数学桥：对高等数学的一次观赏之旅（“数学桥”丛书）

传播数学文化，展示数学魅力，培育数学思维，陶冶数学情怀

数学经常会让我们感到很困惑，数学教科书又枯燥无味，似乎只是众多的概念和定理证明的堆叠，而似乎没有尽头的题海更让我们对数学望而生畏。当遇到一个新的数学名词时，我们往往不知道为什么要引入这个概念，导致对其一知半解。
斯蒂芬·弗莱彻·休森所著的《数学桥》一书独辟蹊径，将数学知识以一种截然不同的方式展示给我们。它不是教科书，也不是普及读物，而是介于这两点之间的“普及性教科书”；它以高中数学为起点，以一种轻松有趣的方式娓娓道来，向我们展示了大学数学中的核心内容和亮点。我们在欣赏那些令人惊叹的结果的同时，可以领略数学的自然之美和使用价值。
在《数学桥》一书中，每当引入一个新的数学概念，首先作者会介绍它的应用背景，让我们明白这个数学名词并不是数学家凭空捏造的，这样我们在学习一个数学理论时，也了解了理论背后的数学思想。
《数学桥》是一本杂交型的“普及型教科书”，它比通常的数学书更直观、更亲切也更具谈话性。各个部分相对独立，一个论题对另一个论题的依赖性也较低。基本上每个章节都从头谈起，所以适合不同层次水平、不同需要的读者。从这个意义上看，该书可以说是以高中数学为基础，对大学不同阶段数学课程的串联、整合。在以应试为主要目的的背景下，数学课程的设置没有完整的系统性，学生理解高等数学的难度更大。而本书的价值就在于，它是一本联系起不同阶段数学课程的综合性、概括性的参考书，是现阶段稀缺的数学科普书。
在阅读本书的时候需要一些数学技巧，所以这本书要求读者要具备一些中学数学基础。对于学习高等数学的本科生，通过它能了解大学数学课程中各个“亮点”；对于业余数学爱好者，通过它能够了解数学是干什么的；而对于数学教师，通过它能对数学有更深层次的理解和感悟，从中激发自己和学生的兴趣，了解数学的真正艺术。

斯蒂芬·弗莱彻·休森，数学家，1998年获得英国剑桥大学博士学位，致力于数学科普图书的创作。

章 数/1 
1.1 计数/3
1.1.1 自然数/3
1.1.1.1 自然数的构造/3 
1.1.1.2算术/5 1.1.2 整数/6
1.1.2.1 零和负整数的性质/7
1.1.3 有理数/8 1.1.4 序/9
1.1.4.1 使N，Z和Q有序/10 
1.1.5 从一到无穷大/11
1.1.5.1 无穷集的比较/11 
1.1.6 无穷算术/12 
1.1.7 超越~/16 1.2 实数/19
1.2.1 怎样产生无理数/20
1.2.2 有多少个实数/24 
1.2.3 代数数和超越数/25
1.2.3.1 超越数的例子/27
1.2.4 连续统假设和更大的无穷大/28 
1.3 复数及其高维同伴/31
1.3.1 复数i的发现/31 
1.3.2 复平面/32
1.3.2.1 复数在几何中的应用/34 
1.3.3 棣莫弗定理/35
1.3.4 多项式和代数基本定理/36
1.3.4.1 多项式方程的求解/37 
1.3.5 还有其他的数吗/40
1.3.5.1 四元数/41 
1.3.5.2 凯莱数/43 1.4 素数/44
1.4.1计算机、算法和数学/45 
1.4.2 素数的性质/46 
1.4.3 素数有多少个/48 
1.4.3.1素数的分布/48 
1.4.4 欧几里得算法/49
1.4.4.1 欧几里得算法的速度/50
1.4.4.2 连分数/51
1.4.5 贝祖引理和算术基本定理/53 
1.5 模整数/57
1.5.1 模为素数的算术/57
1.5.1.1 一个关于素数的公式/58 
1.5.1.2 费马小定理/59 
1.5.2 RSA密码 /60
1.5.2.1 建立 RSA体制/62 
1.5.2.2 一种RSA密码体制/64
第2章 分析 /66 
2.1 无穷极限/68
2.1.1 三个例子/68
2.1.1.1 阿基里斯和乌龟 /68 
2.1.1.2 连续复合利率/70 
2.1.1.3 方程的迭代解法/72 
2.1.2 极限的数学描述/75
2.1.2.1 收敛的一般准则/78 
2.1.3 极限应用于无穷和/79
2.1.3.1 一个例子∶几何级数/79 
2.2 无穷和的收敛与发散/81
2.2.1 调和级数/81 
2.2.2 收敛判别法/82
2.2.2.1 比较判别法/82 
2.2.2.2 交错级数判别法/84
2.2.2.3 收敛/85 
2.2.2.4 比率判别法/85 
2.2.3 幂级数及其收敛半径/87 
2.2.3.1 确定收敛半径/89 
2.2.4 无穷级数的重新排列/89 
2.3 实函数/92
2.3.1 实值函数的极限/92 
2.3.2 连续函数/94 2.3.3 微分/97
2.3.3.1 例子/99
2.3.3.2 微分中值定理/102 
2.3.3.3 洛必达法则/105 
2.3.4 面积与积分/106 
2.3.5 微积分基本定理/108
2.4 对数函数和指数函数以及 e/111
2.4.1 Inx的定义/111 
2.4.2 expx的定义/114
2.4.3 欧拉数e/116
2.4.3.1 e的无理性/119 
2.5 幂级数/121
2.5.1 泰勒级数/123
2.5.1.1 作为警示的例子/126 
2.5.1.2  实函数的复扩张/126 
2.6 T与分析学观点下的三角学/128
2.6.1 角度与扇形面积/128
2.6.1.1 π的一个级数展开式/131 
2.6.2 正切、正弦和余弦/132
2.6.2.1 用幂级数定义 sinx和cosx/134 
2.6.3 傅里叶级数/136 
2.7 复函数/140
2.7.1 指数函数和三角函数/140 
2.7.2 复函数的几个基本性质/141 
2.7.3 对数函数及多值函数/142 
2.7.4 复数器/143

