广义协变导数与平坦时空的协变形式不变性

本书可以极大地深化读者对协变微分学和协变变分学的理解；通过本书，读者将建立起充满活力的张量分析知识体系。

 

张量的微分学是不协变的，Ricci借助协变性思想，将其发展成为协变的微分学。然而，协变微分学是非公理化的，本著作通过空间域上的协变形式不变性公设，将Ricci的经典协变微分学，扩展成了公理化的广义协变微分学。类似地，张量的变分学是不协变的，本著作将其发展成协变的变分学，并借助时间域上的协变形式不变性公设，将协变变分学发展成了公理化的广义协变变分学。

殷雅俊，清华大学航天航空学院工程力学系教授，博士生导师。1985年毕业于清华大学水电系，获学士学位；1987年于清华大学工程力学系获硕士学位，同年留校任教；1995年获日本政府奖学金，赴日留学，1998于日本广岛大学获博士学位。1993-94年获荷兰政府资助，作为Research Fellow在Delft大学从事合作研究。2000-01年受Japan Key Technology Center的邀请，作为海外研究员在IHI（日本石川岛播磨重工业公司）基础技术研究所从事合作研究工作。先后获得教学优秀成果一等奖1次、二等奖3次。2011年获得北京市教学名师奖。近十五年来主攻以下研究方向并取得进展：（1）生物微纳米力学与几何；（2）生物分形几何与力学；（3）昆虫仿生力学；（4）张量分析与理性力学的公理化。在国内外刊物发表学术论文120篇。

