万千心理·心理统计学（第四版）

2009年首次问世以来，已历经三次的修订与完善。在过去的15年里，作者始终致力于结合教学实践、学科发展及读者反馈，对本书进行持续的优化和升级。本书也凭借其清晰的结构、丰富的实例和习题以及双色设计的亮点，赢得了广大读者的赞誉。

第四版向打造精品教材的目标迈出了一大步。第1，根据学习的规律，新增的“回顾”和“练习与思考”环节有助于读者巩固知识点并通过习题加深思考。第二，“知识导图”的引入能有效地帮助读者构建知识体系，强化对知识内在联系的理解。第三，全新的数据实验内容为读者提供了实践机会，借助统计软件实际操作各种统计方法，加深对统计思想的理解。第四，提供了本书几乎所有习题的答案。

在第四版中，有关抽样的内容已从原本的一节扩展为独立的一章，这无疑增强了内容的深度和广度。而原本的“多元分析初步”一章也已升级为“高阶心理统计学简介”，介绍了常见多元分析方法和贝叶斯检验。*后，值得一提的是，本书还支持教师根据各校实际需求灵活选择教学内容，这无疑增强了本书的适用性。

 

“以学生为中心，顺应学习规律”作为宗旨，系统介绍了心理统计学的理论基础、逻辑思路，以及每种统计方法的适用情况、具体操作和注意事项。本书充分考虑了学生的学习需要，设计了丰富的教学元素，做到了“课前便于自学理解，课中便于练习讨论，课后便于检索使用”。本书第四版新增的数据实验可供学生动手验证统计学知识，加深对统计思想的理解。

本书特色：

• 以掌握明确具体的学习目标为导向
• 以呈现脉络清楚的内容体系为原则
• 以辨析灵活多变的实践情境为指引

 

本书第四版新增：

• 知识导图，让复杂的统计学知识体系一目了然
• 数据实验，在积极参与统计实践的过程中深化对统计思想的理解

 

邵志芳

1985年毕业于华东师范大学心理学系并留校任教，1994年获得博士学位，长期从事认知心理学研究，并讲授心理统计学、认知心理学等课程。他曾在社会科学引文索引期刊和中文社会科学引文索引期刊上发表论文20余篇，著作有《心理与教育统计学》《认知心理学——理论、实验和应用（第三版）》《思维心理学（第二版）》《社会认知》等，译作有《基础与应用心理学》（Psychology, General and Applied）、《认知心理学（原著第六版）》（Cognitive Psychology, Sixth Edition）、《认知心理学（原著第八版）》（Cognitive Psychology, Eighth Edition）、《行为科学统计——从研究实践到思维培养（原著第九版）》（Fundamental Statistics for the Behavioral Sciences, Ninth Edition）。

第1章　统计学是一种思想方法

　1.1　心理现象是随机现象

　1.2　描述统计学与推断统计学

　1.3　统计学的基本概念

　1.4　心理统计学的基本内容和学习方法

　知识导图

　数据实验

　习题

 

第2章　数据和数据展示

　2.1　数据与数据的水平

　2.2　次数分布表

　2.3　次数分布图

　2.4　多变量图示法

　知识导图

　数据实验

　习题

 

第3章　常用特征量

　3.1　集中量

　3.2　差异量

　3.3　地位量

　3.4　偏态量和峰态量

　知识导图

　数据实验

　习题

 

第4章　概率基础

　4.1　概率

　4.2　概率的运算

　4.3　条件概率及其应用

　知识导图

　数据实验

　习题

 

第5章　概率分布

　5.1 二项分布

　5.2 正态分布

　5.3 其他常用分布

　知识导图

　数据实验

　习题

 

第6章　样本平均数的抽样分布

　6.1　单样本平均数的抽样分布

　6.2　两个样本平均数之差的抽样分布

　6.3　不放回抽样与有限总体修正系数

　知识导图

　数据实验

　习题

 

第7章　平均数的参数估计

　7.1　参数估计

　7.2　总体平均数的参数估计

　7.3　两总体平均数之差的参数估计

　知识导图

　数据实验

　习题

 

第8章　平均数的假设检验

　8.1　假设检验

　8.2　总体平均数的假设检验

　8.3　两总体平均数之差的假设检验

　8.4　相关样本平均数差异的假设检验

　8.5　功效函数和效应量

　知识导图

　数据实验

　习题

 

第9章　总体方差与总体比例的统计推断

　9.1　总体方差的统计推断

　9.2　总体比例的统计推断

　知识导图

　数据实验

　习题

 

第10章　方差分析

　10.1　方差分析的基本原理

　10.2　单因素方差分析（完全随机设计）

　10.3　多因素方差分析

　知识导图

　数据实验

　习题

 

第11章　相关分析

　11.1 相关与相关系数

　11.2 积差相关

　11.3 等级相关

　11.4 质量相关与品质相关

　11.5 复相关分析与偏相关分析

　知识导图

　数据实验

　习题

 

第12章　回归分析

　12.1　一元线性回归模型

　12.2　一元线性回归方程的检验

　12.3　一元线性回归方程的应用

　12.4　二元与多元线性回归模型

　12.5　曲线回归模型

　12.6　含定性自变量的回归分析

　知识导图

　数据实验

　习题

 

