光子晶体——控制光流（原书第二版）

光学晶体,研究

《光子晶体：控制光流：原书第二版》为光子晶体领域的经典教科书。第1章对《光子晶体：控制光流：原书第二版》进行了综述。第2章描述了混合介质系统的宏观电磁理论，证明描述磁场的方程是哈密顿方程。基于此事实，第3章对磁场行为做出了描述。第4～6章分别研究了一维、二维、三维光子晶体的电磁特性，阐述了光子带隙的物理起源，以及与之相关的电磁现象。第7～9章研究了一维周期介质波导、二维光子晶体板和光子晶体光纤。第10章阐述了时间耦合模式理论，以及与之相关的应用设计，还描述了光子晶体中的光学现象，如折射、衍射等。《光子晶体：控制光流：原书第二版》附录部分可以帮助读者了解相关基础知识。

目录
第1章 简介 1
1.1 控制材料的属性 1
1.2 光子晶体 1
1.3 本书大纲 3
第2章 混合介质中的电磁理论 6
2.1 宏观的麦克斯韦方程组 6
2.2 将电磁学看成一个本征值问题 9
2.3 谐波模的一般特性 11
2.4 电磁能量和变分原理 12
2.5 磁场和电场 15
2.6 微扰的作用 16
2.7 麦克斯韦方程组的比例缩放特点 18
2.8 频率的离散与连续性 19
2.9 电动力学与量子力学的比较 20
2.10 深入阅读 21
第3章 对称性与固体电磁学 22
3.1 利用对称性来分类电磁场模式 22
3.2 连续平移对称 24
3.3 离散平移对称性 28
3.4 光子带结构 30
3.5 旋转对称和不可约布里渊区 31
3.6 镜像对称与模式的分离 33
3.7 时间反演对称 34
3.8 布洛赫波的传播速度 35
3.9 电动力学与量子力学的再一次比较 36
3.10 深入阅读 37
第4章 多层膜：一维光子晶体 38
4.1 多层膜 38
4.2 光子带隙的物理起源 39
4.3 带隙的大小 43
4.4 光子带隙中的倏逝模 44
4.5 离轴传播 46
4.6 缺陷与局域模 49
4.7 表面态 51
4.8 全向多层膜反射镜 52
4.9 深入阅读 54
第5章 二维光子晶体 55
5.1 二维布洛赫态 55
5.2 介质柱四方晶格 56
5.3 介质网格四方晶格 59
5.4 任意偏振的完全带隙 61
5.5 面外传播 63
5.6 点缺陷与光的局域 64
5.7 线缺陷与波导 70
5.8 表面态 73
5.9 深入阅读 75
第6章 三维光子晶体 77
6.1 三维晶格 77
6.2 拥有完全带隙的光子晶体 79
6.3 一个点缺陷内的局域模 87
6.4 线缺陷中的局域 91
6.5 表面的局域 93
6.6 深入阅读 96
第7章 周期介质波导 97
7.1 概述 97
7.2 一个二维模型 98
7.3 三维周期介质波导 100
7.4 对称和极化 101
7.5 周期介质波导中的点缺陷 103
7.6 有损腔的品质因子 104
7.7 深入阅读 105
第8章 光子晶体板 107
8.1 柱板和孔板 107
8.2 极化和板厚 108
8.3 板中的线缺陷 110
8.4 板内的点缺陷 116
8.5 不完全带隙高Q的机制 117
8.6 深入阅读 122
第9章 光子晶体光纤 123
9.1 约束机制 123
9.2 折射率引导光子晶体光纤 124
9.3 带隙引导多孔光纤 132
9.4 布拉格光纤 138
9.5 空心芯光纤的损耗 143
9.6 深入阅读 147
第10章 光子晶体的应用设计 148
10.1 概述 148
10.2 镜子、波导和谐振腔 148
10.3 窄带滤波器 153
10.4 时间耦合模式理论 154
10.5 弯曲波导 158
10.6 波导分路器 160
10.7 有损三维滤波器 162
10.8 谐振吸收和辐射 165
10.9 非线性滤波器和双稳态 166
10.10 一些其他问题 170
