自然哲学的数学原理（与《相对论》一样，影响典自然科学的所有领域，开创了科学的新纪元）

★艾萨克·牛顿的《自然哲学的数学原理》是人类历史上很有影响力的科学著作之一。
★《自然哲学的数学原理》于1687年出版，为始于一百多年前哥白尼发起的科学革命竖起了一座新的里程碑。
★牛顿还在此书中提供了科学研究的模式，该模式对任何领域的从业者都具有深远的启发意义。开启万有引力的发现之旅，打开科学理论体系的大门。
★用数学语言铸就自然之哲学，以几何图画解开天体之奥秘。
★ 牛顿的《自然哲学的数学原理》，拟定了力学的世界图景及机械地解释自然现象的基本纲领。 
★牛顿为微积分提供了概念基础，尽管他在书中没有明确使用微积分，但精通数学的读者可能会猜测牛顿正在使用一种新技术。

《自然哲学的数学原理》书中牛顿的成就多到数不胜数，明显的例子就是牛顿运动定律，这一定律至今仍然传授于世界各地。牛顿为微积分提供了概念基础，尽管他在书中没有明确使用微积分，但精通数学的读者可能会猜测牛顿正在使用一种新技术。至关重要的是，牛顿从他的平方反比定律推导出了开普勒三定律。他证明了开普勒方程没有代数解，并提供了计算方法。在牛顿这部划时代伟大的著作中，读者更能欣赏到他在物理学之外的卓越成就。牛顿在本书中的只言片语，如今也将被成千上万的作者呈现在无数论文中，这是科学的胜利。牛顿不仅解决了长期以来如何求证行星轨道的难题，而且还用他的理论解释了很长时间里独立且无法解释的现象：潮汐、岁差、月球的轨道、单摆模型和彗星的出现。在本书中，牛顿证明了现代科学的标志是什么——将尽可能多种不同的现象统一在一个单一的解释下。

艾萨克.牛顿（1643—1727），出生于英国，毕业于剑桥大学，英国著名物理学家、天文学家、数学家，被公认为有史以来伟大和影响深远的科学大师之一。发表的《自然哲学的数学原理》，阐述了万有引力和三大运动定律，奠定了此后三个世纪里力学和天文学的基础，成为了现代工程学的基础。
译者简介：
高宇，毕业于同济大学机械工程专业，现就职于某世界五百强电气工业公司，多年来在企业、高校从事科研工作，擅长理工科类文献资料翻译。

定　义
公理或运动定律 
卷一　论物体的运动 
第*章　初始量以及终量之比的方法，用于本书后续证明 
第2章　论求向心力
第3章　物体在偏心圆锥曲线上的运动 
第4章　由已知焦点求椭圆、抛物线和双曲线的轨道 
第5章　求未知焦点的轨道 
第6章　求给定轨道上物体的动量 
第7章　关于物体的直线上升或下降 
第8章　求物体在任意种类向心力作用下的轨道 
第9章　论物体在运动轨道上的运动及拱点的运动 
第10章　论物体在指定平面上的运动和单摆振荡 
第11章　论在向心力作用下的物体相互吸引的运动 
第12章　论球体间的引力 
第13章　非球体间的引力 
第14章　
论小物体受大物体上各部分的向心力作用
而产生的运动
卷二　论物体（在阻滞介质中）的运动 
第*章　受与速度成正比的阻力作用下的物体运动 
第2章　受与速度平方成正比的阻力作用下的物体运动 
第3章　论所受阻力部分正比于速度、部分正比于速度平方时物体的运动 
第4章　论物体在阻力介质中的圆周运动 
第5章　论流体的密度、压力和流体静力学 
第6章　论摆动物体的运动与阻力 
第7章　论流体运动和其对抛射体的阻力 
第8章　论通过流体传播的运动 
第9章　论流体的圆形运动 
卷三　论宇宙的体系（以数学方式） 
哲学中的推理规则 
现象 
命题 
月球交会点的运动 
总释 

