高等代数

《高等代数》内容主要包括一元多项式理论、矩阵及其运算、线性方程组理论、线性空间及其线性变换、相似不变量与相似标准形、欧氏空间与二次型理论。《高等代数》力求厘清高等代数相关概念与定理产生的历史背景和科学动机，强调几何直观与代数方法的有机结合，使抽象概念、理论可视化，并适当拓展高等代数理论在现代科技、工程、经济等领域应用的介绍，注重数学文化的渗透与科学思维方法的训练。

目录
前言
第1章 预备知识 1
1.1 数域 1
1.2 连加号 3
1.3 数学归纳法 4
1.4 一元多项式的概念 5
1.5 整除 7
1.6 公因式 11
1.7 韦达定理 16
1.8 等价关系 16
第2章 矩阵 19
2.1 矩阵及其运算 19
2.2 分块矩阵 30
2.3 行列式 35
2.4 n阶行列式的性质 44
2.5 行列式的计算 49
2.6 行列式按一行(列)展开 54
2.7 可逆矩阵 60
2.8 初等矩阵与矩阵的逆 65
2.9 克拉默法则 72
2.10 矩阵的秩 80
复习题2 87
第3章 线性空间 90
3.1 消元法解线性方程组 90
3.2 线性空间的定义与基本性质 103
3.3 线性表示 111
3.4 向量组的线性相关性 116
3.5 向量组的秩和极大无关组 124
3.6 向量组的秩与矩阵的秩 128
3.7 基、维数与坐标 131
3.8 基变换与坐标变换 138
3.9 线性子空间 147
3.10 线性方程组解的结构 153
3.10.1 齐次线性方程组解的结构 154
3.10.2 非齐次线性方程组解的结构 158
3.11 子空间的交与和 167
3.12 子空间的直和 175
复习题3 179
第4章 多项式 182
4.1 因式分解定理 182
4.2 重因式与多项式函数 185
4.3 复系数与实系数多项式的因式分解 189
4.4 有理系数多项式 191
复习题4 195
第5章 线性变换 196
5.1 线性映射 196
5.2 线性空间的同构 203
5.3 线性变换的运算 205
5.4 线性变换的值域与核 208
5.5 线性变换的矩阵表示 214
5.6 相似矩阵 227
5.7 特征值与特征向量I:定义与求法 232
5.8 特征值与特征向量II:性质 240
5.9 相似对角化 245
5.10 不变子空间 252
5.11 凯莱-哈密顿定理与极小多项式 256
复习题5 262
第6章 相似不变量与相似标准形 265
6.1 λ-矩阵的相抵标准形 265
6.2 矩阵相似的条件 270
6.3 不变因子与弗罗贝尼乌斯标准形 273
6.4 初等因子 279
6.5 若尔当标准形 283
6.6 线性空间的分解 291
6.6.1 基于弗罗贝尼乌斯标准形的分解 291
6.6.2 基于若尔当标准形的分解 294
复习题6 298
第7章 欧氏空间 299
7.1 内积与欧氏空间 299
7.2 标准正交基 310
7.3 正交矩阵 320
7.4 正交变换 322
7.5 对称矩阵与对称变换 327
7.6 正交补与正交投影 339
7.7 小二乘法 347
复习题7 351
第8章 二次型 352
8.1 二次型及其矩阵表示 352
8.2 标准形 355
8.3 规范形 365
8.4 正定二次型 371
8.5 极分解与奇异值分解 377
复习题8 381
部分习题简答 384