10.11 反射、折射和衍射 172
10.12 深入阅读 177
10.13 后记 177
附录A 与量子力学的比较 178
附录B 倒易晶格与布里渊区 180
B.1 倒易晶格 180
B.2 构造倒易晶格 181
B.3 布里渊区 181
B.4 二维晶格 182
B.5 三维晶格 183
B.6 米勒指数 184
附录C 带隙图集 187
C.1 二维带隙导图 187
C.2 三维带隙 192
附录D 计算光子学 194
D.1 概述 194
D.2 频域本征问题 196
D.3 频域响应 198
D.4 时域仿真 199
D.5 一个平面波本征求解器 200
D.6 进一步阅读和开源软件 203
参考文献 204
索引 223

第1章 简介
　　1.1 控制材料的属性
　　人类对技术的许多真正突破都是基于对材料属性更深入的了解。从石器时代到铁器时代的崛起，可以说是人类对天然材料加深认知的故事。史前人类了解了石头的耐用性和铁的硬度，并使用它们制造工具。人类明白了地球上某一物质的属性，并学会了利用这种属性。
　　*终，早期的工程师学会了更多，而不是仅将从地球上获得的材料以原始形式呈现出来。通过对现有材料的反复改性，他们生产出了具有更理想性能的物质，包括早期带有光泽的青铜器，到如今坚固的钢材和混凝土等。今天，由于冶金、陶瓷和塑料的发展，人们拥有了一系列具有广泛机械性能的全人工材料。
　　在21世纪，人类对材料的控制已深入到电子层面。半导体物理学的进步使人们能够调整某些材料的导电性能，并在电子工业领域掀起了晶体管革命。这些领域对现代社会的影响极其深远，怎么说都不为过。借助新的合金及陶瓷，科学家发明了高温超导体和其他奇特的材料，这些材料可能构成未来技术的基础。
　　在过去的几十年中，人们开辟了一个新的领域。在这个领域内，人们希望能够控制材料的光学属性。如果设计出能够在理想频率范围内对光波做出预期反应的材料，比如，使其能够完美反射或允许它们仅在特定方向上传播，或者将它们约束在指定空间内，那么，未来的科技发展必将出现巨大进步。目前，一种简单的，用以引导光传播的光缆已经彻底改变了电信行业。而进一步的激光工程、高速计算和光谱学则是未来应用广泛的几个领域，它们将从光学材料的进步中获益。本书就是带着这些目标，希望促进光学材料发展而撰写的。
　　1.2 光子晶体
　　哪种材料可以帮助人们完全控制光的传播？为了回答这个问题，可以参考已经取得成功的电子材料。其中，晶体是原子或分子的周期排列。原子或分子在空间中重复的模式是晶格。电子在具有周期势的晶体中运动，晶体的组成元素和晶格的几何形状决定了晶体的导电属性。
　　周期势中的量子力学理论曾经解释了物理学的一个巨大谜团：在导体中，为什么电子能够像气体扩散那样自由传播？它们是如何避免从连续分布的晶格中散射出来的？答案是：电子以波的形式传播，并且满足一些特定条件的电子波能够在周期势中传播，而不会发生散射(但它们会被缺陷与杂质所散射)。但是重要的是，晶格也能阻止特定电子波传播。晶体的能带结构中可能存在带隙，这意味着拥有特定能量的电子在特定方向无法传播。如果晶格势足够强，则带隙可以延伸并覆盖所有可能的传播方向，从而导致完全带隙。例如，半导体在价带与导带之间就有一个完全带隙。
　　在光子晶体中，通常以拥有不同介电常数的宏观介质替代原子或分子，以周期介电常数(或等效地，以周期折射率)替代周期势。如果晶体中材料的介电常数差异足够大，并且材料对光的吸收很小，那么来自不同界面的反射与折射可以使光子表现出类似于周期势中电子的行为。因此，光子晶体(一种低损耗的周期介质)是控制和操控光的一种方法。特别是，可以设计并构造拥有光子带隙的光子晶体，来阻止光以特定频率(或者特定波长范围，或光的“颜色”)在特定方向传播。此外，光子晶体可以操控光，使其以反常而有用的方式传播。
