考研数学2022 中公2022考研数学考前冲刺5套卷（数学一）（新大纲）

《中公版·2022考研数学：考前冲刺5套卷（数学一）（新大纲）》本书具有以下特色：
一、依据2022新大纲，突出命题重点
本书的试卷严格按照2022年考研数学一新大纲的要求研发，题型、题量及试题难度均与新大纲保持一致。每套试卷的答案解析侧重剖析试题精髓，重点突出核心考点，尤其每个题目都包含【思路点拨】，帮助考生熟悉题目考点，厘清解题思路，做到举一反三，针对薄弱知识进行提升。
二、一套一册装订，方便考生自测。
本书每一套冲刺试卷和答案解析装订成一册，共5套题，方便考生携带练习，模拟考场进行自检自测，给考生身临其境的感觉。
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《中公版·2022考研数学：考前冲刺5套卷（数学一）（新大纲）》考研数学（一）试卷包含高等数学、线性代数、概率论与数理统计三个科目，试卷共150分，其中高等数学分值约占总分的60%，线性代数约占20%，概率论与数理统计约占20%。试卷题型包含选择题10道，填空题6道，解答题（包括证明题）6道。
本书专为参加2022年考研数学（一）的考生量身定做，全书共包括5套考前冲刺试卷，每套试卷的题型、题量和难易程度均与大纲保持一致。每道题目均包含【思路点拨】和【解析】，思路点拨指出本题的核心考点及解题突破口和基本步骤，题目解析详细严谨、思路清晰，有助于考生做一道题会一类题，个别题目为一题多解，帮助考生拓展解题思路，积累解题方法。

