烧掉数学书：重新发明数学

这是一本写给所有恨数学的人的书。它的读者不仅是高考过后就忘记数学的人，也包括许多正在学校苦读数学但从未感到激情、狂热和发自内心的喜爱的人。

忘掉你所知的关于数学的一切。没有老师，也不用去管那个一代代传下来的叫“数学”的东西。

数学是我们的，我们自己创造数学，从无到有。

数学是美丽的学科，在这里永远也不用记任何东西。只要你基本“掌握”了加和乘，我们就能开始奇异的数学旅程了。

读完本书你将变得更有创造性，独立思考的意识从未如此强烈！

*重要的是你将爱上数学。

《烧掉数学书》是一本全新概念的数学科普。这本书的一大特点是抛开传统晦涩的数学符号和讲述方式，另起炉灶，从零开始，用年轻人易于接受的语言阐释高深的数学知识和概念。这本书打破了数学教育界认为在讲授微积分之前必须花大量时间和精力学习微积分的严格化基础的惯例，从理解微积分本身的用途和方法着手，反过来再提出微积分基础严格化的问题，从而顺理成章地引出极限和逼近等概念。这种方法更符合人们的学习和认知规律，让人能自然而然地接受和理解这些抽象的概念和技巧的源流和必要性，从而为深入的学习打下好的基础。

拥有数学物理学和心理学双硕士学位，写作本书时在加州大学圣巴巴拉分校攻读进化心理学博士学位。

前言

致专业读者 . .

第 1 幕

1 从无到有 14

插曲1：变慢的时间

2 无穷放大镜的无穷力量

插曲2：如何无中生有

3仿佛来自虚空

插曲3：回望未来

第二幕

4论圆和放弃

插曲4：怀旧装置

5美与不动之物

插曲5：两朵乌云

第三幕

6合二为一

插曲6：干掉#

N 旧识新交

插曲N:误解 解读 重解

N 1无穷荒野的无穷魅力

章曲：无为有处有还无

术语

前言

好小说的任务就是让不安的人感到安慰，让安逸的人感到不安。

——戴维·福斯特·华莱士（David Foster Wallace）

好吧，不要真把数学书烧了。也不要做其他过激的事情，纵火是很严重的罪行。我不想这样开始我的书。

在这本书中，我将进行思维的纵火。全世界的数学教育都退步到了让人无法忍受的地步，只能全部烧掉重来。我们要做的就是这个事情。在这本书中，数学不再是已经存在的只需要你去理解的科目。在开始的时候，数学并不存在。我们从头开始自己发明，抛掉历史的包袱，不用那些堆砌在每本数学书中的晦涩的符号和故作神秘的术语。我们并不排斥传统的术语，但只是在需要的时候才会用到，而我们所创建的数学世界完全是我们自己的，传统术语只有经过邀请才能进来。

在这个过程中无需记忆，鼓励尝试，不要求读者接受任何不是我们自己创造的东西，不让花哨的名字掩盖思想的简单。在这里了解数学就好像一次冒险，采取的是聊天的形式，读起来就像读小说一样轻松。我们旅行的目的是寻找快乐而不是为了实用，但幸运的是两者并不矛盾。你将会真正地学会这个科目，并且学得又多又好。

我们在被教授这门科目时是反着来的。

我用自己的例子解释一下这句话的意思。我的初等代数的成绩是C。我所学会的只有对“多项式”这个词的恨。我的三角函数的成绩也是C。我所学会的只有对“正弦”、“余弦”和“直角斜边”这些词的恨。数学对我来说只是记忆、无聊和专制的权威——而这些都是我讨厌的。到高中快毕业时，我终于完成了所有那些不得不学的数学课，我快乐的心情无法形容，我宁愿死也不愿再踏足数学课堂一步。终于自由了。

在高中的后一年，有一次我到书店闲逛——我经常去逛书店——我看到了一本微积分的书。我早就听说微积分很难，但我从没上过这门课，以后也不用上了， 真轻松。心里没有压力有时候反而会让一本书更有吸引力，因此我把那本书拿到手里翻了一下。我预计自己会看到一些唬人的符号，心想“噢，看起来很难，”然后把书放回去，再也不去碰它。但是当我翻开它时，我发现里面并不是像往常一样垃圾。作者的语言诚恳而平实，说的话类似这样：直的东西比弯曲的东西容易对付，但如果你放得足够大，弯曲的东西的每一小部分看起来都基本是直的。因此如果你有一个弯曲的问题，只需想象不断放大直到看上去像直的，在比较容易的微观层面解决问题，然后再缩回去。你就把问题解决了。

