描述
本教材的内容是物理学各专业必修的数学基础课。开设这门课是为了让学生掌握线性代数的基本知识和基本方法，提高抽象思维能力，逻辑推理能力以及实际应用能力。作为与传统工科线性代数课程的区别，除行列式、矩阵、线性方程组外，加强了抽象的线性空间和线性映射这部分核心内容。教材给出了全部定理的证明，便于学生理解其含义，了解各个定理间的逻辑结构，以搭建起学科的整体框架。并且零星地介绍了一些现代数学的思想。
本书主要内容为线性代数，包括行列式、矩阵、线性方程组、线性空间、线性变换、内积空间、二次型与厄米型、以及变分法。在保持数学教材应有的逻辑严密性的同时，本书较多地照顾到了物理学的专业特点，在概念的引入、内容的组织、例题的选用、以及术语和习惯等方面，带有明显的物理专业特色，并尽量做到与物理学各专业的后续课程相衔接。在阐述过程中，遵循由具体到抽象的原则，力图通俗易懂。本书适合作为综合性大学物理类各专业的线性代数教材，也可作为各大专院校师生的教学参考书。
目录
第1章行列式(1)
1.1二阶与三阶行列式(1)
1.1.1二元线性方程组与二阶行列式(1)
1.1.2三阶行列式(2)
1.2排列和置换(4)
1.3n阶行列式的定义(8)
1.4行列式的性质(11)
1.5行列式按行（列）的展开(15)
1.6行列式的计算举例(24)
1.7克拉默法则(33)
第2章矩阵(36)
2.1矩阵的定义及运算(36)
2.1.1矩阵的概念(36)
2.1.2矩阵的线性运算(39)
2.1.3矩阵的乘法(40)
2.1.4矩阵的转置(46)
2.1.5方阵的行列式和迹(49)
2.2可逆矩阵(50)
2.3分块矩阵(56)
2.4矩阵的初等变换(62)
2.4.1初等变换、初等矩阵(63)
2.4.2行标准型(65)
2.4.3等价、标准型(69)
2.5矩阵的秩(71)
2.5.1秩的定义(71)
2.5.2秩与初等变换(72)
2.5.3矩阵秩的一些不等式(74)
第3章线性空间(78)
3.1引言(78)
3.1.1代数和线性代数(78)
3.1.2集合论简介(79)
3.1.3常见代数系统简介(82)
3.2线性空间的定义和例子(83)
3.3子空间(87)
3.4向量组的线性无关性(90)
3.4.1线性组合(90)
3.4.2向量组的等价(91)
3.4.3线性相关性(93)
3.4.4极大无关组、秩(96)
3.5n元向量组与矩阵的关系(98)
3.6线性空间的基、维数、坐标(105)
3.6.1基和坐标(105)
3.6.2子空间的直和(109)
3.6.3坐标变换(110)
3.6.4线性空间的同构(112)
第4章线性方程组(115)
4.1线性方程组的基本概念和高斯消元法(115)
4.2线性方程组解的结构(120)
第5章线性变换(128)
5.1线性映射(128)
5.1.1线性映射的定义和基本性质(128)
5.1.2线性映射的运算(131)
5.1.3线性泛函和对偶空间(132)
5.1.4线性变换(133)
5.1.5代数、线性变换代数(136)
5.2线性变换的矩阵表示(137)
5.2.1矩阵表示(137)
5.2.2矩阵表示的变换、相似矩阵(142)
5.3本征值、本征向量(144)
5.4矩阵的相似对角化(153)
5.4.1相似对角化(153)
5.4.2不变子空间(163)
5.4.3同时对角化(165)
5.4.4Jordan标准型简介(166)
第6章内积空间(176)
6.1实内积、欧空间(176)
6.1.1内积的定义(176)
6.1.2度规(178)
6.1.3模、夹角(179)
6.1.4正交、标准正交基(180)
6.1.5一些常见的“空间”简介(182)
6.2标准正交基的存在性(184)
6.2.1Schmidt标准正交化方法(184)
6.2.2正交补空间(190)
6.2.3最小二乘法(192)
6.3正交矩阵和正交变换(195)
6.3.1正交矩阵(195)
6.3.2正交矩阵与标准正交基的关系(196)
6.3.3正交变换(197)
6.4对称变换和实对称矩阵(199)
6.4.1对称变换(199)
6.4.2实对称矩阵本征值和本征向量的性质(200)