第1章导言

1.1关于平坦时空

1.2关于张量及其协变性

1.3关于张量的协变微分学

1.4博士生的“幼稚”提问

1.5前辈数学力学家的疑惑

1.6协变微分学的局限性

1.7协变形式不变性

1.8从协变微分学到协变变分学

上篇平坦空间中的协变微分学与广义协变微分学

第2章自然标架与自然基矢量的Ricci变换
2.1自然坐标下矢径微分中的不变性

2.2逆变基矢量

2.3度量张量分量

2.4基矢量的指标变换

2.5协变基矢量的坐标变换

2.6逆变基矢量的坐标变换

2.7度量张量的杂交分量

2.8统一的Ricci变换

2.9度量张量的两点分量

2.10本章注释

第3章分量与广义分量的Ricci变换

3.1矢量的分解式

3.2矢量分解式中的广义对偶不变性

3.3矢量分解式中的表观形式不变性

3.4矢量的Ricci变换群

3.5张量分解式中的不变性与Ricci变换群

3.6广义分量概念

3.7张量的杂交分量

3.8杂交广义分量

3.9本章注释

广义协变导数与平坦时空的协变形式不变性
目录

第4章分量的协变导数

4.1从矢量场的偏导数到矢量分量的协变导数

4.2从张量场的偏导数到张量分量的协变导数

4.3经典协变导数的协变性

4.4度量张量分量的普通偏导数和经典协变导数

4.5分量之积的协变导数定义式

4.6类组合模式与经典协变导数的代数结构

4.7第二类组合模式

4.8矢量分量的杂交协变导数

4.9张量杂交分量的协变导数

4.10度量张量的杂交分量的协变导数

4.11张量杂交分量之积的杂交协变导数

4.12经典协变导数中的结构模式

4.13经典协变导数的概念生成模式

4.14再看经典协变导数的协变性

4.15普通偏导数的非协变性

4.16指标概念的补充分类

4.17Christoffel符号的进一步分析

4.18杂交Christoffel符号的进一步分析

4.19再看杂交Christoffel符号下指标的非对称性

4.20不易察觉的陷阱

4.21协变导数的代数结构再分析

4.22本章注释

第5章广义分量的广义协变导数

5.1矢量分量协变导数的延拓

5.2张量分量协变导数的延拓

5.3协变形式不变性公设

5.4杂交广义协变导数求导指标的变换关系

5.5广义分量之积的广义协变导数定义式

5.6类组合模式与Leibniz法则

5.7第二类组合模式

5.8矢量实体的广义协变导数

5.9标量场函数的广义协变导数

5.10张量实体的广义协变导数

5.11度量张量行列式及其根式之广义协变导数的定义式

5.12 广义协变导数的代数结构

5.13协变微分学中的量系及其分类

5.14本章注释

第6章广义协变导数的微分不变性质

6.1广义协变导数的基本微分不变性质

6.2协变微分不变式

6.3有潜在物理意义的协变微分不变式

6.4协变微分变换群

6.5协变微分变换群的诸等价形式

6.6度量张量的协变导数计算式

6.7广义协变导数的协变性

6.8Eddington张量的协变导数计算式

6.9度量张量行列式及其根式的协变导数的计算式 

6.10本征协变微分不变式之值

6.11协变微分变换群下的协变微分不变量

6.12协变微分变换群下的推论与特例

6.13本章注释

第7章广义协变导数的积分不变性质

7.1协变微分变换群下的微分不变量回顾

7.2积分定理： 从直线坐标系到曲线坐标系的推广

7.3积分定理： 曲线坐标系下的极限逼近

7.4积分定理： 微分不变量之关联的妙用

7.5“事后诸葛”式的追问

7.6梯度定理

7.7散度定理

7.8旋度定理

7.9Stokes定理(广义环量定理)