前人在研究自然事物的过程中，对力学极为重视（正如帕普斯告诉我们的）。现代人则将实体形式和隐秘性质搁置一边，致力于使自然现象服从于数学定律。在本书中，我发展出有哲学性质的数学。古人从两个方面考虑力学问题：（1）理性层面，通过精确证明；（2）实践层面。所有手工技术均属于应用力学，“力学”这个名词也来源于此。然而，因为工匠们的工作并非精准无误，使得力学与几何学产生了极大区别。完全精确的被称为几何，不是很精确的被称为力学。但是，误差的来源并非是技术，而是工匠。从事不精确工作精准性差的是有缺陷的工匠；如果说有人能工作精确无误的话，一定是所有工匠中完美的那位；因为，几何学的基础是作直线和圆，这属于力学。几何学不教我们画这些图形，却要求这些图形被画出来；因为学生在学习几何学之前，首先需要学会精确作图；随后，几何学便开始展示如何通过作图来求解问题。作直线和圆是难题，却不是几何上的难题。这些难题的解需要从力学中求得；当难题解决后，可以通过几何方式展示出来；几何学的伟大之处在于，通过极少量的公理就可以推导出很多结论。因此，几何学构建于力学实践之上，只是通用力学的一部分。通用力学提出并展示如何精确度量事物。但是，由于手工劳动主要涉及物体运动，因此几何学一般用来描述物体的量级，而力学则描述物体的运动。在这个意义上，强调理性的力学是关于运动的科学，运动来源于各种力的作用。力学同时也是关于力的科学，力产生运动，而力学则对此提出命题并给予论证。对于这部分力学，前人已有所研究，并将其分为五大类，都与手工劳动相关。本书的目的不在技艺，而在哲学；本书的研究对象并非人力，而是自然力。本书主要考察与重力、浮力、弹力、流体阻力等各种力（无论是引力还是冲击力）相关的事物。因此，我们贡献的这项工作作为“哲学的数学原理”。因为哲学上困难的问题便在于此，从运动现象到研究自然界中的力，然后从这些力来论证其他现象。本书卷和第二卷中所提出的一般命题，便意在达成上述目的。在第三卷中，我用了一个例子来阐释宇宙的体系结构：通过在前两卷中提出并论证的数学命题，第三卷考察了太空中的现象——引力让天体趋向于太阳和几大行星。从这些引力作用出发，通过其他数学命题，本书随后推导了行星、彗星、月球等天体，以及潮汐的运动规律。我希望能够通过使用与力学原理同样的推理来论证其他自然现象。基于多种原因，我怀疑它们可能都依赖于物体的粒子所受的某种力。由于一些迄今为止未知的原因，它们或者相互推动，以规则的图形相互联系，或者相互排斥而互相远离。由于这种力量是未知的，哲学家们迄今为止试图探索自然都是徒劳无功的。但我希望这里列出的原则能够为这一点或更真实的哲学方法提供一些启示。
在本书付梓过程中，热切和博学的埃德蒙·哈雷（Edmund Halley）先生不但协助我辛苦审校文字，并照顾出版计划，而且也是在他的鼓励下本书才得以出版。当他看到我对天体轨道图形的演示后，他不断敦促我向皇家学会提交论文，之后皇家学会也鼓励我出版，才使得我考虑出版本书。但是，在我开始考虑月球的不均衡运动后，我意识到一些别的有关重力的定律和度量的事物，以及其他力；根据既定定律被吸引的物体所描述的图形；几个物体相互移动的运动；物体在阻力介质中的运动；介质的力、密度和运动；彗星的轨道……诸如此类。于是，我推迟了本书的出版时间，直到我对上述问题作了研究，让本书能够以完整的形式呈现为止。我已经把所有与月球运动相关的内容（因为并不完整）放在命题66中，以避免不得不用一种比主题本身更冗长的方法来提出和清楚地说明其中一些内容，也是为了不破坏与其他命题间的关联性。还有一些之后发现的内容，我选择穿插放在书中一些并不太合适的位置，并没有更改命题和引用的序号。我衷心希望读者能够公正阅读本书的内容。并且鉴于本书所讨论的内容如此之难，其中谬误与其说受到批判，不如说受到善意的补充，并由读者对这些谬误加以斧正。
艾萨克·牛顿
剑桥，三一学院

