折纸几何学

数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门形式学科。

几何是研究空间结构及性质的一门学科，它是数学中*基本的研究内容之一。

由折纸艺术发展出来的折纸几何学，应用于很多领域，解决了很多实际问题。

本书用60多个实例，阐述了它们之间的关系，极具代表性。

 

数学是一门研究结构、数量、模式与形状的学问。尽管看似抽象，它已经影响了许多艺术创作，折纸设计就是其中一个门类。本书收录了折纸作家前川淳的作品约60个，介绍了一些形状特殊的折纸。所谓特殊，是指书中的作品与一般的折纸作品不同，不是建立在以形似某些物品或者动物为出发点进行创作的，而是一些相对规则的有些抽象的几何折纸类型。通过对这些作品的讲述让大家了解隐藏在折纸中的几何知识，探寻折纸与几何数学的关系。在接触这样动手做、结合艺术的折纸活动后，会对数学产生新的看法。通过阅读本书，会给读者提供不同的学习折纸与数学的方法。

“变格折纸”与“折叠几何学”…………………………………………… 9

图例（符号说明）…………………………………………………………12

难易度标识………………………………………………………………12

第１章  展开图折叠 ……………………………………………………13

1-0   关于展开图折叠与纸样……………………………………………14

1-1   中央开洞包装纸……………………………………………………16

1-2   立方半八面体………………………………………………………18

1-3   小十二面半十二面体………………………………………………20

1-4   正六边形截面立方体………………………………………………21

1-5   阳马…………………………………………………………………22

1-6   立方体二等分………………………………………………………24

1-7   立方体中的双曲抛物面……………………………………………26

1-8   扭棱立方体…………………………………………………………28

1-9   大十二面体外壳……………………………………………………30

1-10   地球仪  ……………………………………………………………31

1-11   星状多面体  ………………………………………………………32

1-12a   波浪………………………………………………………………34

1-12b   百重波……………………………………………………………35

1-13   爬虫  ………………………………………………………………36

1-14   联结纸鹤（新版·三合一纸鹤）……………………………………38

1-15   沙漏·棱柱…………………………………………………………40

1-16   正八面体盒子  ……………………………………………………42

1-17   方圆叠纸  …………………………………………………………44

1-18   截角二十面体与平面  ……………………………………………46

1-19   正四面体内接正八面体  …………………………………………48

1-20   双层螺线立方体  …………………………………………………50

1-21   笛卡尔坐标系  ……………………………………………………52

1-22   神明鸟居  …………………………………………………………54

1-23   丢勒多面体  ………………………………………………………56

1-24   树  …………………………………………………………………60

1-25   立方体内接正四面体  ……………………………………………62

1-26a   防波石……………………………………………………………64

1-26b   纸杯·四角防波块  ………………………………………………66

第2章  单元组合折纸……………………………………………………67

2-1   鱼立体………………………………………………………………68

2-2   鹤立体………………………………………………………………68

2-3   阿尔伯斯盒子………………………………………………………69

2-4   双子座………………………………………………………………70

2-5   正六边形截面盒子…………………………………………………71

2-6a   立体领结  …………………………………………………………72

2-6b   八分之四立方体  …………………………………………………73

2-7   领结…………………………………………………………………74

2-8   立匣体………………………………………………………………76

2-9   博罗梅安·立方……………………………………………………78

2-10   鹭草立方  …………………………………………………………79

2-11a   彩色铅笔格子立方体……………………………………………80

2-11b   猫眼立方体………………………………………………………81

2-12   鸟船风车立方体  …………………………………………………82