7.10Green积分定理

7.11本章注释

第8章高阶广义协变导数

8.10指标广义分量的二阶广义协变导数

8.21指标广义分量的二阶广义协变导数

8.32指标广义分量的二阶广义协变导数

8.4平坦空间的对称性

8.5二阶的协变微分不变式

8.6二阶的协变微分不变量与偏微分不变量之关系

8.7二阶的协变微分不变量与基本微分不变量之关系

8.8三阶的协变微分不变量与基本微分不变量之关系

8.9与二阶不变量微分算子对应的广义Gauss积分定理

8.10物理学和力学中的二阶不变量微分算子

8.11与二阶微分算子对应的Green积分定理

8.12本章注释

第9章平坦空间中的广义协变微分

9.1场函数的Taylor级数展开与张量的经典微分概念

9.2矢量分量的经典协变微分

9.3张量分量的经典协变微分

9.4张量杂交分量的经典协变微分

9.5协变形式不变性公设

9.6广义分量之广义协变微分的公理化定义式

9.7广义协变微分定义式中的基本组合模式

9.8广义协变微分定义式中的类组合模式和Leibniz法则

9.9广义协变微分定义式中的第二类组合模式

9.10矢量实体的广义协变微分

9.11张量实体的广义协变微分

9.12张量之积的广义协变微分

9.13度量张量行列式之根式的广义协变微分

9.14广义协变微分的代数结构

9.15协变微分变换群

9.16度量张量的广义协变微分之值

9.17广义协变微分的协变性

9.18Eddington张量的广义协变微分之值

9.19有趣的结果

9.20本章注释

第10章协变微分学的结构

10.1上篇的脉络

10.2协变微分学的基本图式

10.3历史的借鉴

10.4关于协变微分变换群的运动学含义

10.5关于变换群下的不变性

10.6关于Bourbaki学派的思想

10.7下篇展望

下篇平坦空间中的协变变分学和广义协变变分学

第11章Euler描述下平坦空间本征几何量的物质导数
11.1Euler描述

11.2Euler基矢量的定义

11.3Euler描述下物质导数的定义

11.4物质点的速度与连续体上分布的速度场

11.5关于隐态函数的一般性命题

11.6物质点处Euler基矢量的物质导数

11.7物质点处度量张量分量的物质导数

11.8度量张量杂交分量的物质导数

11.9物质点处度量张量行列式及其根式的物质导数

11.10有关Euler基矢量的命题

11.11Christoffel符号的物质导数

11.12本章注释

第12章Euler描述下分量对时间的狭义协变导数

12.1矢量分量对时间t的协变导数

12.2对时间t的协变导数与全导数之关系

12.3张量分量对时间的协变导数

12.4度量张量分量对时间参数的协变导数

12.5张量的杂交分量对时间的协变导数

12.6度量张量的杂交分量对时间参数的协变导数

12.7对时间的狭义协变导数与时间域上的联络概念

12.8本章注释

第13章Euler描述下广义分量对时间的广义协变导数

13.1对称性的破缺

13.2时间域上的协变形式不变性公设

13.31指标广义分量对时间的广义协变导数定义式

13.42指标广义分量对时间的广义协变导数定义式

13.5杂交广义分量对时间的广义协变导数定义式

13.6广义协变导数t(·)中的基本组合模式

13.7基本组合模式的统一表达式

13.8广义协变导数t(·)中的类组合模式和代数结构

13.9广义协变导数t(·)中的第二类组合模式

13.10实体量对时间的广义协变导数

13.11度量张量行列式及其根式对时间的广义协变导数

13.12时间域上的协变微分变换群

13.13协变微分变换群应用于度量张量分量

13.14变换群应用于Eddington张量

13.15变换群应用于度量张量行列式之根式

13.16与Euler基矢量相关的一般性命题

13.17对时间的广义协变导数的协变性

13.18对称性的修复

13.19有趣的现象

13.20Euler时空上的高阶广义协变导数

13.21本章注释

第14章Euler描述下的广义协变变分

14.1Euler描述下场函数对时间的Taylor级数展开

14.2矢量分量的狭义协变变分

14.3张量分量的狭义协变变分

14.4张量杂交分量的狭义协变变分

14.5协变形式不变性公设

14.6广义分量之广义协变变分的公理化定义式

14.7广义协变变分中的基本组合模式

14.8广义协变变分中的类组合模式和Leibniz法则

14.9广义协变变分中的第二类组合模式

14.10矢量实体的广义协变变分

14.11张量实体的广义协变变分

14.12张量之积的广义协变变分

14.13度量张量行列式之根式的广义协变变分

14.14广义协变变分的代数结构

14.15协变变分变换群

14.16度量张量的协变变分之值

14.17广义协变变分的协变性

14.18Eddington张量的广义协变变分之值

14.19度量张量行列式及其根式的广义协变变分之值

14.20微分/变分运算顺序的不可交换性

14.21Euler描述下的虚位移概念

14.22本章注释

第15章Lagrange描述下空间本征几何量的物质导数

15.1Lagrange描述

15.2Lagrange描述下物质导数的定义

15.3物质点的速度与连续体上的速度场

15.4Lagrange基矢量的物质导数

15.5度量张量的Lagrange分量的物质导数

15.6度量张量的Lagrange杂交分量的物质导数

15.7度量张量行列式及其根式的物质导数

15.8Christoffel符号的物质导数

15.9奇特的“现象”

15.10本章注释

第16章Lagrange描述下分量对时间的狭义协变导数

16.1矢量的Lagrange分量对时间t^的狭义协变导数

16.2张量的Lagrange分量对时间参数t^的狭义协变导数

16.3度量张量的Lagrange分量对时间参数t^的狭义协变导数

16.4张量的Lagrange杂交分量对时间t^的狭义协变导数

16.5度量张量的Lagrange杂交分量对时间t^的狭义协变导数

16.6赝分量

16.7赝广义分量

16.8本章注释

第17章Lagrange描述下广义分量对时间的广义协变导数

17.1对称性的破缺

17.2Lagrange时间域上的协变形式不变性公设

17.31指标广义分量对时间的广义协变导数定义式

17.42指标广义分量对时间的广义协变导数定义式

17.5杂交广义分量对时间的广义协变导数定义式

17.6广义协变导数t^(·)中的类组合模式与代数结构

17.7第二类组合模式

17.8实体量对时间的广义协变导数 

17.9度量张量行列式及其根式对时间的狭义协变导数

17.10动态Lagrange空间域上的广义协变导数m^(·)