6.5幺正空间(205)
6.5.1复内积、幺正空间(205)
6.5.2度规矩阵(207)
6.5.3模、正交、标准正交基(207)
6.5.4Schmidt标准正交化方法(210)
6.5.5正交补空间(212)
6.5.6厄米共轭(213)
6.5.7幺正矩阵和幺正变换(215)
6.5.8厄米矩阵和厄米变换(219)
6.5.9厄米矩阵与幺正矩阵的联系(229)
6.5.10正规矩阵和正规变换(231)
第7章二次型和厄米型(234)
7.1二次型的定义和标准型(234)
7.1.1二次型的定义(234)
7.1.2线性替换(235)
7.1.3二次型的标准型(237)
7.2二次型的规范型和惯性定理(244)
7.2.1二次型的规范型(244)
7.2.2惯性定理(245)
7.3二次型的正定性(247)
7.3.1正定二次型的定义(247)
7.3.2正定的一些充要条件(247)
7.3.3负定、准正定、准负定(249)
7.4厄米型(255)
7.4.1厄米型的定义和等价(255)
7.4.2n元厄米型可化为2n元二次型(256)
7.4.3厄米型的标准型和规范型(256)
7.4.4惯性定理(260)
7.4.5厄米型的正定性(261)
7.4.6矩阵的奇异值分解(264)
7.4.7复对称矩阵的奇异值分解(266)
7.5本征值问题的极值性(266)
7.5.1本征值问题的极值性(266)
7.5.2极大极小值原理(269)
7.5.3一般性结论(270)
7.5.4本征向量组的完备性(271)
第8章变分学(275)
8.1引言(275)
8.2Euler变分方程(276)
8.2.1变分学的基本问题(276)
8.2.2Euler表达式恒等于零的情形(279)
8.2.3Euler方程的形式不变性(280)
8.2.4形式标记——变分导数(280)
8.2.5含有高阶导数的情形(288)
8.2.6含有多个自变函数的情形(289)
8.2.7含有多个自变量的情形(290)
8.3非固定边界条件问题(291)
8.3.1自由边界条件(291)
8.3.2横交条件（约束端点问题）(292)
8.4条件极值问题(293)
8.4.1函数的条件极值问题——Lagrange乘子法(293)
8.4.2测地线问题：泛函的Lagrange乘函法(295)
8.4.3等周问题：泛函的Lagrange乘子法(297)
8.5物理学中的变分原理(299)
参考文献(301)
前言
按国内物理学专业目前的课程体系，《数学物理方法基础》课程主要包括复变函数论和数学物理方程两部分内容，由物理学院（系）开设，而线性代数等内容则置于《线性代数》课程中，与《高等数学》一起由数学院（系）开设，且内容大多局限于行列式、矩阵、线性方程组等.这样的课程体系源自历史，其是否更适合物理学各专业有待商榷.实际上，欧美l pe 数学物理课程包含的内容要更广泛一些，而且从柯朗希尔伯特的名著开始，到F.W.拜仑、R.W.富勒的经典教材以及近年来较新的教材《MathematicaPhysics》，还有彭桓武、李政道等人的数学物理专著，无不把线性空间的内容包括其中，甚至将其作为基础的核心内容.线性空间及其算子代数在数学中是非常基础的内容，例如泛函分析基本上可看作线性代数在函数空间的应用，微分几何也是建立在局域的多重线性代数之上.在物理学中，线性空间的概念同样非常重要，它是描述很多物理理论的基础，包括除经典力学中的矢量概念之外，相对论中所用到的张量即具有多重线性结构的数学对象，而量子力学由于存在态叠加原理，要求该理论为一个线性理论，可用线性代数的语言精确描写.因此，我们尝试改变国内传统的《数学物理方法》课程体系，将以线性空间（而非行列式、矩阵）为核心的《线性代数》内容纳入其中.作为这种尝试的第一步，物理学院自己开设了《数学物理方法基础》这门课程以取代原来由数学院为理工科统一开设的《线性代数》课程.在近几年的教学实践中，大致确定了这门课程的教学内容和教学大纲，也编写一个初步的讲义，这本教材就是在该课程讲义的基础上修订编写的.我们希望在将来的教学过程中，能够通过对后续《数学物理方法》课程内容做适当增删，形成一个统一的、适合当前物理专业本科生的数学物理课程体系.