非静压水波模型理论及应用

水波理论以其发展历史为脉络，经历了线性水波、非线性水波研究的进阶之路。水波问题的研究成果丰硕，水波理论和模型多样。各种水波模型的差异性来自于不同的建模理论基础，而不同的理论框架限制着不同水波模型的适用性。非静压模型是静压模型的推广，即舍弃了静压假定这一限制条件。非静压模型从提出伊始，即作为静压模型应用范围的拓广，主要应用在水波运动的数值模拟，如海岸带波浪演化等问题的研究。本书结合作者多年来关于非静压模型开发的研究工作，系统地总结了非静压模型20余年的发展，梳理了理论基础，概括了模型的适用条件，主要内容包括：水波模型简介，非静压水波模型的理论基础、数值求解、校验、数值求解问题分析和在高精度数值模拟中的应用等方面，以期为相关研究者提供参考。

 

非静压水波模型通常被视为对浅水长波方程所满足的静压模型的一种修正，在经典水波理论及其数学模型的论述中鲜有提及。本书内容可概括为三部分，首先从水波运动的理论角度，梳理非静压水波模型相关的理论基础，辨明其与浅水长波的静压模型的差异性。其次，针对非静压水波模型通常采用的预估校正数值方法，阐述非静压模型与浅水长波的静压模型在数值求解过程中的内在关联。后从应用角度阐述及验证了非静压模型的适用性，其不仅适用于海岸带的波浪运动的数值模拟，也适用于复杂边界约束条件下带自由表面的水流运动、流固耦合运动等的数值模拟。