2022年全国硕士研究生招生考试数学（一）考前冲刺试卷1

2022年全国硕士研究生招生考试数学（一）考前冲刺试卷2

2022年全国硕士研究生招生考试数学（一）考前冲刺试卷3

2022年全国硕士研究生招生考试数学（一）考前冲刺试卷4

2022年全国硕士研究生招生考试数学（一）考前冲刺试卷5

　　　　数学（一）
　　　　（科目代码：301）
　　　　考前冲刺试卷1
　　　　题型选择题填空题解答题总计
　　　　分值（分）503070150
　　　　自测（分）
　　　　2022年全国硕士研究生招生考试
　　　　数学（一）考前冲刺试卷1
　　　　一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
　　　　（1）limt→03(cos t-e-t22)t4=（ ）
　　　　（A）0。（B）-14。
　　　　（C）-18。 （D）-112。
　　　　（2）设函数f（x）在［a，b］上连续，且0　　　　∫xa1f(t)dt ∫bxf(t)dt=0在（a，b）内的根有（）
　　　　（A）0个。（B）1个。
　　　　（C）2个。（D）无穷多个。
　　　　（3）函数项级数∑∞n=1(3x 2)nn的收敛域为（）
　　　　（A）（-1，1）。（B）-13,13。（C）-1,-13。（D）-1,-13。
　　　　（4）设直线L为2x-y 3z 3=0,x y-2z 1=0,平面Π为3x-21y-9z-2=0，则（）
　　　　（A）L平行于Π。（B）L垂直于Π。
　　　　（C）L在平面Π上。（D）L与平面Π相交但不垂直。
　　　　（5）设A是n阶可逆方阵（n≥2），A*是A的伴随矩阵，则（A*）*＝（）
　　　　（A）An＋1A。（B）An-1A。
　　　　（C）An＋2A。（D）An-2A。
　　　　（6）设A=111131111,B=200030000，则矩阵A和B（）
　　　　（A）合同且相似。（B）合同不相似。
　　　　（C）相似不合同。（D）既不相似，也不合同。
　　　　（7）设α1，α2，α3，α4，β都是四维列向量，A＝（α1，α2，α3，α4），非齐次线性方程组Ax=β有通解kξ η=k(2,1,0,-1)T (3,-1,2,1)T，其中k为任意常数，则下列关系式中不正确的是（）
　　　　（A）β-3α1 α2-2α3-α4=0。（B）β 52α2-2α3-52α4=
　　　　0。
　　　　（C）α1-α2＋2α4-β＝0。（D）β-5α1-2α3=
　　　　0。
　　　　（8）已知X的分布函数为F(x)，概率密度为f(x)，a为常数，则下列各函数中不一定能作为随机变量概率密度的是（）
　　　　（A）f(x a)。（B）f(-x)。
　　　　（C）af(ax)。（D）2f(x)F(x)。
　　　　（9）设随机变量X与Y均服从正态分布，其中X～N(μ,9),Y～N(μ,16)，记p1=P{X≥μ 3},p2=P{X≤μ-4}，则（）
　　　　（A）对任意实数μ，都有p1=p2。
　　　　（B）无论μ取任何实数，都有p1≠p2。
　　　　（C）对任意实数μ，都有p1>p2。
　　　　（D）对任意实数μ，都有p1　　　　（10）设X1，X2，…，Xn是取自正态总体N(μ,σ2)的简单随机样本，X是样本均值，S2是样本方差,则n(X-μ)2σ2 (n-1)S2σ2服从（）
　　　　（A）自由度为n-1的χ2分布。（B）自由度为n的χ2分布。
　　　　（C）自由度为n-1的t分布。（D）自由度为n的t分布。
　　　　二、填空题：11～16小题，每小题5分，共30分。
　　　　（11）设曲线y=x2 1(x>0)，过原点作其切线，则以曲线、切线及y轴所围平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的表面积为。
　　　　（12）向量场(2z-3y,3x z,4y-x)在点M(x,y,z)处的旋度rotA=。
　　　　（13）曲线积分I=∫AB(2xey y3sin x-2y)dx (x2ey-3y2cos x-2x)dy，其中曲线AB为圆x2 y2=4上位于象限的弧，即A(2,0)到B(0,2)的弧，则积分I=。
　　　　（14）方程y″-4y 3y′2=0(y≠3)的通解为。
　　　　（15）设四阶方阵A＝（α，γ2，γ3，γ4），B＝（β，γ2，γ3，γ4），其中α，β，γ2，γ3，γ4均为四维列向量，且
　　　　A=2，B=1，则A-4B=。
　　　　（16）已知随机变量X1与X2相互独立且分别服从参数为λ1,λ2的泊松分布，已知P{X1 X2>0}＝1-e-2，则E(X1 X2)2＝。
　　　　三、解答题：17～22小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
　　　　（17）（本题满分10分）
　　　　设f(x)连续，且∫x0tf(x t)dt=2x 1×2，已知f(2)=1。求积分∫21f(x)dx的值。
　　　　（18）（本题满分12分）
　　　　求幂级数∑∞n=0(-1)n2n 1x2n的收敛域及和函数，并求
　　　　∑∞n=0(-1)n2n 1·14n的和。
　　　　（19）（本题满分12分）
　　　　设函数f(x)在［a，b］上连续，在（a，b）内可导且f(a)≠f(b)，试证明存在η,ξ∈(a,b)，使得f′(ξ)3ξ2=f′(η)a2 ab b2。
　　　　（20）（本题满分12分）
　　　　计算曲面积分I=S2x3dydz 3y2dzdx，其中S是椭球面x2a2 y2b2 z2c2=1的上半部分的上侧。
　　　　（21）（本题满分12分）
　　　　设二次型f(x1,x2,x3)=xTAx=ax21 6×22 3×23-4x1x2-8x1x3-4x2x3，其中-2是二次型矩阵A的一个特征值。
　　　　（Ⅰ）求a的值；
　　　　（Ⅱ）试用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换。
　　　　（22）（本题满分12分）
　　　　设总体X服从［0,θ］上的均匀分布，X1,X2,…,Xn是来自总体X的一个简单随机样本，试求：
　　　　（Ⅰ）未知参数θ的矩估计量和似然估计量；
　　　　（Ⅱ）似然估计量是否为θ的无偏估计量，为什么？
　　　　2022年全国硕士研究生招生考试
　　　　数学（一）考前冲刺试卷1参考答案及解析
　　　　一、选择题
　　　　（1）【答案】B