本教材的主要内容为线性代数.目前国内的线性代数课程大致分为面向工科专业和面向数学专业两类.工科线性代数的内容主要讲授行列式、矩阵等数学工具，而不讲授或很少讲授抽象的线性空间、线性变换、内积空间等内容.尽管行列式、矩阵等都是高度有用的工具，但向量才是更重要的数学对象.因此线性代数的核心内容应该是线性空间及其线性变换代数，而且这一部分内容在物理学中有着广泛的应用.数学专业的线性代数一般在高等代数课程中学习，其内容丰富，但一方面它包含一些物理学中使用较少的内容，比如多项式、η 矩阵理论，另一方面物理学中需要的一些内容也有所缺失，例如对偶空间和对偶基、复内积空间及其两类重要变换、线性变换的群结构、厄米变换本征值的极值性质等.此外，尽管《线性代数》是为配合物理专业教学而开设的数学课程，但它的目的绝不仅仅限于为物理专业学生提供物理学所需的数学语言.在过去几十年中物理学所用的数学语言有了很大的变化，纯代数和纯几何方法陆续进入物理学，不同于分析方法，代数方法为物理理论提供了一定的刚性.可以肯定的是，这一代物理学工作者在今后所生活的年代中，物理学所用的数学语言的变化将更快.因此物理专业的学生要想跟上将来所研究领域的发展以及该领域所用数学语言的变化，就必须熟悉抽象数学、必须具备更强的抽象思维能力.我们希望在相对较少的数学课中，通过将数学语言和数学风格与物理内容相结合，培养学生的现代数学素养，其中线性代数可作为一个很好的抽象代数的范例来达到这些目的，其代数与几何的结合也可让物理专业的学生体会到数学的整体性.这些都要求物理专业的线性代数教学应与数学专业的有所区别.综上，我们希望通过以上内容来形成这本教材的核心内容.更重要的是，我们希望这本教材尽量与物理专业后续的课程相联系.在《数学物理方法》课程中，正交函数组、SturmLiuville型微分方程、分离变量法等内容都可以在线性代数的框架内得到更深刻的理解.物理专业的其他后续数学课程，例如群表示论、微分几何等，也都需要以线性代数为基础.正是由于线性代数是这些数学物理课程的基础，我们拟将本教材的副标题命名为《数学物理方法基础》，以与通常工科专业的《线性代数》或数学专业的《高等代数》相区别.我们在例题的选取、概念的引入等方面也带有明显的物理专业的特色.考虑到大一大二新生对抽象对象的接受能力，我们在编写时放弃了从线性变换引入矩阵、行列式的现代途径，因此教材的前半部分基本上按照传统途径完整地介绍了行列式、矩阵、线性方程组等内容，后半部分则较系统地介绍了线性空间、线性变换、内积空间及其重要变换等内容.这几年的教学实践证明了，这种由具体融合引入抽象概念是符合学习规律的.抽象概念不是从天而降的，而是来自具体、实际的例子.但抽象概念又没有止步于具体事例，而是超出了具体和实际.正是由于脱离了具体的例子，舍弃了不同例子的相异性并提取了他们的共同点，才能应用到更多更广泛的实际例子中.另外，每个抽象概念的引入都是有其背景和用途的.在教材中，我们尽可能从具体的问题出发，而并非通过定义，在分析解决问题的过程中逐步引入相关的抽象概念.这本教材的后一章包含了变分法.通常，变分法在国内的物理专业教学中是归入《数学物理方法》课程或者《理论力学》课程.但有些院校在《数学物理方法》课程中将它作为选讲内容处理，而在《理论力学》课程中的介绍也不够完整.变分法在物理学中不仅能提供一些有效的近似计算方法，更重要的是，它是物理学基本原理——小作用量原理——的表述语言.鉴于其重要性，这本教材中在我们将它与线性代数放到一起，通过厄米变换本征值问题与厄米型极值问题的等价引入泛函极值问题，并进一步讲授变分法，这样的处理使它在内容上衔接也比较自然.本教材预计学习时长为64课时，其中，标记的内容可选讲一部分，剩下的作为选读内容.由于课时的限制，本教材没有涉及多重线性代数及外代数、数值线性代数等内容，这些可以在后续计算物理、微分几何等课程中进一步学习.在教材的编写过程中，得到了华中科技大学物理学院领导和老师们的极大支持，在此一并表示衷心的感谢.由于编者水平有限，疏漏和错误之处再所难免，敬请读者批评指正.
编者
2020年9月26日
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