序 言
大学数学难学是一个众所周知的事实.但它到底有多难，直到我开始学习大学数学时，我才明白.对于要把注意重点从高中数学中以重复性操练为基础的常规解题训练转移到作为真正数学的智力体操上来，我毫无准备∶庆幸的是，在我的奋力拼搏下，我通过了初几个月的学习，而且逐渐地开始理解正式讲课中无处不在的大量符号的含义.我发现，数学是一门既令人惊叹又让人愉悦的生机勃勃的学科，尽管它远在一条由形式化、简洁性和逻辑性构成的水流湍急、险象环生的大河的那一侧.
几年以后，我在从事研究和讲授数学的过程中，发现一代又一代的数学家苗子仍在与我当初面临的同样问题作战.很自然，一些学生很突出，很快成了技巧娴熟的数学家.一些学生没能完成向更高层次数学的过渡，于是放弃，不再继续学习数学.其他一些学生很成功，这种”成功”在于能将符号搬来弄去，并在考试中取得高分.但是他们不具备任何有意义的数学悟性.第四类由有可能成为既技巧娴熟又聪颖过人的数学家的学生组成，但他们仍然觉得向更高层次数学的过渡很困难.这四类学生的共同之处是，他们都是有才能的学生，但他们在中学阶段没有接触更高层次的数学就进了大学.有那么多的学生终归于后两类，这让我一直感到吃惊.
进一步的调查发现，看来几乎没有一种图书资料能以一种清晰的、直观的，特别是以一种有趣的方式来提供这种过渡性材料.一方面，我们有着标准的教材.当然，这些教材是必需的，但从整体上讲它们也是内容非常密集、阅读非常困难、编排非常紧凑的东西，除了适用于专门的学习和参考外，其他什么都不适用.另一方面，还有许多精彩的”普及性”数学图书.然而，这些图书往往关注数学中十分前沿的尖端性研究论题，这种论题只与一小部分成功的数学家直接相关，而且只经过数年的研究.此外，这些图书往往不包含任何实在的数学细节;它们有点像在对数学进行观光，或对人类智能进行探视，对一个景点拍一张照，然后赶往下一个景点. 虽然它们是长期灵感的重要来源，或者就是一种令人愉快的读物，但阅读这种图书几乎不需要数学技巧，人们也几乎不能从中得到任何数学技巧.
我觉得这两个之间肯定可以有一个折中点∶一种真正的数学书，它表述内容的风格比通常的数学书更具有谈话性、更为直观而且更为亲切.由于这些原因，我灵感迸发，着手写这本书——一本杂交型的”普及性教科书”，一本我在从事数学家职业之前就应该乐于拥有的书.本书的目标很简单∶
以一种只需要基本的高中数学为起点的方式.发掘典型的数学学位
课程中的核心元素和亮点.强调许多令人惊叹的结果所具有的自然之美
和实用价值.同时保持数学上的纯正性.
于是，经过数年的努力，这本书现已完成，我想让它适用于以下人群∶
●有抱负的数学家，他们想更多地了解关于数学的真正艺术. 
●数学专业本科毕业生，他们愿意阅读关于其大学数学课程中各个”亮点”的一种引人入胜的概览性读物.
●科学家、工程师和热情的业余爱好者，他们想知道数学家到底是干什么的.
●数学教师，他们希望对较高层次的内容有一种使人耳目一新的表述，以从中找到例子来激发自己和学生的灵感. 
●进修高等数学概要或适合诗人的数学等课程的学生.
就像刚才提到的，数学是难学的.这本书也不例外.由于所述概念的丰富性，阅读本书需要在脑力上付出高度的努力.在书中各个不同的地方，需要对附录中所详细叙述的数学知识有一个基本水平上的知晓或熟悉∶然而，本书非常具有谈话性，而且各个部分相对独立，因此可以在不同的深度水平上阅读∶ 而且，一个论题对另一个论题的依赖性也保持在水平.只要可能，每个新章节都从头讲起，所以如果某个领域变得太难懂了，或者不令你感兴趣了，你可以转到下一个领域.此外，为了避免破坏内容的流畅性或遗漏掉作为数学思想之基础的关键点，在一些地方我对某些技术性较强的细节略而不讲.但愿这些地方已被清楚地指明，而这些省略不会影响到大多数读者.
数学是一种激动人心而又充满活力的艺术形式，我希望本书能给你带来对数学之真正意义的某种领悟.
斯蒂芬·弗莱彻·休森
2003年4月