这个思想让任何人都能理解，完全不用涉及数学。如果你遇到了难题，可以将其分解成一系列比较容易的问题，解决后再组合到一起。这个思想让我感觉到优雅而自然，我在数学课上从没有过这种感觉。我继续翻阅这本书，当我看到作者抱怨数学传统的授课方式时，我知道这个家伙很对我胃口。

因此我把这本书买了回去，没事的时候就拿出来读。我喜欢这个作者的写作方式。他改变了我在学校时对数学的厌恶感，让我意识到自己对这门课的认识是错误的。我没有打算学习微积分，我也不记得高中学过的那些预备知识，因此我连微观层面上的那些“简单问题”也解决不了。但没关系，我已经摆脱了正统教育的束缚，做错了也不用担心受到惩罚。

就这样我开始了学习微积分的奇怪历程，不懂代数、三角，也不知道“对数”是什么，不知道任何他们说你在学微积分前必须掌握的东西。我买了一个笔记本开始演算。当我遇到不懂的东西，我就画图，尝试让自己确信这是对的。我其实经常并不能成功。

奇怪地是，微积分的概念其实是这本书中简单的部分。难的反而是那些所谓的微积分的“预备知识”：代数、三角等高中课程中充斥的概念。我能理解与缩放有关的东西：导数和积分不仅计算很简单，原理也很容易理解。从它们的动机到定义再到计算方法，书中都讲述得条理清晰。但偶尔作者也会用到更“基础”的东西——这些东西我完全无法理解，虽然我大致记得在某个乏味的课堂上听老师讲过。我当时不知道那些被认为很简单的事物——比如圆的面积，或一组未经解释的“漂亮等式”——从何而来。

幸运的是，没有人逼我去记忆什么，我就这样一点一点地学着微积分，代数和三角则一点也没学。我在书中学会了一些微积分的知识，也能够理解，但很快就会迷失方向，因为我不记得怎么做分数加法。有时候，盯着那些让人迷惑的步骤看了一会之后，我会恍然大悟，“哦，它们只是乘了两次。它们就好像是在撒谎，好让问题变得更简单，然后为了不得出错误的答案又圆回了这个谎。有意思！”有时候则不那么容易看出来，这类问题继续困扰我。对数、正弦、余弦、二次式、完全平方，这些名词我都不懂，对于它们我只有在学校里学这门课时残留下来的一点负面印象。

学了一些微积分后，我还是不懂那些“预备知识，”但我开始注意到一些有趣的东西。我注意到球的体积的导数就是它的表面积，圆的面积的导数则是它的周长。我还是不懂面积和体积公式是怎么得出来的，但这种奇怪的“放大”操作表明它们有某种关联。这是我次意识到数学的一个奇怪现象：我们可能在面临两个不同的问题时束手无策，两者都无法单独推进，然而却能知道它们有相同的答案，虽然并不知道答案是什么。这个现象初看上去有点像魔法，其实是所有层面的抽象数学重要的一个特征。这与我在学校里形成的对这个科目的刻板印象截然不同。

在进入大学的时候，我做了一个惊人的决定：我决定选微积分课。作为一个每个脑细胞都恨数学的人，由于书店里的这次偶遇，我发现自己喜欢上了微积分I。然后又上了微积分II。然后教我微积分II的教授建议我大二的时候上一门研究生水平的数学课。我提醒他自己什么也不懂，他这样做是疯了。不过我还是选了，并且得了分。进入高年级后，系里给了我奖励，大意是“祝贺成为数学专业好的学生”之类的。我必须强调的是我完全没有数学天赋，读大学之前13年的数学教育经历中我没有在这门课中发现任何乐趣。任何教育体系中如果发生了这样的事情，就一定存在可怕的错误。

后，数学系这个我在中学时讨厌的地方，成了让我感到自在的地方。

如果在这本书中有需要你去反复理解，却又无法理解的地方，这是我的错，而不是你的。背后的思想极为简单。全部都是如此。我向你保证。

致专业读者

这一份前言是写给教授，或者数学专家，或者数学背景较强能够理解这一节的学生，或者没有数学背景但有好奇心的学生，或者中学老师，或者喜欢偶尔思考数学的人。

这不是你的数学课本中的那种“引论。”与你见过的大多数书比起来，这里更为浅显，同时也更加深奥，这是一次新的试验。

什么样的试验？

这本书很容易被人误认为是数学课本，当然它与数学课本有很多共性，也的确可以用来当做课本。为了解释这本书的目的和结构，我必须创造一个新名词：前数学（pre-mathematics）。我所说的前数学不是指的代数或微积分的预备知识这类用来折磨天真学生的让人厌烦的玩意。这个词指的是那些数学概念的发明者头脑里的一整套想法、混淆、问题和动机，驱使他们定义和研究新的数学对象的这些东西。

