中公教师资格证2022高中数学国家教师资格考试 数学学科知识与教学能力（高级中学）

《中公版·2022国家教师资格考试专用教材：数学学科知识与教学能力（高级中学）》是中公教育教师资格考试研究院研发团队在深入研究历年教师资格考试高中数学真题及考试大纲的基础上，精心编写而成。
（一）讲解核心考点
编者分析了国家教师资格考试统考历次考题的考试内容与考点分布规律，确定了图书的核心内容。本书对考点讲解详尽透彻，力求不留理解和运用知识的死角。
（二）突出备考重难点
编者着力聚焦考点，精选、优选高频考点与易考考点，以简明扼要的表述方式，为考生的复习备考“减负”。
（三）图书体系完备
本书整体使用双色设计，详细讲解重难点，层次分明，重要知识点用“下划线”标注，让考生能够关注到重要内容，有效记忆；并在正文部分穿插例题、经典真题、备考点拨等版块，对教材要点进行必要的拓展延伸，便于考生巩固提高。
（四）图书实用高效
本书还精选了强化练习题，学练结合，科学备考。

教材和历年真题试卷搭配使用效果更佳！

《中公版·2022国家教师资格考试专用教材：数学学科知识与教学能力（高级中学）》根据教师资格高中数学考试真题，构架起以数学学科知识、课程知识、教学知识、教学技能四个模块有机结合的知识体系，是一本针对国家教师资格考试高级中学数学的教材。本教材条理清晰，结构严谨，从考试重点和考试要点出发，深入浅出地向考生讲解各个知识点，使考生能透彻地理解知识点。
本书设有考情分析，让考生明确该部分知识结构，帮助考生了解有关本节知识的历年考查情况，明确复习重点。书中还设置了例题、经典真题、备考点拨、强化练习，例题帮助考生更好地理解巩固知识点；经典真题为考生呈现了历年有代表性的真题；备考点拨可以帮助考生更深入地理解和认识相关知识；强化练习题选取难度适中、契合真题的练习题，满足考生学练结合的需要。

部分数学学科知识
章中学数学基础知识/
考情分析/
考点精讲/
节集合与命题/
第二节函数/
第三节不等式与数列/
第四节平面解析几何/
第五节计数原理与二项式定理/
第六节数学史/
第二章数学分析/
考情分析/
考点精讲/
节极限/
第二节函数连续性/
第三节一元函数微分学/
第四节一元函数积分学/
第五节级数/
第六节多元函数微分学/
第三章高等代数/
考情分析/
考点精讲/
节多项式/
第二节行列式/
第三节线性方程组/
第四节矩阵/
第五节矩阵的特征值与特征向量/
第六节二次型/
第四章空间解析几何/
考情分析/
考点精讲/
节仿射坐标系与向量的外积/
第二节空间的平面与直线/
第三节曲面及曲线方程/
第五章概率论与数理统计/
考情分析/
考点精讲/
节随机事件与概率/
第二节随机变量及其分布/
第三节随机变量的数字特征/
第四节大数定律与中心极限定理/
第五节数理统计的基本概念/
第二部分课程知识
章高中数学课程概述/
考点精讲/
节高中数学课程性质和基本理念/
第二节数学学科核心素养与课程目标/
第二章高中数学课程结构与内容/
考点精讲/
节高中数学课程结构/
第二节高中数学课程内容/
第三章高中数学课程标准的实施建议/
考点精讲/
第四章高中课程类简答和论述题作答
分析/
第三部分教学知识
章教学原则和方法/
考点精讲/
节教学原则/
第二节教学方法/
第二章数学概念与数学思想/
考点精讲/
节数学概念/
第二节数学思想/
第四部分教学技能
章教学设计/
考点精讲/
节数学教学设计概述/
第二节数学教学目标及教学重难点/
第三节数学教学环节的设计/
第四节不同数学课型的教学设计/
第二章教学评价/
考点精讲/
节评价概述/
第二节数学课堂教学评价/
第三节数学学习评价/
第四节案例分析题作答分析/

