高等数学物理方法

《高等数学物理方法》内容包含了曲线论、曲面论、张量分析、变分法和积分方程的理论和应用背景。曲线论与曲面论中介绍了微分几何基础知识，并对于它们如何用于工程和物理学研究做了一定的分析。张量分析中，针对专业特点，讨论了笛卡儿张量和一般张量。为了让读者深刻了解场论知识，作者详细地介绍了张量场的理论和计算方法，这些内容拓展了场论深度和广度。变分法和积分方程内容的重点是它们的基础理论和如何用它们直接求解实际工作中会遇到的微分方程，特别对于用变分法和积分方程解初始问题和边值问题的直接解法，有详细的介绍。《高等数学物理方法》提供了大量的例题和习题，以供学生课前和课后练习。读者只要具有高等数学、线性代数和微分方程的基础知识就可以顺利地阅读《高等数学物理方法》。《高等数学物理方法》介绍的内容是本科阶段所学数学物理方法的继续，是工程和应用物理类高年级本科生和研究生在后续课程学习和科学研究中的难点。

目录　
前言　
第1章　一元矢量函数与曲线论基础　1　
1.1　一元矢量函数的基本概念　1　
1.2　矢量函数的微分与泰勒展开式　5　
1.3　矢量函数的积分和微分方程　10　
1.4　三个特殊的矢量函数与微分几何的概念　12　
1.5　空间曲线的自然参数方程　17　
1.6　曲线自然方程的建立与曲线族的包络　19　
1.7　空间曲线的曲率　24　
1.8　Frenet坐标架与挠率　27　
1.9　曲线论的基本公式与基本定理　35　
1.10　曲线在一点的标准展开和应用　43　
1.11　平面曲线的曲率和Frenet标架　50　
1.12　整体微分几何和卵形线　58　
习题1　65　
第2章　曲面论基础与应用　67　
2.1　二元矢量函数和曲面的矢量表示　67　
2.2　曲面的切平面和法线矢量　71　
2.3　曲面的第一基本形式　79　
2.4　曲面的等距映射　84　
2.5　曲面的保角映射　89　
2.6　曲面的第二基本形式　94　
2.7　曲面曲线的法曲率、主曲率和主方向　100　
2.8　曲面点的邻近结构分析　107　
2.9　曲面论的基本公式、基本定理和基本方程　115　
2.10　Gauss映射和曲面的第三基本形式　122　
2.11　曲面的测地曲率与测地线　128　
2.12　测地坐标系、短程线和Gauss-Bonnet定理　136　
习题2　146
第3章　笛卡儿张量与应用　149　
3.1　矢量代数　149　
3.2　笛卡儿张量的概念　156　
3.3　笛卡儿张量定义与性质　163　
3.4　笛卡儿张量的代数运算　176　
3.5　笛卡儿张量场论1：导数、梯度与散度　184　
3.6　笛卡儿张量场论2：旋度与张量的积分　193　
3.7　二阶笛卡儿张量　203　
3.8　二阶对称笛卡儿张量及其几何表示　212　
习题3　219　
第4章　张量的普遍理论　221　
4.1　斜角直线坐标系中的协变量及其对偶量　221　
4.2　曲线坐标系矢量和基与坐标变换　228　
4.3　张量的普遍定义与度规张量　236　
4.4　张量的代数运算　245　
4.5　基矢量的导数与Christoffel符号　253　
4.6　张量场理论　259　
4.7　物理标架下的张量场　269　
习题4　279　
第5章　变分法　281　
5.1　有关变分问题的实际例子　281　
5.2　变分法的基本原理及性质　283　
5.3　泛函的欧拉方程　287　
5.4　含有多个未知函数与高阶导数的泛函　291　
5.5　多元函数的泛函数极值问题　295　
5.6　端点不变的自然边界条件和自然过渡条件下的变分法　299　
5.7　可动边界的变分问题　306　
5.8　条件极值的变分问题——测地线问题　314　
5.9　条件极值的变分问题——等周问题　319　
5.10　直接变分法及其应用　326　
5.11　偏微分方程边值问题的直接与半直接变分法　337　
习题5　345　
第6章　积分方程基础　349　
6.1　积分方程的起源与概念　349　
6.2　积分方程与微分方程的联系　355
6.3　逐次逼近法解Volterra方程　360　
6.4　Volterra第一类方程的解法　365　
6.5　Volterra方程的其他解法　374　
6.6　Fredholm第二类方程的解法　379　
6.7　可分核的Fredholm方程解法　386　
6.8　Green函数与对称核积分方程　392　
6.9　Hilbert-Schmidt理论与非齐次Fredholm方程的解法　402　
6.10　诺伊曼级数与Fredholm理论　411　
6.11　奇异积分方程　416　
6.12　Fredholm方程的近似解法　420　
习题6　430　
参考文献　433