考研数学2022 中公2022考研数学考前冲刺5套卷（数学二）（新大纲）

《中公版·2022考研数学：考前冲刺5套卷（数学二）（新大纲）》本书具有以下特色：
一、依据2022新大纲，突出命题重点
本书的试卷严格按照2022年考研数学二新大纲的要求研发，题型、题量及试题难度均与大纲保持一致。每套试卷的答案解析侧重剖析试题精髓，重点突出核心考点，尤其每个题目都包含【思路点拨】，帮助考生熟悉题目考点，厘清解题思路，做到举一反三，针对薄弱知识进行提升。
二、一套一册装订，方便考生自测
本书每一套冲刺试卷和答案解析装订成一册，共5套题，方便考生携带练习，模拟考场进行自检自测，给考生身临其境的感觉。
三、扫码关注“中公考研在线”公众号，享受多样增值服务
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《中公版·2022考研数学：考前冲刺5套卷（数学二）（新大纲）》考研数学（二）试卷包含高等数学、线性代数两个科目，试卷共150分，其中高等数学分值约占总分的80%，线性代数约占20%。试卷题型包含选择题10道，填空题6道，解答题（包括证明题）6道。
本书专为参加2022年考研数学（二）的考生量身定做，全书共包括5套考前冲刺试卷，每套试卷的题型、题量和难易程度均与大纲保持一致。每道题目均包含【思路点拨】和【解析】，思路点拨指出本题的核心考点及解题突破口和基本步骤，题目解析详细严谨、思路清晰，有助于考生做一道题会一类题，个别题目为一题多解，帮助考生拓展解题思路，积累解题方法。

2022年全国硕士研究生招生考试数学（二）考前冲刺试卷1
2022年全国硕士研究生招生考试数学（二）考前冲刺试卷2
2022年全国硕士研究生招生考试数学（二）考前冲刺试卷3
2022年全国硕士研究生招生考试数学（二）考前冲刺试卷4
2022年全国硕士研究生招生考试数学（二）考前冲刺试卷5

　　　　数学（二)
　　　　（科目代码：302)
　　　　考前冲刺试卷1
　　　　题型选择题填空题解答题总计分值（分)503070150自测（分)
　　　　2022年全国硕士研究生招生考试
　　　　数学（二)考前冲刺试卷1
　　　　一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
　　　　(1)当x→0时，f(x)=x-sin ax与g(x)=x2ln (1-bx)是等价无穷小，则()
　　　　(A)a=1，b=-16。(B)a=1，b=16。
　　　　(C)a=-1，b=-16。(D)a=-1，b=16。
　　　　(2)f(x)=ln (1-x3)x·sin 1x， x<0，1-cos x，x≥0，则f(x)在x=0处()
　　　　(A)极限不存在。 (B)极限存在，但不连续。
　　　　(C)连续但不可导。(D)可导。
　　　　（3）曲线y=x2arctan1x 1xarctan x2的渐近线条数为（）
　　　　（A）0。（B）1。
　　　　（C）2。（D）3。
　　　　(4)设I=∫π40ln (sin x)dx，J=∫π40ln (cot x)dx，K=∫π40ln (cos x)dx，则I，J，K的大小关系为()
　　　　(A)I　　　　(C)J　　　　(5)具有特解y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex的三阶常系数齐次线性微分方程是()
　　　　(A)y-y″-y′ y=0。(B)y y″-y′-y=0。
　　　　(C)y-6y″ 11y′-6y=0。(D)y-2y″-y′ 2y=0。
　　　　(6)设f(x)和φ(x)在(-∞， ∞)上有定义，f(x)为连续函数，且f(x)≠0，φ(x)有间断点，则()
　　　　(A)φ［f(x)］必有间断点。(B)φ2(x)必有间断点。
　　　　(C)f［φ(x)］必有间断点。(D)φ(x)f(x)必有间断点。
　　　　(7)周期函数y=f(x)在(-∞， ∞)内可导，周期为4，且limx→0f(1)-f(1-x)2x=-1，则y=f(x)在点(5，f(5))处的切线斜率为()