本书力图阐明非静压水波模型的理论基础、验证数值方法的可靠性、分析模型的适用性，希望为非静压水波模型的拓广应用添砖加瓦。

第１章　绪论

１.１　水波模型简介

１.２　静压水波模型

１.３　非静压水波模型

１.４　小结

第２章　非静压水波模型的理论基础

２.１　流体中的压力

２.２　水波理论简述

２.２.１　波动方程

２.２.２　微幅波简述

２.３　浅水长波

２.３.１　浅水长波特性

２.３.２　浅水长波控制方程

２.４　Boussinesq方程

２.５　非静压模型的描述

２.５.１　纳维斯托克斯方程及湍流模拟概述

２.５.２　非静压模型的建立

２.５.３　动压项引入的色散效应

２.６　非静压模型的数值求解

２.６.１　控制方程组的封闭

２.６.２　压力求解的迭代修正法

２.６.３　非静压模型数值求解的预估校正法

第３章　非静压模型的数值求解

３.１　自由表面捕捉方法

３.１.１　自由表面捕捉的MAC数值方法

３.１.２　自由表面捕捉的VOF法

３.１.３　自由表面捕捉的间接模拟方法

３.２　坐标变换

３.２.１　变动计算域的模拟方法简述

３.２.２　σ 坐标变换

３.２.３　σ 坐标变换的讨论

３.２.４　σ 坐标系中水平扩散项的计算

３.３　非静压模型的数值求解

３.３.１　计算网格及变量布置

３.３.２　控制体界面的局部坐标系及其度量

３.３.３　非结构网格基础上的散度计算

３.３.４　非结构网格的TVD数值离散格式

３.３.５　梯度计算的小二乘法

３.３.６　格心（CC）格式的单元界面的速度修正

３.３.７　σ 坐标系下非静压模型的控制方程

３.３.８　非静压模型数值求解的预估校正法

第４章　非静压模型数值求解方法校验

４.１　计算网格生成

４.２　数值算法验证

４.２.１　半隐式数值离散格式校验

４.２.２　TVD数值离散格式验证

４.２.３　行波模拟能力验证

４.３　非静压模型有效性校验

４.３.１　深水驻波验证

４.３.２　孤立波验证

４.３.３　非线性波越潜坝的数值模拟

４.３.４　地形陡变条件下带自由表面流动的模拟

４.３.５　孤立波绕方柱的波面演化

４.３.６　弯曲河道环流的模拟验证

第５章　非静压模型的不同形式及数值求解问题分析

５.１　垂向不同分层数的非静压模型

５.１.１　垂向的多层模型

５.１.２　水深积分的单层模型

５.１.３　水深积分的垂向两层模型

５.２　动压场的数值求解

５.２.１　垂向网格粗化的动压求解方法

５.２.２　动压场离散化控制方程组的数值求解

５.２.３　区域划分的非静压模型数值求解

５.３　破碎波的数值模拟

５.３.１　简述

５.３.２　滚波模型

５.３.３　人工黏性耗散模型（artificial eddy viscosity）

５.３.４　非静压模型的模式分裂法模拟破碎波

５.３.５　流动间断捕捉法模拟破碎波

５.３.６　非静压模型模拟破碎波的算例验证

第６章　非静压模型在高精度数值模拟中的应用

６.１　带自由表面水流绕结构物的数值模拟

６.２　非静压模型结合分离涡湍流模式的高精度模拟

６.２.１　分离涡湍流模型

６.２.２　分离涡湍流模型的“灰区”问题

６.２.３　高精度数值格式的影响

６.３　非静压模型在高精度湍流运动模拟中的应用

６.３.１　平板边界层数值模拟

６.３.２　非平底明渠水流的高精度模拟

６.３.３　非静压模型用于结构物局部绕流的精细化模拟

６.４　小结

参考文献

索引

后记

绿树掩映下，微风吹拂湖面，生成片片涟漪，热带气旋掠过海面，引起了惊涛骇浪，虽然感观各异，但这些水流运动均可归结为带自由表面的水波运动。水波运动的研究历史悠长，吸引了众多数学家、物理学家、力学家为之奋斗。水波运动的研究也助推了某些相关科学问题的研究，其中著名的当属孤立波的研究。孤立波的研究首先来源于水波运动的观察及探究，继而推动了非线性科学的发展，即孤立子理论。孤立子起源于孤立波，并已在非线性光学、生物学、等离子体及光纤孤立子通信等一系列高科技领域有了令人瞩目的应用。

水波理论以其发展历史为脉络，经历了线性水波、非线性水波研究的进阶之路。水波问题的研究成果丰硕，其中不乏经典著作。水波理论多种多样，理论模型各异，往往使初学者眼花缭乱。分析各水波模型的差异性，大体上表现在两个方面，其一为对波动非线性特征的描述精度，其二为对波动色散性特征的描述精度。水波各模型的差异性也受到当时科技水平的限制，包括数学分析手段、计算技术的先进性等。水波模型的发展及应用除受基础理论的发展水平限制以外，为满足实际工程应用的需求，水波模型的提出及发展还具有针对性。工程需求往往带有针对性、时效性，在认知水平有限、技术条件掣肘的情况下，为了适应急迫的工程需求，研究者发展出的水波模型也具有针对性。因此，各类水波模型往往需要注重计算效率与计算精度的有机结合。

浅水长波模型因其特定的理论基础及广阔的适用条件，在众多水波模型中受到了广泛的关注及应用。浅水长波模型的缺陷明显，为提高模型的模拟能力，众多研究者提出了若干修正模型，其中著名的当属布西内斯克（Boussinesq）方程。同样以提高浅水长波模型对波动色散性的模拟能力为目标，非静压模型的建模思路不同于布西内斯克方程，它理论上属于纳维斯托克斯（Navier-Stokes）方程，数值求解采用压强分裂技术，即将流动压强分为静压和非静压两部分。非静压模型的提出是继静压模型之后，其较早的数值求解方法借鉴了静压模型的相关技术，故称其为非静压模型，凸显了其模型特点及其发展历程。

非静压模型主要是数值求解过程，并不能称其为一种严格的理论模型，称为水波的数值求解模式似乎更为恰当。非静压模型的理论基础是纳维斯托克斯方程，较之传统的纳维斯托克斯方程的数值求解，差别仅在于对压强的分裂。总压强分裂出的静压成分具有特定的物理含义，而不仅仅是计算过程中的预估流场值。同时，在自由表面捕捉等方面，借助垂向坐标变换等技术，计算效率有所提高。非静压模型虽然起源于静压水波模型，但其应用范围可以拓展至静压假定不再成立的任何自由表面水流运动的数值模拟，如地形陡变条件下的明渠流动、水流绕结构物流动、水下射流、变密度流动等的数值模拟。总体而言，非静压模型属于一种小众的水波模型，有其特殊的适用性。合理发挥模型的长处，可为海洋、海岸、河口、河流、湖泊等带自由表面水流运动的研究提供一种数值模拟的技术手段。

本书旨在尽可能系统地总结非静压模型二十余年的发展，梳理其理论基础，概括模型的适用条件，明确其优势所在，并结合笔者多年来关于非静压模型开发的研究经验，将其形诸笔端。相关研究工作受到了如下项目的资助：国家自然科学基金“海上风力机支撑结构局部冲刷的动力机制及基于流动控制的防冲刷技术研究”；国家自然科学基金重点项目“海啸力学及其在南中国海的应用”；国家重点研发计划“超大型海上风电机组整机、部件、基础一体化设计技术”。本书的出版得到了上海交通大学刘桦教授的大力支持，笔者由衷地表示感谢。多年来笔者所指导的研究生们也在相关工作中付出了辛勤的汗水，在此表示真挚的谢意。

本书并非水波理论基础的论著，仅限于一类带自由表面波动的数值模拟方法的研究。若能以绵薄之力为相关研究工作添砖加瓦，将甚感欣慰。鉴于笔者学识有限，认识及实践工作中难免存在偏颇之处，敬请读者指正。