线性代数习题详解与提高

本书是北京建筑大学数学系主编的《线性代数》(2019版)的配套教材. 本书对《线性代数》各章知识进行了总结，对全部习题做了详尽的解答. 同时，为满足学有余力的读者的需要,补充了“常见题型”部分. 这部分题目在知识的广度和深度方面进行了加强，在难度和技巧方面都有进一步的提升，另外还扩充了教材上没有涵盖的一些题型，包括部分考研真题。

《线性代数习题详解与提高》是北京建筑大学数学系编写的《线性代数》（2019 版）的配套教材。本书对《线性代数》各章知识进行了梳理和总结，包括知识脉络图、知识要点和学习要求；对各章的习题和复习题做了详尽的解答；同时， 为满足学有余力的读者的需要， 还补充了“常见题型”部分，其中不乏考研真题，这部分题目在难度和解题技巧方面都有进一步提升，达到考研题目水平。本书可供高等院校工程类相关专业、成人高等教育及自学者作为线性代数课程的辅助教材使用。

无

第1章　行列式001
1.1　本章内容总结001
1.1.1　知识脉络图001
1.1.2　知识要点001
1.1.3　学习要求002
1.2　习题解答002
1.2.1　习题1.1 002
1.2.2　习题1.2 004
1.2.3　习题1.3 005
1.2.4　习题1.4 005
1.2.5　习题1.5 006
1.2.6　习题1.6 009
1.2.7　习题1.7 013
1.2.8　习题1.8* 016
1.2.9　复习题1 020
1.3　常见题型023
1.3.1　排列的逆序数和奇偶性023
1.3.2　n 阶行列式的概念024
1.3.3　行列式的性质026
1.3.4　行列式按行（列）展开027
1.3.5　行列式的计算029
1.3.6　克拉默法则035
1.4　综合练习1 037
1.5　综合练习1　答案与提示038

第2章　矩阵及其运算041
2.1　本章内容总结041
2.1.1　知识脉络图041
2.1.2　知识要点041
2.1.3　学习要求042
2.2　习题解答042
2.2.1　习题2.1 042
2.2.2　习题2.2 043
2.2.3　习题2.3 048
2.2.4　习题2.4 053
2.2.5　复习题2 056
2.3　常见题型060
2.3.1　有关矩阵的基本概念和基本运算060
2.3.2　方阵的行列式、逆矩阵064
2.3.3　有关分块矩阵的计算068
2.4　综合练习2 070
2.5　综合练习2　答案与提示072

第3章　矩阵的初等变换与线性方程组075
3.1　本章内容总结075
3.1.1　知识脉络图075
3.1.2　知识要点075
3.1.3　学习要求076
3.2　习题解答076
3.2.1　习题3.1 076
3.2.2　习题3.2 077
3.2.3　习题3.3 080
3.2.4　习题3.4 082
3.2.5　复习题3 086
3.3　常见题型092
3.3.1　矩阵的初等变换及初等矩阵092
3.3.2　矩阵的秩094
3.3.3　线性方程组与矩阵方程096
3.4　综合练习3 102
3.5　综合练习3　答案与提示104

第4章　向量组的线性相关性107
4.1　本章内容总结107
4.1.1　知识脉络图107
4.1.2　知识要点108
4.1.3　学习要求108
4.2　习题解答109
4.2.1　习题4.1 109
4.2.2　习题4.2 111
4.2.3　习题4.3 113
4.2.4　习题4.4 115
4.2.5　习题4.5 116
4.2.6　复习题4 120
4.3　常见题型122
4.3.1　向量组的线性相关性和向量组的秩122
4.3.2　向量空间127
4.3.3　线性方程组的通解、解空间128
4.4　综合练习4 132
4.5　综合练习4　答案与提示134

第5章　相似矩阵和二次型136
5.1　本章内容总结136
5.1.1　向量的内积、长度和正交性136
5.1.2　矩阵的特征值与特征向量137
5.1.3　二次型138
5.2　习题解答139
5.2.1　习题5.1 139
5.2.2　习题5.2 140
5.2.3　习题5.3 143
5.2.4　习题5.4 147
5.2.5　习题5.5 152
5.2.6　习题5.6 155
5.2.7　习题5.7 156
5.2.8　复习题5 157
5.3　常见题型160
5.3.1　有关向量空间、正交向量组等计算160
5.3.2　有关正交矩阵163
5.3.3　具体矩阵的特征值和特征向量164
5.3.4　抽象矩阵的特征值165
5.3.5　矩阵的对角化问题167
5.3.6　有关二次型的基本概念168
5.3.7　化二次型为标准形、规范形168
5.3.8　正定二次型和正定矩阵的性质、判定171
5.4　综合练习5 173
5.5　综合练习5　答案与提示174

参考文献176

由北京建筑大学数学系编著、北京建筑大学教材建设专项基金资助出版的《线性代数》（2019 版） 一书，作为我校全日制和成人教育理工科各专业线性代数课程的指定教材，取得了良好的教学效果。
在实践过程中，广大师生对此教材的好评主要集中在以下几点。
1. 通过“线性方程组解的理论” 这一线索，将全书内容连为一体，知识体系十分完整。
2. 每节均有“导读与提示” 部分，由浅入深，循序渐进，符合学习认知规律，在一定程度上降低了学习难度。
3. 将基本知识和理论证明分层讲解，满足各类学习者的不同需求。
4. 尽可能由实例引入数学概念，提高了读者的学习兴趣。
5. 每章都有“阅读材料”，介绍该章（部分） 知识的来历、应用等，开阔了读者的视野，同时，也可以此为契机，开展学生思想政治教育。
在编写过程中，我们始终把方便学生自学作为主要目标之一。考虑到近年来该课程教学的实际情况，为方便学生遇到问题及时得到解答，在教务处、理学院及数学与数据科学系领导的支持下，《线性代数》教材编写组再一次组织相关老师共同编写了《线性代数习题详解与提高》一书。本书除对教材上所有习题给出详尽的解答外，还在知识的广度和深度方面进行了加强，扩充了教材上没有涵盖的一些题型（加* 号题为有一定难度的题），包括部分考研真题，希望对学生深入学习《线性代数》及考研有所帮助。
本书由刘长河、卢崇煜老师执笔，多位老师分章审核，具体如下：侍爱玲（第1章），徐华博（第2章），刘志强（第3章），代西武、刘世祥（第4章），吕大昭（第5章）。武利刚老师对全书进行了统一审核，并提出了宝贵意见。
在本书编写过程中，理学院、数学与数据科学系领导给予了大力支持，本系诸位同仁提出了许多宝贵的意见，同时本书得到北京建筑大学教材建设专项基金资助，在此深表感谢！
限于编者水平及各种主客观条件，本书不足之处在所难免，敬请广大师生在使用过程中不吝赐教，以便进一步修改完善，最终达到提高学习效果的目的。

北京建筑大学数学与数据科学系  卢崇煜