★如果一定要举出某个人、某一天作为近代科学诞生的标志，我选牛顿的《自然哲学的数学原理》在1687年出版的那一天。                                    
 ——杨振宁
★至今还没有可能用一个同样无所不包的统一概念，来替代牛顿的关于宇宙的统一概念。要是没有牛顿的明晰的体系，我们到现在为止所取得的收获就会成为不可能。                                             
 ——爱因斯坦
★牛顿由于发现了万有引力定律而创立了天文学，由于进行了光的分解而创立了科学的光学，由于创立了二项式定理和无穷级数理论而创立了科学的数学， 由于认识了力学的本性而创立了科学的力学。                                
——恩格斯    

求物体在任意种类向心力作用下的轨道
命题40　定理13
如果某一物体在任意向心力的作用下，以任意方式进行运动，同时，另一物体沿直线上升或下落，那么，当它们处在一个相同高度时，它们的速度相等，并且在所有的相等高度上，它们的速度也相等。
设物体从点A下落，经过点D和点E到达中心C，而另一物体从点V沿曲线VIKk运动。以点C为中心，任意半径作同心圆DI、EK，且与直线AC相交于点D和E，与曲线VIK相交于点I和点K，作IC在点N与KE相交，再作IK的垂线NT。假设这两个圆的间距DE或IN非常小，再假设物体在点D和点I速度相等，由于距离CD和CI相等，那么，在点D和点I的向心力也相等。这些向心力可用相等的线段DE和IN表示，根据运动定律的推论2，可将力IN分解为NT和IT两部分，而作用在直线NT方向的力NT则垂直于物体的路径ITK，在该路径上，这个力不会对物体的速度产生任何影响或改变，但会使物体脱离直线路径并不断偏离轨道切线，从而进入曲线轨道ITKk，这表明这个力只产生这样一种作用。而另一个力IT的作用则发生在物体的运动方向上，它将对物体的运动进行加速，在极短的时间内，因这个力产生的加速度与时间成正比（如果我们取刚出现的线段DE、IN、IK、IT和NT的初始比值）。因此，在相等的时间里，物体在点D和I产生的加速度与线段DE、IT成正比，在不相等的时间里，则与线段DE、IT和时间的乘积成正比。但因为物体在点D、I的速度相等，而且经过直线DE和IK的时间与距离DE和IK成正比，所以物体经过线段DE和IK的加速度之比等于DE、IT和DEIK的积，也就是DE的平方与IT和IK乘积的比。但由于IT×IK等于IN的平方，也就等于DE的平方，因此，物体从点D、I到E、K所产生的加速度也相等，在E和K的速度也同样相等。同理可知，之后只要距离相等，它们的速度也总是相等。由此得证。
同理，与中心距离相等且速度相等的物体，在向相等距离上升时，其减速的速度也相等。
推论1　因此，物体无论是悬挂在绳上摆动，还是被迫沿光滑平面做曲线运动，另一物体沿直线上升或下落，只要在某一相同高度它们有相同的速度，那么在其他所有相同高度上，它们的速度都相等。因为物体在悬挂物体的垂线上或在完全平滑的物品上运动时，它的横向力NT也会产生相同作用，但物体的运动不会因为它而产生加速或减速，只是使它偏离直线轨道。
推论2　设量P为物体由中心所能上升到的距离，即无论是摆动还是圆周运动，在曲线轨道上任何一个地方以该点的速度向上能终移动的距离；如果将量A作为物体从中心到轨道上任意点的距离，再使An-1与向心力始终成正比，其中指数n-1为任意数n减去1，那么，物体在任意高度A的速度将与成正比，而它们的比值也是固定的，因为根据命题39，这就是物体沿直线上升或下落的速度。