17.11时间域上的协变微分变换群

17.12协变微分变换群应用于度量张量

17.13协变微分变换群应用于度量张量的杂交分量

17.14协变微分变换群应用于Eddington张量

17.15协变微分变换群应用于g^

17.16与Lagrange基矢量相关的一般性命题

17.17广义协变导数t^(·)的协变性

17.18对称性的修复

17.19有趣的现象

17.20Lagrange时空上的高阶广义协变导数

17.21本章注释

第18章Lagrange描述下的广义协变变分

18.1Lagrange描述下场函数对时间的Taylor级数展开

18.2矢量的Lagrange分量的狭义协变变分

18.3张量的Lagrange分量的狭义协变变分

18.4张量的Lagrange杂交分量的狭义协变变分

18.5协变形式不变性公设

18.6Lagrange广义分量的广义协变变分及其公理化定义式

18.7广义协变变分中的基本组合模式

18.8广义协变变分中的类组合模式和Leibniz法则

18.9广义协变变分中的第二类组合模式

18.10矢量实体的广义协变变分

18.11张量实体的广义协变变分

18.12张量之积的广义协变变分

18.13度量张量行列式之根式的广义协变变分

18.14广义协变变分的代数结构

18.15协变变分变换群

18.16度量张量的广义协变变分之值

18.17广义协变变分的协变性

18.18Eddington张量的广义协变变分之值

18.19度量张量行列式及其根式的广义协变变分之值

18.20Lagrange描述下微分/变分运算顺序的可交换性分析

18.21Lagrange描述下的虚位移概念

18.22本章注释

第19章协变变分学的结构

19.1Euler空间域上的协变微分学图式

19.2Euler时间域上的协变变分学图式

19.3Lagrange空间域上的协变微分学图式

19.4Lagrange时间域上的协变变分学图式

19.5Euler时空与Lagrange时空的统一性

19.6局部化的观点看张量的协变变分学

19.7从微分学的协变性到变分学的协变性

19.8再看协变性概念的生成模式

19.9后续发展展望

参考文献

力学研究者都要研习张量分析。但很少有人知道，张量分析是爱因斯坦给起的“名字”。张量分析的前身是协变微分学。
如果问： 协变微分学中，漂亮、深刻的思想是什么？答案见仁见智，作者倾向于“协变性思想”。从Gauss，Riemann，Beltrami，Christoffel，Lipschitz，Ricci到LeviCivita，历经伟大先驱们的千锤百炼，协变性思想逐步走向成熟。然而，协变性思想虽然经典，但仍然存在令人难以察觉的细微局限性。其后果是，当我们应用协变微分学于力学研究时，往往陷入巨量计算的泥沼。那么，如何克服局限性？能否免于海量计算？在本专著中，作者将与大家一起，分享研究心得，探索数学力学的新疆界。
经典协变性思想中细微的局限性，是被博士生的疑问“引爆”的。2012年秋季学期，作者给研究生们开设张量分析课程。课堂上，博士生提出了一个看似非常幼稚的问题： “为什么基矢量没有协变导数？”作者回答： “协变导数是针对张量分量定义的概念。”随后又补了一句： “基矢量的协变导数没有定义。”这样的答复中规中矩，令人满意。然而，作者怎么也没想到，正是这个不起眼的疑问，暴露出了经典协变性思想的缺陷——经典协变微分学，只是张量分量的协变微分学。
我们常说“数量”。其实，“数”和“量”可以分开看。“数”有“数系”，即“数的系统”。类似地，“量”有“量系”，即“量的系统”。张量分析的量系构成了庞大集合，而分量仅仅是其中的一个子集。因此，张量分量的协变微分学，就是这个子集中的协变微分学。
本专著的主要目标，就是把经典协变性思想，拓展为广义协变性思想，把经典协变微分学，拓展为广义协变微分学。非常幸运，目标达成了。
当然，达成目标并非易事。作者深信古人的智慧： “磨刀不误砍柴工”。于是，殚精竭虑，打造了两件趁手“利刃”——一是定义了广义分量概念，意图重塑张量分析的量系； 二是抽象出了协变形式不变性公设，意图将广义协变微分学奠定在公理化思想的基础之上。读者可以体验一下： 