　　　　(A)12。(B)0。(C)-1。(D)-2。
　　　　(8)下列矩阵中，A和B相似的是()
　　　　(A)A=100002000，B=102000000。
　　　　(B)A=210-1320-25，B=152-340234。
　　　　(C)A=10004000-2，B=20004000-3。
　　　　(D)A=110011001，B=11-1011001。
　　　　（9）设A为4阶矩阵，A=(α1,α2,α3,α4)，若Ax=0的基础解系为(1,2,-3,0)T，则下列说法中错误的是（）
　　　　（A）α1,α2,α3线性相关。
　　　　（B）α4可由α1,α2,α3线性表示。
　　　　（C）α1,α2,α4线性无关。
　　　　（D）α1可由α2,α3,α4线性表示。
　　　　(10)设二次型f(x1，x2，x3)=(x1 x2-2×3)2 ［-3×1 (a-1)x2 7×3］2 (x1 ax3)2正定，则参数a的取值范围是()
　　　　(A)a=-2。(B)a=-3。
　　　　(C)a>0。(D)a为任意值。
　　　　二、填空题：11～16小题，每小题5分，共30分。
　　　　(11)已知y=xsin x1-ex，则y′=。
　　　　(12)曲线x=cos t cos2t，y=1 sin t在t=π4对应点处的法线斜率为。
　　　　(13)∫π20xcos xdx=。
　　　　(14)设函数z=f(u)可微，且f′(2)=2，则z=f(x2 y2)在点(1，1)处的全微分dz(1，1)=。
　　　　(15)设z=xf(u) g(u)，u=yx，且f(u)及g(u)具有二阶连续导数，则x22zx2 2xy2zxy y22zy2=。
　　　　(16)设A=(x1，x2，x3)是三阶矩阵，且A=5，若B=(x1 2×2 3×3，x2-3×3，2×2 x3)，则B=。
　　　　三、解答题：17～22小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
　　　　(17)(本题满分10分)
　　　　求不定积分∫ln 1 1 xxdx(x>0)。
　　　　(18)(本题满分12分)
　　　　计算二重积分I=Dydxdy，其中D是由x轴、y轴与曲线xa yb=1围成的区域，其中a>0，b>0。
　　　　(19)(本题满分12分)
　　　　对任意的x，y,有fx2 fy2=4成立，用变量代换x=uv，y=u2-v22可将f(x，y)变换成g(u，v)。试求满足agu2-bgv2=u2 v2的常数a，b。
　　　　(20)(本题满分12分)
　　　　设函数f(x)在［0， ∞)上可导，f(0)=1，且满足等式
　　　　f′(x) f(x)-1x 1∫x0f(t)dt=0。
　　　　(Ⅰ)求导数f′(x)；
　　　　(Ⅱ)证明当x≥0时，不等式e-x≤f(x)≤1恒成立。
　　　　(21)(本题满分12分)
　　　　已知函数y=f(x)在［0，1］上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1。证明：
　　　　(Ⅰ)存在ξ∈(0，1)，使得f(ξ)=1-ξ；
　　　　(Ⅱ)在(0，1)内存在两个不同的点η，ζ，使得f′(η)f′(ζ)=1。
　　　　(22)(本题满分12分)
　　　　设A是三阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的三维列向量，且满足Aα1=-2α1-4α3，Aα2=α1 2α2 α3，Aα3=α1 3α3。
　　　　(Ⅰ)求矩阵A的特征值；
　　　　(Ⅱ)求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵。
　　　　2022年全国硕士研究生招生考试
　　　　数学（二）考前冲刺试卷1参考答案及解析
　　　　一、选择题
　　　　(1)【答案】A