命题41　问题28
设指定向心力的类型和曲线的面积，求出物体运动的轨道和在轨道上的运动时间。
将任意向心力指向中心C，求出曲线轨道VIKk。已知一个给定圆VR的圆心为C、任意半径为CV。再由同一圆心作出另外两个任意圆ID和KE，并在点I和点K与曲线轨道相交，在点D和点E与直线CV相交。再作直线CNIX，在点N和点X与圆周KE、VR相交，作直线CKY，与圆VR在点Y相交。将点I向点K无限靠近，并使物体由点V通过I和K运动到点k。再设点A为另一物体从此下落的位置，并使其在位置D的速度与个物体在位置I的速度相等。下面采用命题39的方法求证：在极短时间内，物体所经过的短线段IK将与速度成正比，因此也和一条线段成正比（该线段的平方等于曲线围成的面积ABFD），所以与时间成正比的三角形ICK可确定，那么，当任意量Q指定后，高度IC等于A时，线段KN将与高度IC成反比，而与成正比。用Z代替量，并假设Q的大小在某种情况下使∶Z=IK∶KN，而ABFD∶ZZ=IK2∶KN2，由分比可得ABFD-ZZ比ZZ等于IN2比KN2，因此比Z（或）等于IN比KN；因此A×KN等于；
又因为YX×XC比A×KN等于CX2比AA，得乘积XY×XC=。因此，在垂线DF上取Db、Dc，使它分别等于和。以b和c为曲线ab、ac的焦点，由点V作直线AC上的垂线Va，切割曲线面积VDba和VDca，并作出纵标线Ez和Ex。由于Db×IN或DbzE面积等于A×KN的一半或等于三角形ICK面积；Dc×IN或DcxE等于YX×XC的一半或等于三角形XCY面积。因为面积VDba、VIC的新生极小量DbzE、ICK始终相等，区域VDca、VCX的新生极小量DcxE和XCY也始终相等。因此，由此产生的面积VDba也将和面积VIC相等，与时间成正比，而由此产生的面积VDca与产生的扇形面积VCX也相等。如果物体在任意指定时间内由点V开始运动，那么面积VDba与时间成正比也同样可确定，而物体的高度CD或CI也能确定，面积VDca、扇形VCX和其角VCI也都可以确定。那么，通过已经指定的角VCI、高度CI，就可求出物体后所在的位置。由此得证。
推论1　曲线轨道的回归点，即物体的高度和小高度可轻而易举求出。因为当直线IK和NK相等，即面积ABFD和ZZ相等时，由中心所作的直线IC经过这些回归点，并垂直于轨道VIK。
推论2　通过物体的指定高度IC，很容易就能求出曲线轨道在任意位置与直线IC的夹角KIN，亦即，使该角的正弦与半径的比为KN比IK，比值等于Z与面积ABFD比的平方根。
推论3　如果过中心C和顶点V，作一条圆锥曲线VRS，并在曲线上任意一点，例如R，作切线RT在点T与无限延长的轴CV相交。连接CR，作直线CP，使它与横标线CT相等，使角VCP与扇形VCR成正比。如果指向中心的向心力与从中心C到物体位置距离的立方成反比，并在位置V以一定速度沿垂直于直线CV的方向抛出一个物体，那么该物体将一直沿轨道VPQ运动，并总是与点P相切。如果圆锥曲线VRS为双曲线，则物体将会下落至中心处；如果为椭圆，物体将不断上升，后升到无限远。相反，如果物体以某速度离开位置V，而根据它是直接落向中心还是从此处倾斜上升，可确定图形VRS是双曲线或椭圆，并且还可以按指定比值增大或减小角VCP来求出该曲线轨道。如果向心力变成离心力，则物体将偏离轨道VPQ。如果角VCP与椭圆扇形VRC成正比，CP在长度上等于CT，则可解出该轨道。以上这些都能通过确定的曲线面积求出，计算方法也很简捷，因此不再赘述。