　　　　本题考查00型未定式极限的求解。可用洛必达法则（结合等价无穷小替换）或泰勒公式来解答，泰勒公式对所求极限的要求较少，因此多数情况下均可用泰勒公式。
　　　　【解析】方法一：利用洛必达法则和等价无穷小替换求此极限，
　　　　原式=3limt→0-sin t te-t224t3=3limt→0-cos t e-t22-t2e-t2212t2
　　　　=3limt→01-cos t12t2 3limt→0e-t22-112t2-14
　　　　=3124-124-112=-14，
　　　　其中用到等价无穷小替换1-cos t~t22（t→0),e-t22-1~-t22(t→0)。故本题选B。
　　　　方法二：利用泰勒公式求此极限，首先
　　　　cos t=1-t22! t44! ο(t4)(t→0),e-t22=1 -t22 12!-t222 ο(t4)(t→0)，
　　　　上述两个泰勒公式相减，得
　　　　cos t-e-t22=14!-12!·14t4 ο(t4)=-112t4 ο(t4),
　　　　因此可得原式等于-14。故本题选B 。
　　　　（2）【答案】A
　　　　本题考查
　　　　方程根的个数的判断及变限积分求导。先判断F(x)=
　　　　∫xa1f(t)dt
　　　　∫bxf(t)dt在区间端点处的正负及函数在区间上的单调性，然后
　　　　判断根的个数。
　　　　【解析】设F(x)=∫xa1f(t)dt ∫bxf(t)dt，则F(x)在［a，b］上连续，且
　　　　F(a)=∫baf(t)dt>0，F(b)=∫ba1f(t)dt>0，
　　　　对F(x)求导可得F′(x)=1f(x)-f(x)>0，
　　　　因此F(x)在（a，b）上单调递增，F(x)在（a，b）内没有实根。故本题选A。
　　　　（3）【答案】C
　　　　本题考查求函数项级数的收敛域。令y=x 23，将原级数变形化简，利用比值审敛法求关于y的级数的收敛半径，结合端点处级数的敛散性得出收敛域，后再求出原级数的收敛域。
　　　　【解析】∑∞n=1(3x 2)nn=∑∞n=13n
　　　　x 23nn，令y=x 23，则原级数变为∑∞n=13nynn。因为
　　　　ρ=limn→∞an 1an=limn→∞3n 1n 1·n3n=3，
　　　　故R=13。又因为y=13时，∑∞n=11n发散；y=-13时，
　　　　∑∞n=1(-1)nn收敛，故∑∞n=13nynn的收敛域为-13,13，即y=x 23∈-13,13，x∈-1,-13，因此-1,-13是原函数项级数的收敛域。故本题选C。
　　　　（4）【答案】B
　　　　本题考查空间解析几何直线与平面的位置关系。分别求出直线的方向向量和平面的法向量，两向量对应分量成比例，则直线与平面垂直；两向量的数量积等于0，则直线平行于平面或在平面上。
　　　　【解析】直线L的方向向量为s=ijk2-1311-2=(-1,7,3)，
　　　　平面Π的法向量为n=(3,-21,-9)，因为3-1=-217=-93，因此直线L和平面Π垂直。故本题选B。
　　　　（5）【答案】D
　　　　本题考查伴随矩阵的性质。主要考查公式AA*＝AE和A*＝An-1。
　　　　【解析】根据公式AA*＝AE，可得（A*）（A*）*＝A*E，因此（A*）*＝A*（A*）-1。又因为A*＝An-1，（A*）-1＝AA，所以
　　　　（A*）*＝An-1AA＝
　　　　An-2A。
　　　　故本题选D。
　　　　（6）【答案】B
　　　　本题考查矩阵的相似与合同。两个实对称矩阵相似的充分必要条件是特征值相同，两个实对称矩阵合同的充分必要条件是正负特征值的个数相同。
　　　　【解析】因为
　　　　λE-A=λ-1-1-1-1λ-3-1-1-1λ-1=λ(λ-1)(λ-4)，
　　　　所以A的特征值为0,1,4。矩阵B的特征值为2，3，0。
　　　　两个实对称矩阵相似的充分必要条件是特征值相同，两个实对称矩阵合同的充分必要条件是正负特征值的个数相同。故本题选B。
　　　　（7）【答案】C
　　　　本题考查齐次线性方程组解的性质及通解的结构。利用解的性质写出解向量之间的关系式，结合线性相关的性质得出不论k取何值，等式中都不能缺少α3。
　　　　【解析】根据线性方程组有通解kξ η可知
　　　　β=(α1,α2,α3,α4)(kξ η)=(α1,α2,α3,α4)2k 3k-12-k 1
　　　　=(2k 3)α1 (k-1)α2 2α3 (-k 1)α4，
　　　　即β-(2k 3)α1-(k-1)α2-2α3-(-k 1)α4=
　　　　0，其中k是任意常数，可见α1，α2，α3，α4，β线性相关，上述线性组合为0的式子中不能没有α3，C选项没有α3，故C选项不正确。
　　　　当k＝0时A选项成立；k＝-32时B选项成立；k＝1时D选项成立。故本题选C。
　　　　（8）【答案】C
　　　　本题考查概率密度的基本性质，如果f(x)为概率密度函数，则f(x)≥0，∫ ∞-∞f(x)dx=1。
　　　　【解析】由题设可知f(x)为概率密度函数，故f(x)≥0，∫ ∞-∞f(x)dx=1。F(x)为分布函数，故F(x)≥0，从而f(x a)，f(-x)，2f(x)F(x)大于等于0，并且容易验证它们的积分等于1，而af(ax)在a<0时小于0，故不一定为概率密度函数。故本题选C。
　　　　（9）【答案】A
　　　　本题考查正态分布的标准化及标准正态分布的性质。先将题中的两个正态分布标准化，再利用正态分布的性质Φ(-x)=1-Φ(x)得出结论。
　　　　【解析】用Φ(x)表示标准正态分布N（0，1）的分布函数，则
　　　　p1=PX-μ3≥1=1-PX-μ3<1=1-Φ(1)，p2=PX-μ4≤-1=Φ(-1)。
　　　　由于Φ(-1)=1-Φ(1)，因此p1=p2，即对任意实数μ，都有p1=p2。故本题选A。
　　　　（10）【答案】B
　　　　本题考查χ2分布和t分布的定义和性质。题干所需判断的随机变量是由两部分组成的，可以分开判断，利用χ2分布或t分布的性质求自由度。
　　　　【解析】因为总体X～N(μ,σ2)，所以(n-1)S2σ2～χ2(n-1)。
　　　　又因为X～Nμ,σ2n，所以n(X-μ)σ～N(0,1)，n(X-μ)2σ2～χ2(1)。
　　　　由于X和S2独立，由χ2分布的可加性可得n(X-μ)2σ2 (n-1)S2σ2～χ2(n)。故本题选B。
　　　　二、填空题
　　　　（11）【答案】16(115-1)π
　　　　本题考查旋转体的表面积公式。求出曲线过原点的切线方程，然后分别求出切线和曲线绕y轴旋转所成旋转体表面积，两者