例如，导数的定义以及从中衍生出来的大量定理都是很重要的数学，在每本微积分教材中都会讲到。但是这个概念为什么要这样定义，而不是采用其他各种可行的定义方式，以及人们（在数学课本还没有写入这些东西之前）是如何选择了这个标准定义而不是其他备选定义，这其中的过程并没有被给予足够的关注。而前数学一词指的正是这些可能性和推理的过程。前数学不仅包括数学概念的其他可行定义（用这些定义能推导出本质上相同的定理），还包括在尝试发明标准的数学定义和定理的过程中各种可能的摸索路径，这一点可能更为重要。这是从无到有创造一个数学概念必须经历的思维路径。如果数学是香肠，前数学就是香肠的制造过程。

这就是这本书的主题：讨论从模糊和定性到精确和定量的过程，或者说，如何自己发明数学。我所说的“发明”不仅仅是创造新的数学概念，还包括学习如何重新发明已经被其他人发明了的数学知识，从而获得对这些概念更深入的理解，仅仅阅读标准教科书是无法做到这一点的。这个过程以前从没有被明确讲授，然而它比任何数学课程都更为重要。无论是对于纯数学还是应用数学，学会自己（重新）发明数学都极为重要。其中包括纯数学的问题，例如“数学家是用什么方式定义曲率，从而可以讨论无法描绘的17维空间？”也包括应用数学的问题，例如“根据已知条件，应该怎样给研究的现象建立模型？”这些问题在教科书中也经常见到，但往往是作为思考题，篇幅不多，地位也远不如定理和结论之类的事情重要。

在各个层次的数学课程中，从小学到博士后水平，都缺失了重要的一环，就是对模糊和混乱的创造过程的忠实描述，而这个缺失是数学课让积极的学生也感到厌倦的主要原因之一。如果对数学概念创造过程中的思想之舞没有深刻认识，就无法充分领悟数学的优雅和美丽。这个过程不像看上去那样难，但是需要彻底改变我们讲授数学的方式。我们需要在教科书中至少纳入一些错误的假设、推理和结论，让学习者在接触现代形式的定义之前体验到这些。我们需要像讲故事一样写教科书，让书中的角色经常被难住，不知道下一步该往哪里走。这本书就是我描绘前数学的一些核心概念和分析策略的一次不成熟的尝试：职业数学家每天都要用到这些策略，但是在教科书中和课堂上很少拿出来讨论。

这凸显了一个要点。强调前数学需要彻底改变数学的教学方式，但是并不需要职业数学家改变他们思考}数学的方式。前数学是他们的生活必需品。这就是他们用于思考的语言，他们正是这样创造——或者说发现——了这门学科。从这个角度来说，这本书的内容并不新鲜。这本书只不过是将通常隐藏在（“不友善的”课本中的）形式化证明或（“友善的”课本中的）基本未加解释的事实陈述后面的内容呈现到聚光灯下。之前无论是友善的入门教材还是格罗滕迪克式的让人生畏的专著（译注：格罗滕迪克（Alexander Grothendieck，1928-2014），犹太裔数学家，代数几何学大师，他的著作被普遍认为艰深难懂。）都没有以便于教学的方式呈现过这个创造过程。

对于某个给定的概念，任何一本书都不可能在讲述其中的数学之前穷尽其所有的前数学，这本书也不例外。我的做法是构造一种前数学的叙事，从一个概念引导出另一个概念，从加和乘开始，很快推进到单变量微积分，然后又回到通常被认为是预备知识的（其实更高深的！）主题，后进入有穷维或无穷维空间中的微积分。在这个过程中会引入大量数学，这也是为什么用这本书可以用作数学课本。一旦某个给定概念的前数学得到了充分阐释，数学本身就会变得顺理成章，因此我们重点关注前者。这并不是说这本书会穷尽所讨论主题的方方面面。远非如此！这里只是我个人认为缺失的东西，包括信息、动机、以及合理的教学方式。这本书是对概念的蹩脚证明，而不是打磨好的钻石。我希望它能引发讨论，而不是后的结论。

另外必须明确我textbf{没有}批评的东西。数学教学的基础不能等同于数学的逻辑基础，虽然它们在大部分教科书中被混为一谈。我并不是在批评这个领域的逻辑基础，所谓的逻辑基础指的是选择一阶谓词演算作为逻辑推理规则，选择ZFC、NBG、或某个你喜欢的集合论公理系统作为推理的出发点。{哥德布拉特（Robert Goldblatt）的书《Topoi: The Categorial Analysis of Logic》对用集合论作为数学的逻辑基础的标准做法进行了精彩的评论。}我批评的是用数学的逻辑基础作为数学的教学出发点，这是我们绝大多数人要接触的东西。