　　为了进一步发展这一概念，先来考虑金属波导和金属空腔与光子晶体的关系。金属波导和金属空腔广泛用于微波传播。金属空腔的壁使得频率低于某个阈值的电磁波无法传播；金属波导仅允许微波沿着它的轴向进行传播。对于频率不在微波范围内的电磁波，如可见光，某个拥有与金属波导和金属空腔相同电磁功能的材料将是非常有用的。但是，可见光能量在金属中会迅速耗散，致使金属波导或金属空腔无法推广应用于可见光。而光子晶体则可以涵盖更宽的频率范围，使空腔和波导的有用属性得以推广和扩展。人们可以构造具有给定几何结构的光子晶体来控制电磁波，比如，用毫米尺寸的光子晶体控制微波，或用微米尺寸的光子晶体控制红外光。
　　另一种广泛使用的光学器件是多层介质镜，比如，1/4波长多层膜，由具有不同介电常数的交替材料层组成。特定波长的光照射到这种材料表面会被全反射。原因是：在每一层交界面，光波的一部分都发生了反射，如果传播空间是周期的，那么入射波的多重反射会产生相消干涉，从而消除前向传播波。Lord Rayleigh(瑞利爵士)在1887年**次对这一著名的现象做出了解释。此现象也是诸多应用的基础，包括介质镜，介质法布里-珀罗滤波器，以及分布式反馈激光器。它们都是具有一维周期结构的低损耗介质，这种结构就定义为一维光子晶体。即使是这些*简单的光子晶体也具有惊人特征。这种分层介质可设计成一种全向反射器。它可以反射以任意角度入射的任意偏振光，尽管人们普遍认为只有在接近正入射的情况下才能发生反射。
　　如果在某个频率范围内，光子晶体禁止来自任何波源的，任何方向的，任何极化的电磁波进行传播，则说明该晶体拥有一个完全光子带隙。一个拥有完全带隙的光子晶体显然是一个全向反射器，但反过来就不好这么说了。正如刚刚提到的层状介质，它虽然不具有完全带隙，但是仍可以设计为全向反射器(仅限于光源离得足够远的情况下)。一般来说，为了产生完全带隙，介质结构需要在三个方向上都具有周期性，由此构成三维光子晶体。但也有例外：在某些周期介质中，少量扰动(局部的无序)不会破坏带隙(Fan et al.，1995b;Rodriguez et al.，2005)；某些高度无序的介质能通过“安德森局域化”(John，1984)机制来有效阻止波的传播；另一种具有完全光子带隙的非周期材料具有准晶体结构(Chan et al.，1998)。
　　1.3 本书大纲
　　编写这本书是为了给人们提供一个光在光子晶体中传播的全面描述，逐渐增加光子晶体的复杂性，并逐步讨论光子晶体的特点。因此，本书从*简单的一维光子晶体入手，然后深入到更为复杂的二维及三维系统(见图1)，并研究其更为实用的属性。利用合适的理论工具，本书试图提高人们的直觉性：什么样的介质结构产生什么样的电磁属性，以及为什么？
　　图1不同维度光子晶体的示意图，不同的颜色代表具有不同介电常数的材料。光子晶体的特征便是介质材料沿着一个或多个轴周期排列
　　这本书是面向广大读者编写的，希望读者熟悉宏观麦克斯韦方程组，并对谐波模式的概念(这引自其他概念，比如本征模、简正模及傅里叶模)有所了解。在此基础上，本书发展了一套完整的数学及物理工具。希望对此感兴趣的大学生读这本书时不会感到太生硬，同时也希望那些研究者在设计自己的光子晶体材料时，能从这本书中获得启发式的思考及指导。
　　如果读者熟悉量子力学和固体物理，那么他们在读这本书时会更加容易理解。因为光子晶体中的许多术语都来源于这些领域。附录A对此做出了详细展示。光子晶体是固体物理与电磁学的结合，晶体结构是固体物理的范畴，但是在光子晶体中，电磁波替代了电子。因此，在讲解光子晶体之前，会先回顾这两个学科的基本概念。第2章讨论了电磁波在介质中传播的宏观麦克斯韦方程组。这些方程被等效为一个单一的哈密顿微分方程。在此情形下，利用模的正交性、电磁变分原理，以及介质系统的比例定律(缩放定律)，等等，人们更容易理解材料诸多有用的属性。