广义协变导数与平坦时空的协变形式不变性
前言

握紧了这两把利刃，你就会有势如破竹的信心和勇气。
读者也许会问： “广义协变微分学，能带来什么好处？”好处很多，但这里只说其中一个——让张量分析变得致精致简。作者自己做研究生时，被张量分析的优美和深刻深深地吸引，但其中繁杂的计算令人不胜其烦。请教老师： 如何应对是
好？老师回答： 没招儿，只能死算。顾名思义，“死算”就是“往死里算”之意。如此美丽的理论体系，却建立在“死算”的基础之上，实在有美中不足之感。作者的看法是，基础科学发展，计算虽不可或缺，“死算”当尽力避免。很幸运，广义协变微分学绕开了“死算”的沼泽，完美地实现了“用观念代替计算”。
这里要解释一下。名言“用观念代替计算”的“专利”属于狄利克雷。狄利克雷曾这样称赞Gauss： “他一生努力的目标，都是用观念代替计算”。狄利克雷的看法是，有的数学家通过复杂运算开辟新道路，有的数学家则通过构建观念体系发现新数学。Gauss是后者的杰出代表。知Gauss者，狄利克雷也。听一个高手评价另一个高手，总能令人受益匪浅。
专著的后半部分被冠以“协变变分学”。协变变分学与协变微分学，只有一字之差。读者肯定会意识到： 协变变分学肯定是跟着协变微分学“学的”。你猜对了，协变变分学确实是照猫画虎的产物。作者正是把协变微分学作为“临摹”对象，一点一滴地“塑造”出了协变变分学。
作者十分敬仰伟大先驱们创造的协变微分学。在“千鉴赏，万揣摩”的过程中，作者发现了一点不足： 张量的协变微分学，主要是“空间”上的协变微分学，“时间”好像被忽视了。
力学研究者一定要熟悉空间。理由很简单： 力学研究物质的运动，而任何运动都发生在特定的空间中，一定要受到空间形式的制约。另一方面，我们所研究的运动，既包括空间上的物质运动，也包括物质空间自身的运动。要刻画物质运动规律，仅有空间是不够的，还必须有时间。
有一天，作者向前辈力学家武际可先生汇报研究进展，费了很大的劲，啰嗦了半天，终于把上述见解阐释清楚了。没想到武先生轻描淡写地讲了一句话： “力学研究空间上的场，但这场函数是带参数的。”听了这一句话，顿开茅塞！当参数取为时间变量时，我啰嗦了半天的内容，瞬间就被一句话概括了。
聪明的读者肯定知道作者下面想说什么了： 空间中，伟大先驱们发展了协变性思想，创作了协变微分学的“画卷”。既然空间和时间形影不离，那么，时间中，有没有类似动人心弦的“画面”呢？凭直觉，作者觉得答案是肯定的。于是，小心翼翼地追寻着先驱们的足迹，模仿着他们在空间中创作的“画作”，描绘出了时间中的“画面”，完成了协变变分学的塑造。虽然有照猫画虎之嫌，但在作者的内心深处，确有向伟大先驱们致敬之意。
作者“胆敢”塑造协变变分学，信心来自哈代的名言。哈代有名言： “数学家与雕塑家和文学家没什么差别，都是造型师。”在哈代看来，数学是可以被塑造的。哈代的观点可以推广到数学力学。作者这样理解： 数学力学规律的内容虽然是客观的，但表达自然规律的形式却是可以塑造的。
既然协变变分学是可以“塑造”的，那就必然会揉入主观性的因素（例如个人的好恶）。这就涉及一个根本问题： 塑造出来的协变变分学，是客观实在吗？作者的答案是肯定的。作者期待，读者在阅读了本专著之后，也能给出肯定的答案。
（广义）协变变分学与（广义）协变微分学，思想是完全一致的，理论体系的结构也是完全对称的。读者理解了（广义）协变微分学，就会毫不费力地理解（广义）协变变分学。
（广义）协变性思想的用武之地是卷曲空间。但限于篇幅，本专著只涉及平坦空间，后继专著再论及卷曲空间。
作者期待聆听读者对本专著的评论和指教。

殷雅俊
2020年1月