我希望这本书是怎样的，初衷是什么？

这本书的目的是尽可能诚实可信地解释数学世界的一个部分，确保每一步的秘密都毫无保留。在每一步我都会尽量将必要的推演与历史偶然导致的传统区分开来；我要强调，“方程”和“公式”这些唬人的字眼只不过是“句子”的另一套说辞；我会尽量澄清，所有的数学符号都只不过是我们可以用口语表述的事物的缩写；在这个过程中我会尽量请读者参与发明好的缩写；我会对其他课本中是如何做的与它们为何这样做加以明确的区分；我在呈现事情的渊源时不会用事后的标准形式，这些标准形式都被梳理过，体现不出之前的思维过程，我至少会展现一些死胡同，我们大多数人在终得出答案之前都会受诱惑梭巡其中；我会尽我所能地深入解释一切，同时保持叙述的连贯性；我发誓宁可把书烧掉，也绝不说“请记住”之类的话。我对这本书还有很多愿景，但首先要做到上面这些。

我也会尝试解释这个领域在结构的必然和条件的随意之间的边界上的奇怪舞蹈。这一点我们实际上从未向学生解释过，因此一旦有可能我就会加以强调。我的意思是这样。一方面存在随意性。我们可以随意选择我们喜欢的公理，甚至是不一致的。定义并推演一套不一致的形式系统并不是不合法，只是很无趣。例如，“被零除”就并非不合法，所有数学教授都知道这一点。我们完全可以定义一个符号具有如下性质，对于所有都有，许多数学分析的书正是这样做的，这一节通常称为“扩展实数系。”{当然这些书中通常是写成而不是，我用$star$是为了提醒后面论证的问题与“无穷”无关，一旦我们假设加法恒等元（0）具有导数，这个无趣的问题就会腐蚀我们的数学世界。}但如果你坚持要定义这个符号，你得到的代数体系就不会是场。如果你坚持说它是场呢？也行，但那样你就只能谈论“一个元素的场。”如果你坚持认为还有其他元素，或者根据你的定义，这个场至少有两个元素呢？也可以，但这样你得到的就是一个不一致的形式系统。你就是想这样？也行。但这会使得任何语句都是可证的，因此没有什么意思。

要强调的是，即便像这样踢到了石板，我们也没做什么textbf{不合法}的事情。我们只是使得讨论变得textbf{无趣}。所有数学家都明白这一点，至少在选择研究对象时，在数学中是没有textbf{律法}的。数学结构只有是不是优雅和有趣。是谁决定什么是优雅和有趣呢？我们。证毕。

另一方面，数学中存在结构。一旦结束了“什么都行”的阶段，决定了所作的假设和探讨的对象，textbf{接下来}我们就会发现我们构想了一个与我们无关的真理世界，我们对它可能知之甚少，我们的任务是探索它。

显然，如果我们没有告诉学生这个关于随意和必然的基本事实，我们就是在误导他们对数学本质的认识。不知为何，我们几乎没有告诉过他们这个随意的创造和必然的推演之间的奇怪关联。我认为正是因为这一点使得许多学生觉得数学是某种极权主义者的荒野，充斥着未经界定的法律，没有人向你解释，你总是担心会不小心犯错。这就是我在中学时的感觉，我在前言中讲的那个故事之前发生的事情。这也是我在这本书中试图弥补的事情。

这本书决定它还想要这样

虽然我想尽可能的多讲一些数学整体上的格局，但我还是需要花时间讲一下标准教科书中讲述的那些思想，也许这样才能真正对学生有所帮助。要做到这一点，我需要构建一种叙事，让我们能够得到标准课本上的许多定义，然后才能解释从中衍生的数学论证。不过，基于这本书的目的，我保证不会以标准形式引出这些定义，标准形式通常让人感觉很突兀，顶多稍加解释一下这样做的动机，可能是思想或历史方面的，然后就猛地一下跨越到数学定义本身。为了避免用这样的方式，我发现自己面临着诸多限制。问题可以总结如下：

假设你除了基本的加和乘，不具备其他任何数学知识。不必知道具体的计算步骤，但是你知道“两倍大”之类的说法是什么意思，你也知道计算的要点。你的世界里没有课本。你如何才能发现哪怕是简单的那些数学呢？举个例子，你如何才能知道长方形的面积是“长乘以宽”？