　　第3章介绍了固体物理学和对称性理论在光子晶体中的一些基本概念。人们常常利用对称性来理解电子在周期势中的传播行为；人们也可以利用对称性理解光在光子晶体中的传播行为。书中研究了光子晶体中的平移对称性、旋转对称性、镜面反射对称性、空间反演对称性，以及时间反演对称性，并引入了固体物理中的一些术语。
　　为了进一步理解光子晶体中的基础概念，书中会首先回顾一维光子晶体的特点。在第4章可以看到一维系统表现出的三个重要现象：光子带隙、局域模和表面态。由于折射率只沿着一个方向变化，光子带隙与表面态也被约束在这个方向。不过，这个简单而又经典的一维系统却阐述了更为复杂的二维及三维结构所拥有的大部分重要物理特征。甚至，它可以用来设计全向反射器。
　　第5章讨论了二维光子晶体的一些特点。在二维系统中，介质沿着两个方向周期变化，而在第三个方向上则保持均匀。这样的系统可以在周期平面内产生带隙。通过分析不同晶体的某些电磁场模式的电场分布，我们得以洞察到复杂周期介质结构中带隙的本质。此外，这种二维晶体中的点缺陷可在平面内引入局域模，在晶体表面形成表面态。
　　第6章讨论了三维光子晶体，即沿着三个方向都具有周期性的介质结构。值得注意的是，在这一系统中，存在一个真正意义上的完全带隙，即任意方向的电磁波(满足一定频率范围)都不能在其中传播。发现具有完全光子带隙的特殊介质结构是光子晶体领域的重要成果之一。这些晶体足够复杂，可以使光在点缺陷处发生局域，并沿线缺陷传播。
　　第7章和第8章进一步讨论了一些复合结构，其中，某一个或某两个方向上存在带隙，而在其他方向上则是折射率引导(类似于全内反射)。这样的结构可以近似获得三维完全带隙，同时更容易制造。第9章提出了另一种非完全带隙结构，光子晶体光纤，其利用带隙或基于一维或二维周期结构的折射率来引导光沿着光纤传播。
　　*后，第10章基于前几章所介绍的工具和思想设计了一些简单光学元件。具体来说，我们会看到谐振腔和线波导是如何组合以形成滤波器、弯波导、分束器、非线性“晶体管”和其他设备的。在此过程中，本书发展了一个有效的理论分析框架：时间耦合模式理论，以帮助人们轻松预测上述组合的行为。同时，第10章也回顾了光在光子晶体表面发生的折射与反射现象。这些示例不仅说明了光子晶体的应用，而且还简要回顾了本书中的其他内容。
　　*后是附录部分，其简明扼要地描述了固体物理中倒易晶格的概念；调研了二维和三维光子晶体中出现的各种带隙；概述了计算机数值模拟的方法。本章从麦克斯韦方程组入手，研究电磁波在光子晶体中的传播现象。通过引入一个特别的混合电介质结构，将麦克斯韦方程组转化为一个线性哈密顿本征值问题。这使得电磁问题与薛定谔方程极为相似，也使人们可以**化地利用量子力学已经建立的结果，比如模的正交性、变分理论，还有微扰理论。电磁学与量子力学**的不同在于:光子晶体没有一个基本尺度——无论是空间坐标还是势的强度(介电常数)，这使得光子晶体的可伸缩性与传统晶体不同，正如将在本章后面所看到的那样。
　　2.1 宏观的麦克斯韦方程组
　　所有宏观的电磁学，包括电磁波在光子晶体中的传播都可以用麦克斯韦方程组描述。在国际单位制中①，它们是
　　(1)
　　其中，E和H是宏观的电场和磁场；D和B分别是位移场和磁感应场；和J是自由电荷密度和电流密度。上述方程组的一个更完善的出处请参见Jackson(1998)的文献。
　　现在，假设一束电磁波在一个混合介质中传播。在该混合介质中，介电常数是位置r(笛卡儿)的函数，但其不随时间变化，内部也没有自由电荷或电流。这种组合不需要周期性，如图1所示。假设电磁波在这种类型的介质中传播，且介质内没有波源，那么人们可以设置。
　　为了求解方程，需要引入D和E以及B和H的本构关系。一般来说，位移场D的分量Di与电场E的分量Ei的关系具有幂级数形式，参见Bloembergen(1965)的文献：
　　(2)