　　　　第二章数学分析
　　　　 考情分析
　　　　本章知识核心考点常考题型重要程度极限数列极限函数极限常用的求极限的方法单选、解答★★★函数连续性连续函数的定义与性质单选、简答★★★导数导数的定义导数的几何意义及运算法则简答、解答★★微分微分的定义微分中值定理单选、解答★★★积分不定积分定积分单选、简答、解答★★★级数数项级数函数项级数单选★★ 考点精讲
　　　　节极限一、数列极限1.数列极限的定义设{xn}是一个数列。若对ε>0，N∈N*，当n>N时，有xn-a　　　　一般来说，极限定义中的N与ε有关，ε越小所需的N就会越大。此外，从几何的角度看，若数列{xn}收敛于a，则ε无论怎样小，数列{xn}自某项之后的所有项都要落在区间（a-ε，a ε）内。
　　　　【例题1】证明：limn→∞nm=1（m>1）。
　　　　【解析】令nm-1=hn，则m=（1 hn）n=1 nhn n（n-1）2h2n … hnn>nhn，从而00，要使nm-1=hnN时，就有nm-1　　　　注：①上述过程中mε表示对mε向下取整。②本题结论可以通过数列极限的四则运算推广至任意正实数m，即limn→∞nm=1（m＞0）。
　　　　【例题2】证明：limn→∞nn=1。
　　　　【解析】令nn-1=hn，则n=（1 hn）n=1 nhn n（n-1）2h2n … hnn>n（n-1）2h2n（n>1），从而00，要使nn-1=hnN时，就有nn-1　　　　2.收敛数列的性质
　　　　性质1（性）若数列{xn}收敛，则其极限值。
　　　　性质2（有界性）若数列{xn}收敛，则数列{xn}有界，即M>0，使得对n∈N*，有xn≤M。
　　　　性质3（保不等式性）设limn→∞xn=a，limn→∞yn=b。
　　　　①若aN时，有xn　　　　②若N∈N*，当n>N时，有xn≤yn，则a≤b。
　　　　注：对第二种情况，如果把“xn≤yn”改为“xn　　　　性质4（数列极限的四则运算）设limn→∞xn=a，limn→∞yn=b，则
　　　　①limn→∞（xn±yn）=a±b；②limn→∞（xn·yn）=a·b；③limn→∞xnyn=ab（yn≠0，b≠0）。
　　　　性质5（夹逼定理）设limn→∞xn=a，limn→∞yn=a。若N∈N*，当n>N时，有xn≤zn≤yn，则limn→∞zn=a。
　　　　【例题3】设ai>0，i=1，2，…，m，求limn→∞（an1 an2 … anm）1n。
　　　　【解析】令a=max{a1，a2，…，am}，则an≤an1 an2 … anm≤man。因为limn→∞（an）1n=limn→∞（man）1n=a，所以由夹逼定理得，limn→∞（an1 an2 … anm）1n=a=max{a1，a2，…，am}。
　　　　性质6设limn→∞xn=a，则{xn}的任意子列{xnk}（{xn}的一部分元素按原顺序排成的数列）都收敛，且limk→∞xnk=a。
　　　　二、实数系连续性的基本定理1.确界存在定理设非空集合AR。
　　　　若M，对x∈A，有x≤M，则称集合A是有上界的，M是集合A的一个上界；
　　　　若m，对x∈A，有x≥m，则称集合A是有下界的，m是集合A的一个下界。
　　　　同时拥有上界和下界的集合称为有界集。
　　　　显然，若M是集合A的一个上界，则任意大于M的实数都是集合A的上界。我们称集合A的所有上界中小的上界为集合A的上确界，记作supA。类似地，若集合A下有界，我们称集合A的所有下界中的下界为集合A的下确界，记作infA。
　　　　定理1（确界存在定理）若非空集合A有上（下）界，则它一定有上（下）确界。
　　　　2.单调有界定理
　　　　若数列{xn}对n∈N*，有xn≤xn 1，则称{xn}是单调递增（上升）的数列；
　　　　若数列{xn}对n∈N*，有xn≥xn 1，则称{xn}是单调递减（下降）的数列。
　　　　单调递增和单调递减的数列统称为单调数列。
　　　　定理2（单调有界定理）若数列{xn}是单调数列并且有界，则数列{xn}一定收敛。
　　　　【例题4】设x1=2，xn 1=2 xn，证明数列{xn}收敛，并计算极限值。
　　　　【解析】已知x1=2，xn 1=2 xn，由数学归纳法易证，对n∈N*，02xnx2n=2xn>1，于是数列{xn}是单调递增的数列，从而由单调有界定理知，数列{xn}收敛。
　　　　设limn→∞xn=a，在xn 1=2 xn两边取极限，得a=2 a，解得a=2，所以limn→∞xn=2。
　　　　3.柯西收敛准则
　　　　若数列{xn}满足：对ε>0，N∈N*，当n，m>N时，有xn-xm　　　　定理3（柯西收敛准则）数列{xn}收敛的充要条件是它是一个柯西数列。
　　　　【例题5】设xn=1-12 13 … （-1）n-11n，证明数列{xn}收敛。