说面积在测度论中是怎么定义的，或者说公理或欧几里得的第五公设，或者说公式$A = ell w$在非欧几何中不成立之类的，都是扯淡。这个问题关心的不是严格性，也不是历史，而是要textbf{创造某种东西}。这个问题问的是如果没有人帮助你或替你做，如何从模糊的、定性的、日常的思维过渡到精确的、定量的、数学的思维。

初是我好的一个朋友艾琳霍洛维茨（Erin Horowitz）问我这个问题。在我刚开始写这本书的时候，我们偶尔会在一起聊几个小时的数学。她不是学数学的，但她很好奇，总是想知道事情的缘由。我们会谈论形式语言、泰勒级数、函数空间、等等，内容不拘，随心所欲。有一天她问我上面这个问题，关于数学思想是如何创造出来的。这个问题用这样的方式提出来，用长方形的面积作为测试，并不是很难回答，我给出了我能想到的简单的论证，这就是你将在第1章“如何发明一个数学概念”中看到的关于面积的论证。等我刚讲完，她又问为什么在学校里从不这样教。她完全理解了这个简短的论证，任何人都能理解。不可思议地是：这个论证涉及到解泛函方程。

数学系很少有课程专门讲泛函方程。我不敢说是不是应该有更多，但这其实是一件相当让人困惑的事情。毕竟，每一个数学系的本科生肯定都会遇到大量微分方程，他们必然也会遇到积分方程，但研究和解决未知函数的一般表达式的数学领域在很大程度上却被忽视了。虽然这个领域实际上是数学古老的一部分，我们却没有经常听到它。阿克塞尔在他的名著《泛函及其应用讲义》（Lectures on Functional Equations and Their Applications）中这样说道，“这个领域多年以来没有得到应有的重视，虽然它历史悠久，在应用中也很重要。”

此后，我吃惊地发现，只要讲述的方式适当，泛函对于解释即便是简单的数学概念也很有帮助。footnote{不是用阿克塞尔的专著中那样抽象的泛函方程，而是以某种非正式的伪装，类似于在讲授分析之前讲授微积分的方式。}做法是这样。不用“泛函方程”的说法，如果有可能，连“函数”的说法都不要用。大部分人在数学课上都有糟糕的体验，如果采用太多正统的数学术语，很容易吓到他们，从而关闭他们天生的创造性。你可以这样说：

我们有一个模糊的、日常的概念，想要把它变成精确的数学概念。没有哪种做法是错误的，因为是我们自己决定我们进行的这个转换有多成功。不过我们想尽可能多地将日常概念都转换成数学概念。我们从说一些关于日常概念的句子开始。然后我们得出这些句子的缩写。这时候他们其实是在写泛函方程，只是自己没意识到。}然后我们从思维上剔除那些不符合要求的可能。如果有需要，我们可以反复厘清，将越来越多的模糊的日常信息转换成缩略形式，然后从思维上抛弃那些不合适的。通过将例子写下了，我们偶尔会逐渐意识到，我们寻找的精确定义必须具有某种形式。终我们可能会得到不止一种可能，即便只有一种，我们也不知道这是不是就是的，但这不重要。如果有多个候选定义符合我们的要求，我们可以像数学家只做不说的那样，挑选一个我们认为漂亮的。什么样的是“漂亮的”？这取决于我们。

“如果你喜欢数学但讨厌学校讲授数学的方式，杰森·威尔克斯这本极具创意的书可能正是你需要的。”

——乔丹·艾伦伯格（Jordan Ellenberg），《魔鬼数学——数学思维的力量》的作者。

“这是一本奇书，杰森·威尔克斯用全新的方式教读者自己构造看起来很难的数学领域。有趣而又引人入胜，十年难得一遇的原创佳作。这不是放在咖啡桌上让人显得莫测高深的那种书，这是为那些想对数学有真正领悟的人写的书。”

——约翰·托比（John Tooby），人类学教授，加州大学圣巴巴拉分校进化心理学中心联席主任

“现在的数学课本简直就是犯罪。它们告诉你数学需要记忆，不断记忆不知从何而来的公式，然后又忘得一干二净。任何会思维的头脑都不会认为这是合理的。数学课的作用应当是启迪心智，教人们用全新的眼光认识世界。在这本书中，杰森·威尔克斯告诉我们，数学是我们心智的塑造物。等你读完这本书，你就会明白数学的精髓和美。”

——莱达·科斯米德斯（Leda Cosmides），心理学和大脑科学杰出教授，加州大学圣巴巴拉分校进化心理学中心联席主任