　　　　本题考查等价无穷小。当x→0时，常用的等价无穷小有
　　　　x~sin x~arcsin x~tan x~arctan x~ln(1 x)~ex-1，
　　　　ax-1~x·ln a，(1 x)a-1~ax，
　　　　1-cos x~12×2，x-sin x~16×3。
　　　　【解析】本题可采用排除法。当x→0时，ln(1-bx)与-bx为等价无穷小，则
　　　　limx→0f(x)g(x)=limx→0x-sin axx2ln (1-bx)=limx→0x-sin axx2(-bx)
　　　　=limx→01-acos ax-3bx2=limx→0a2sin ax-6bx=limx→0a2sin ax-6ba·ax=-a36b=1，
　　　　所以a3=-6b，故排除B、C两项。
　　　　另外limx→01-acos ax-3bx2是存在的，即满足1-acos ax→0(x→0)，可得a=1，排除D项。
　　　　故本题选A。
　　　　(2)【答案】C
　　　　本题考查函数的极限、连续与可导的性质。函数在一点的极限、连续、可导均可由定义推导得出，也可以根据一些结论进行判断：
　　　　①limx→x0f(x)存在当且仅当limx→x-0f(x)与limx→x 0f(x)存在且相等；
　　　　②函数f(x)在点x0连续当且仅当limx→x-0f(x)=limx→x 0f(x)=f(x0)；
　　　　③函数f(x)在点x0可导当且仅当f′-(x0)=f′ (x0)。
　　　　【解析】limx→0 f(x)=limx→0 (1-cosx)=0=f(0),
　　　　limx→0-f(x)=limx→0-ln(1-x3)x·sin1x=limx→0–x2sin1x=0,
　　　　f′ (0)=limx→0 f(x)-f(0)x-0=limx→0 1-cos xx=12，
　　　　f′-(0)=limx→0-f(x)-f(0)x-0=limx→0-ln (1-x3)x2·sin 1x=-limx→0-xsin 1x=0，
　　　　f′ (0)，f′-(0)都存在。因为limx→0 f(x)=limx→0-f(x)=f(0)，所以f(x)在x=0处连续；但f′ (0)≠f′-(0)，所以f(x)在x=0处不可导。故本题选C。
　　　　（3）【答案】B
　　　　本题考查曲线渐近线的求法，渐近线包括水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线，垂直渐近线一般在间断点处取到。
　　　　【解析】函数可能的间断点是x=0，而
　　　　limx→0x2arctan1x 1xarctan x2=0，
　　　　所以不存在垂直渐近线。
　　　　又因为limx→∞x2arctan1x 1xarctan x2=∞，
　　　　所以不存在水平渐近线。
　　　　后求斜渐近线
　　　　k=limx→∞x2arctan1x 1xarctan x2x=limx→∞xarctan1x 1x2arctan x2=1，
　　　　b=limx→∞x2arctan1x 1xarctan x2-x=limx→∞x2arctan1x-x，
　　　　做变量替换，令x=1t，则原极限=limt→01t2arctan t-1t=limt→0arctan t-tt2=0，所以存在一条斜渐近线为y=x，故本题选B。
　　　　(4)【答案】B
　　　　本题考查定积分大小的比较。本题在计算过程中会用到定积分的比较定理，即设a≤b，f(x)≤g(x)(a≤x≤b)，则∫baf(x)dx≤∫bag(x)dx。
　　　　【解析】当0　　　　同时，又因为
　　　　J=∫π40ln (cot x)dx=∫π40ln (cos x)dx-∫π40ln (sin x)dx，
　　　　∫π40ln (sin x)dx<0，
　　　　所以
　　　　J=∫π40ln (cot x)dx>∫π40ln (cos x)dx=K。
　　　　综上可知，I　　　　(5)【答案】B