　　　　【解析】对任意的n，m∈N*，不妨设m>n，有xm-xn=1n 1-1n 2 1n 3 … （-1）m-n-11m=1n 1-1n 2-1n 3 … （-1）m-n1m<1n 1。因此，对ε>0，取N=1ε，则当n，m>N时，有xm-xn　　　　【例题6】设xn=1 12 13 … 1n，证明数列{xn}发散。
　　　　【解析】取ε0=12，则对n∈N*，有x2n-xn=1n 1 1n 2 … 12n≥n2n=12，所以数列{xn}不是柯西数列，从而它是发散的。
　　　　4.聚点原理
　　　　设非空集合AR，x0是R上一个定点（可以属于A，也可以不属于A）。若对δ>0，{x0＜x-x0＜δ}∩A≠，则称x0是A的一个聚点。
　　　　定理4（聚点原理）R上任一有界无穷集至少有一个聚点。
　　　　推论（波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理）有界无穷数列必有收敛子列。
　　　　5.闭区间套定理
　　　　定理5（闭区间套定理）设{［an，bn］}是一闭区间列。若{［an，bn］}满足：
　　　　①［an 1，bn 1］［an，bn］；
　　　　②limn→∞（bn-an）=0，
　　　　则存在的实数c，有limn→∞an=limn→∞bn=c。
　　　　6.有限覆盖定理
　　　　设Oi是R上一组开区间，A是R上一个集合。若A∪iOi，则称∪iOi是集合A的一个开覆盖。如果开覆盖∪iOi中只有有限个元素，即有限个开区间的并，则称∪iOi是一个有限开覆盖。
　　　　定理6（有限覆盖定理）设A是R上的一个闭区间。若∪iOi是集合A的一个开覆盖，则一定存在∪iOi的一个子集构成集合A的一个有限开覆盖。
　　　　注：实数系连续性的六个基本定理相互等价。
　　　　三、函数极限1.邻域设x0∈R，δ>0，称集合{xx-x0　　　　注：邻域与去心邻域的差别在于去心邻域不包含点x0。
　　　　设m>0，称集合{xx>m}为∞邻域，记作U（∞）；称集合{xx>m}为 ∞邻域，记作U（ ∞）；称集合{xx　　　　2.函数极限的定义
　　　　（1）自变量趋于有限值时的函数极限
　　　　设函数f（x）在点x0的某一去心邻域U0（x0，δ0）（δ0>0）内有定义。若对ε>0，δ>0，当0＜x-x0　　　　注：自变量x的取值范围是去心邻域U0（x0，δ0），所以极限limx→x0f（x）与函数f（x）在点x0处的取值（如果存在的话）没有关系，f（x0）是否改变，甚至是否存在，都不影响极限limx→x0f（x）。
　　　　【例题7】证明：limx→0xsin1x=0。
　　　　【解析】ε>0，取δ=ε，则当0＜x-0＜δ时，有xsin1x-0≤x　　　　（2）自变量趋于无穷时的函数极限
　　　　设函数f（x）在U（∞）上有定义。若对ε>0，X>0，当x>X时，有f（x）-A　　　　设函数f（x）在U（ ∞）上有定义。若对ε>0，X>0，当x>X时，有f（x）-A　　　　设函数f（x）在U（-∞）上有定义。若对ε>0，X>0，当x　　　　【例题8】证明：limx→∞3×3-2×2 xx3 x-2=3。
　　　　【解析】由于3×3-2×2 xx3 x-2-3=-2×2-2x 6×3 x-2≤3x2x3=3x对一切的x>2成立，所以对ε>0，取X=max3ε，2，则当x>X时，有3×3-2×2 xx3 x-2-3≤3x　　　　（3）单侧极限
　　　　设函数f（x）在点x0的某一去心左邻域U-0（x0，δ0）（δ0>0）内有定义。若对ε>0，δ>0，当0＜x0-x　　　　设函数f（x）在点x0的某一去心右邻域U 0（x0，δ0）（δ0>0）内有定义。若对ε>0，δ>0，当0＜x-x0　　　　函数f（x）在点x0极限存在的充要条件是f（x）在点x0的左、右极限存在且相等。
　　　　（4）广义极限
　　　　设函数f（x）在点x0的某一去心邻域U0（x0，δ0）（δ0>0）内有定义。
　　　　若对M>0，δ>0，当0M，则称当x趋于x0时，f（x）趋于∞；
　　　　若对M>0，δ>0，当0M，则称当x趋于x0时，f（x）趋于 ∞；
　　　　若对M>0，δ>0，当0　　　　类似地可以定义limx→x0±0f（x）=∞，limx→x0±0f（x）=±∞，limx→±∞f（x）=∞，limx→±∞f（x）=±∞。
　　　　注：对于数列极限可以类比定义limn→∞xn=∞，limn→∞xn= ∞，limn→∞xn=-∞。
　　　　3.函数极限的性质
　　　　性质1（局部有界性）若limx→x0f（x）存在，则δ>0，使得f（x）在U0（x0，δ）上有界，即M>0，对x∈U0（x0，δ），有f（x）≤M。
　　　　性质2（保不等式性）设limx→x0f（x）=A，limx→x0g（x）=B。
　　　　①若A0，当x∈U0（x0，δ）时，有f（x）　　　　②若δ>0，当x∈U0（x0，δ）时，有f（x）≤g（x），则A≤B。
　　　　性质3（函数