2-13   4片组合正四棱柱  ………………………………………………84

2-14   凹十二面体  ………………………………………………………86

2-15   正十二面体  ………………………………………………………88

2-16   带骨架正八面体  …………………………………………………90

2-17   星状八面体  ………………………………………………………92

2-18   交错分割立方体  …………………………………………………94

2-19   多刺立方体 ………………………………………………………96

第3章  小品集……………………………………………………………97

3-1   光盘包装……………………………………………………………98

3-2   伐里农信封  ………………………………………………………100

3-3   正八面体的四分之三  ……………………………………………102

3-4   截面立方体  …………………………………………………104

3-5   双螺旋  ……………………………………………………………106

3-6   六芒星  ……………………………………………………………108

3-7   人偶  ………………………………………………………………110

3-8   伏见立方  …………………………………………………………112

3-9a   全闭合的黄金盒子………………………………………………114

3-9b   顶面不闭合的黄金盒子…………………………………………115

3-10   四方蛋……………………………………………………………116

3-11   凹盒………………………………………………………………117

3-12   视错觉立方………………………………………………………118

3-13   表里等同正八面体骨架…………………………………………120

3-14   鱼升………………………………………………………………121

3-15   六边结……………………………………………………………122

后记…………………………………………………………………………124

“变格折纸”与“折叠几何学”

几年前，笔者曾经出版了一本叫作《本格折纸》的书（日文原名：《本格折り紙》——译者注），其后又出版了一本叫作《本格折纸√2》（《本格折り紙√2》）的书。前者主要介绍了用一张正方形纸不剪不贴进行造型的方法，但也加入了以“折纸还可以这样玩”为主题的章节，介绍了几款使用特殊纸张、多张纸或借助剪裁等方法完成的造型。而后者则介绍了使用A4纸等长方形纸张，即非正方形纸张的造型。

本书则为大家展现打破这些界限的折纸世界，也正是出于这样的想法，当初笔者曾想对应于《本格折纸》而把本书起名为“变格折纸”。

如果在日本的词典查“变格”这个词，可以找到“变格活用”这种用法，并将其解释说明为“偏离本来的格式、规则的情况”，但并不属于常用词汇。常见的将本格与变格对应使用的应该是第二次世界大战之前推理小说家甲贺三郎与梦野久作之间的争论。当时争论的焦点落在“本格推理小说”和“变格推理小说”之上。

对于折纸，所谓的“本格”应该是指“不剪不贴的单张正方形纸折叠”了。笔者个人非常喜欢这个原则，但也认为，如果仅把这一部分作为“本格”而把其他的称作“变格”，那可能会误导大家对本格与变格的认识，所以不如推翻人为制约，让大家充分感受折纸的本质。

这里所谓的“推翻人为制约”又区别于剪开切口等自由造型的方法。纸张作为一种没有伸缩性的平面材料，在折叠的过程中发生变形的同时，其造型通常顺理成章地呈现几何学形态。对于这种几何学形态，纸张的形状等制约有时会成为其中的“干扰”。

综上所述，本书内容看似是关于“稍显不同的折纸”，但实际上更希望为大家带来享受纯粹的“有趣的几何学”乐趣的造型过程。

本书的内容结构如下。

第1章：展开图折叠。介绍按照纸样折出的展开图折叠造型，并讨论相关话题。大多数造型选用了既非正方形也非长方形的特殊纸张形状。说明中也会对与本格、变格相关的“折纸是什么”做进一步讨论。同时尽量介绍关于折出比例的相关话题。

展开图折叠可以像玩拼图一样享受一种纯粹的乐趣。使用正方形或长方形纸的造型可以直接用常见的折纸方纸或打印纸来折。

第2章：单元组合折纸。通过组合多个组件来完成立体几何体造型的折纸方式。虽然这是与“单张折叠”的原则大相径庭的技法，但却堪称是如今折纸潮流中的“王道”之一。本章会区别于第1章，按照工艺顺序来介绍具体步骤。

第3章：小品集。介绍集合拼图式的非单元组合折纸造型并给出了具体的步骤。区别于第1章和第2章，本章的重点在于带领大家体验工艺步骤本身的乐趣，这是通过展开图折叠法无法体验到的。

第2章、第3章与第1章一样，都有相当一部分相关的随笔文字，如果你只是想制作造型本身，那无须细读这些内容，但这些和折纸相关的“闲聊”也正是本书的特色之一。这种形式不仅与笔者初发表在《数学研讨》（《数学セミナー》）上的文章一脉相承，而且现在将相关内容整理成书后，笔者认为是很合适的形式。

笔者不仅是一个造型家，喜欢拼图，还是个数学爱好者。笔者希望将自己感受到的“折叠几何学”的乐趣分享给各位读者朋友。

每款造型按照难易程度标为1至4星。这个分级仅供参考，并不是完全客观的评估。