摇啊摇，摇到数学桥
书评作者:  郭景海 程杰
发布媒体:  科学时报

      有这样一个故事：在一个酒吧里，一个姑娘问她的情人迟到的原因，那年轻人说他在赶做一道数学题，姑娘摇着脑袋，不解地问：“我真不明白，你花那么多时间搞数学，数学到底有什么用啊？”那年轻人长久地看着她，然后说:“宝贝儿，那么爱情，有什么用啊？”

      或许我们也经常这样问自己：“数学到底有什么用？”关于数学我们经常会感到很困惑，自踏入学堂就开始学习数学，所接触的教科书枯燥无味，似乎只是众多的概念和定理证明的堆叠，那些绞尽脑汁的难题让我们对数学望而生畏。当遇到一个新的名词时，我们往往不知道为什么要引入这个概念，它是不是有用的和必需的，只能从定理证明和解题中慢慢体会，但这个过程往往很漫长。数学学习就成了解各种各样的难题，而数学书就是提供解题的巧妙方法，我们对数学家们的智慧惊叹不已，却很难体会到数学的整体架构和发展历程。

      这或许是布尔巴基造的孽。他那几十本《数学原理》仿佛给后世写数学书的人穿了双甩不掉的鞋，很多数学教师对这双鞋情有独钟。不知所云的名词，让人绞尽脑汁的难题，这让数学初学者望而生畏，恨自己没有数学细胞。那么，如果我们脱掉了这双沉重的鞋，是否会有轻松的方式引领我们观赏数学世界呢？斯蒂芬·弗莱彻·休森独辟蹊径，所著的《数学桥》一书将数学知识以一种截然不同的方式展示给我们。如译者所言，它不是教科书，也不是普及读物，而是介于这两点之间的“普及性教科书”；它以高中数学为起点，以一种轻松有趣的方式娓娓道来，向我们展示了大学数学中的核心内容和亮点。我们在欣赏那些令人惊叹的结果的同时，可以领略数学的自然之美和使用价值。

      《数学桥》中，当引入一个新的数学概念时，首先会向我们介绍它的应用背景，这样就不会显得突兀。我们可以明白这个数学名词并不是数学家凭空捏造的，更不是从天上掉下来的，而是有用的和必需的。这样，我们在学习一个数学理论的同时，也了解了理论背后的数学思想。比如，斯蒂芬·弗莱彻·休森在介绍无穷极限时，并没有一开始就把无穷极限的定义、性质扔到读者面前。通过阿基里斯和乌龟的赛跑比赛为切入点，以影响比赛结果的因素为无穷极限下定义，在分析比赛结果的同时，向读者介绍了无穷极限的性质、技巧。这样抓住重点，徐徐道来，令人不知不觉地就进入了数学美境。形式上也有定义、定理等等，但已不再是从天而降的飞来之物。

      《数学桥》非常具有谈话性，而且各个部分相对独立，一个论题对另一个论题的依赖性也较低。只要可能，基本上每个章节都从头谈起，所以适合不同层次水平、不同需要的读者。从这个意义上看，该书可以说是以高中数学为基础，对大学不同阶段数学课程的串联、整合。对大多数学生而言，学习、理解高等数学都不是一件容易的事。特别是在以应试为主要目的的背景下，数学课程的设置没有完整的系统性，学生理解高等数学的难度更大。这就需要一本联系起不同阶段数学课程的综合性、概括性的参考书，而在现阶段，国内类似水平的书籍着实稀缺，就更突显了这本书的价值。

      在阅读本书的时候需要一些数学技巧，所以这本书要求读者要具备一些中学数学基础。对于学习高等数学的本科生，通过它能了解大学数学课程中各个“亮点”；对于业余数学爱好者，通过它能够了解数学是干什么的；而对于数学教师，通过它能对数学有更深层次的理解和感悟，从中激发自己和学生的兴趣，了解数学的真正艺术。

      就像其名字一样，这本书就好比一座桥梁，它能帮你顺利完成从初等数学到高等数学的过渡。数学是一门既令人惊叹又让人愉悦的生机勃勃的学科，是一种无与伦比的艺术形式，而《数学桥》正是我们打开艺术之门的一把钥匙。读完这本书，你会惊奇地发现：你已经爱上了这门艺术。