂数学家保尔·吐朗来北京访问时，曾讲了这个恒等式，并用兰向达多项式等高深知识给出了一个证明.中国人难道不能给他们祖先提出的问题一个数学证明吗?他连夜思考，终于在与吐朗临别时，给了他一个非常初等、漂亮的证明.这些书一版再版，在青年中广为流传，是他们喜欢的课外书籍之一.
他撰写《数论导引》、《典型群》与《多个复变数典型域上的调和分析》的同时，曾引导一些青年人进入数学研究领域，使他们成为很好的数学家.从1958年开始，他到中国科学技术大学数学系授课，由王元任助手.他计划撰写四卷《高等数学引论》，作为近代数学的基础丛书.可惜只出版了一卷半，手稿都在十年浩劫中丢失了.
在教课过程中，他非常注意教学改革.他提倡启发式教学，强调数学各分科之间的内在联系.因此基础课统一成一门课，共三年半时间，这种体系被称为“一条龙”.他还特别强调理论联系实际.例如在讲到用有理数贯逼近实数时，当给了实数，如何构造有理数贯?他介绍了“连分数”.连分数在天文学上的一系列应用也就顺带讲了.“数值积分”到底用到哪里去?我们向地理学家与地质学家请教，学会了不少实用的有效方法.他从理论上对这些方法加以总结提高，弄清了他们之间的关联与误差估计.这些成果总结于“关于在等高线图上计算矿藏储量与坡地面积的问题”之中.在中、小学数学课中，学习的都是“离散性的数学”，但大学一开始学习的微积分就是“连续性数学”，容易造成一个错觉，即“连续性数学”比“离散性数学”更优越或更能解决问题.在文章“有限与无穷，离散与连续”中，用一系列生动的例子说明了“离散性数学”的重要性，特别指出，本来是离散性的数学问题，好采用离散性方法来处理.文章发表后二十年的数学发展表明，离散性数学方法在应用数学中的重要性已经日趋显要.这充分表明他当时的见解是有深刻预见性的.

对于一个百年之后的数学家，人们只需要知道他数学的贡献是什么，不会再有人管他的出身、爱好、经历与荣辱了。除了学问外，一切的一切都是无足轻重的。