　　　　本题考查高阶常系数齐次线性微分方程。本题已知特解求三阶常系数齐次线性微分方程，考生可由题目已知的特解得到齐次微分方程的特征根，进而得到其特征方程，从而得到结果。
　　　　【解析】由y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex是所求三阶常系数齐次线性微分方程的三个特解可知，λ1=-1，λ2=-1，λ3=1是所求方程的三个根，其特征方程为(λ-1)(λ 1)2=0，即λ3 λ2-λ-1=0，其对应的微分方程为y y″-y′-y=0。故本题选B。
　　　　(6)【答案】D
　　　　本题考查函数的间断点。所谓间断点就是函数的不连续点，考生可以根据定义判断函数是否有间断点；也可以用反证法判断函数是否连续(若连续，则必无间断点；若不连续，则必有间断点)。
　　　　【解析】取f(x)=1，x∈(-∞， ∞)，φ(x)=1，x≥0，-1，x<0，则f(x)，φ(x)满足题设条件。由于φ［f(x)］=1，φ2(x)=1，f［φ(x)］=1都是连续函数，故可排除A、B、C三项。故本题选D。
　　　　(7)【答案】D
　　　　本题考查导数的几何意义。曲线y=f(x)在一点的切线斜率等于该点的导数，考生要想求出该点的导数，根据题目已知的条件再结合导数的定义即可得出结果。
　　　　【解析】因为y=f(x)在(-∞， ∞)内可导，且f(x)=f(x 4k)，其中k为整数，故有
　　　　f′(x)=f′(x 4k)。
　　　　取x=1，k=1可得，f′(1)=f′(5)。
　　　　又因为
　　　　limx→0f(1)-f(1-x)2x=-1，
　　　　所以
　　　　limx→0f［1 (-x)］-f(1)-x=-2，
　　　　因此f′(1)=f′(5)=-2。故本题选D。
　　　　(8)【答案】D
　　　　本题考查相似矩阵的性质。矩阵A和B相似的充分必要条件是存在可逆矩阵P，使得P-1AP=B。矩阵A和B相似的必要条件：①r(A)=r(B)；②A=B；③λA=λB；④tr(A)=tr(B)；⑤A和B的特征多项式相同。
　　　　【解析】A项，r(A)≠r(B)；B项，tr(A)≠tr(B)；C项，A≠B。由矩阵相似的必要条件可知，A、B、C三项错误。由排除法可知，本题选D。
　　　　实际上，对于D项，r(A)=3，特征值为1(三重)，r(A-E)=2；r(B)=3，特征值为1(三重)，r(B-E)=2,所以矩阵A和B相似。
　　　　（9）【答案】B
　　　　本题考查齐次线性方程组基础解系与系数矩阵列向量的关系，以及通过比较向量组的秩确定向量之间的关系。
　　　　【解析】Ax=0的基础解系为(1,2,-3,0)T，可知r(A)=3且α1 2α2-3α3=0，则α1,α2,α3线性相关，所以A项正确。
　　　　因为r(A)=3且α1,α2,α3线性相关，若α4可由α1,α2,α3线性表示，则
　　　　r(α1,α2,α3,α4)=r(α1,α2,α3)<3，
　　　　所以该选项错误，本题选B。
　　　　由于α3=13α1 23α2，可知α3能由α1,α2,α4线性表示，故
　　　　r(α1,α2,α4)=r(α1,α2,α3,α4)=3，
　　　　因此α1,α2,α4线性无关，所以C项正确。
　　　　由于α1=-2α2 3α3，可知α1可由α2,α3,α4线性表示，所以D项正确。
　　　　(10)【答案】D
　　　　本题考查正定二次型的判定。若要判断二次型正定，则应给出证明，常用的方法为二次型正定的定义或充分必要条件。二次型正定的定义：设有二次型f(x)=xTAx，如果对于任何x≠0，都有f(x)>0，则称f为正定二次型。二次型f(x)=xTAx正定的充分必要条件：①A的正惯性指数为n，其中n为向量x的维数；②A的特征值均大于0；③A与单位矩阵E合同；④存在可逆矩阵P，使得A=PTP；⑤A的所有顺序主子式全大于0。
　　　　【解析】方法一：f(x1，x2，x3)是平方和的形式，所以f(x1，x2，x3)≥0。
　　　　f(x1，x2，x3)=0x1 x2-2×3=0，-3×1 (a-1)x2 7×3=0