第13章　χ2检验

　13.1　χ2检验的基本概念

　13.2　单向χ2检验

　13.3　双向χ2检验

　13.4　相关样本的χ2检验

　知识导图

　数据实验

　习题

 

第14章　非参数检验

　14.1　单样本游程检验

　14.2　两个独立样本的非参数检验

　14.3　两个相关样本的非参数检验

　14.4　秩次方差分析

　14.5　随机化检验和自助抽样法

　知识导图

　数据实验

　习题

 

第15章　抽样技术

　15.1　抽样调查及其评价指标

　15.2　抽样方法

　15.3　必要样本容量

　知识导图

 

第16章　高阶心理统计学简介

　16.1　基本知识

　16.2　聚类分析

　16.3　判别分析

　16.4　探索性因素分析

　16.5　结构方程建模

　16.6　贝叶斯检验

　知识导图

 

附录一　自测试卷

　A卷

　B卷

　C卷

附录二　习题答案

附录三　统计用表

附录四　统计软件与论文写作

参考文献

本书主要统计方法总览图

致读者

2009年，中国轻工业出版社“万千心理”出版了拙作《心理统计学》。在不到3年的时间里，这本书受到了广泛欢迎，许多师生给了我热情的鼓励和有益的建议。2012年，在“万千心理”的支持下，本书第二版问世。在第二版的修订过程中，我又从多位长期从事心理统计学教学的老师那里获得了许多教益，他们分别是南京师范大学的邓铸老师、东北师范大学的王景英老师、首都师范大学的方平老师和曾在西南大学教授本课程的凤四海老师。在这里，再次向他们表示感谢！

2016年上半年，本书入选了华东师范大学精品教材建设专项项目，这意味着要对本书进行一次新的修订，也意味着本书又向着精品教材的目标迈进了一步。2017年1月，本书第三版出版发行。如今，本书迎来了第四版。

其实，这本书还有一个前身——《心理与教育统计学》，于2004年由上海科学普及出版社出版。当时的教材源于我从事心理统计学教学的需要，是根据执教学校的教学要求和学生特点编写的。所以算下来，我编写心理统计学教材的时间也有近20年了。

本书的特色

教材与其他书籍的根本区别在于是否以学生为中心，是否顺应学习的规律。面对尚未掌握相关知识的学生，教师应该根据学生的特点设置明确具体的学习目标、脉络清楚的内容体系和灵活多变的实践情境，而教材为教学双方提供基本教学材料，理应具备这三大要素。

第1，明确具体的学习目标——在学习每一章的具体内容之前，要为学习者构建一个目标系统。为此，本书每一章的开头都列出了该章的学习目标。描述学习目标的关键词主要有三个：了解、理解和掌握。了解是*浅层的学习，只要知道和记住书上是怎么讲的；理解是深层的学习，要求明白知识的来龙去脉，学到统计学的思想方法；掌握则是实践层面的学习，要求学生在面对多变的问题时能给出合理的解答。

正是为了“掌握”这个学习目标，本书第5—14章的“导读问题”分别展现了各章知识能解决什么样的实际问题。读者看到这些问题，就可以知道，对于搜集到的数据，统计学家会提出什么样的问题。学完每一章，再回过头来看这一章开头的这些问题，想想自己能否回答它们。如果读者看到这些问题就能说出应当采取何种方法解答，知道运用这些方法时需要注意些什么，学习的目标基本上就达到了。

第二，脉络清楚的内容体系——教学需要脉络清楚、循序渐进地呈现内容。本书对课程内容的编排以理清心理统计学的内容体系为原则，着重体现知识之间的联系，并将它们与在现实生活中的统计性思考对照。这样做的根本目的在于帮助学生弄清何种问题适合用何种统计学方法来求解。为了帮助读者更顺畅地阅读和使用本书，在各章开头都有“本章提要”，告知这一章的主旨和重点内容，说明该章能解决什么样的问题；各章*后又将重要知识点和公式等整理成知识导图。本书还特意在一些重点、难点处增加了一些方块贴士，它们有的是解释性的（帮助理解原理），有的是提示性的（联系前后内容，帮助记忆和思考），有的是警示性的（避免粗心造成的忽视和混淆），还有的是启发性的（阐述统计思想）。

第三，灵活多变的实践情境——帮助学习者掌握各种变式。心理统计学的实践性很强，只有不断地运用，才能熟练而灵活地掌握。为此，本书收录了大量例题和习题，并为绝大多数习题提供了参考答案（以方便自学者）。熟悉了这些例题和习题，今后遇到实际问题时，即使一时不能准确地选择统计分析方法，至少也可以凭借对题目的熟悉感选出可能找到介绍解法的大致章节。

当然，这不是在鼓励读者做大量的习题。相反，在认真完成了适量的习题后，读者更需要自身的统计实践。其实，无论是在生活还是工作中，只要你是一个有心人，就可以搜集到各种数据。针对这些数据，选用合适的统计方法加以分析，并与老师、同学、同事和朋友们分享分析结果。假以时日，你就会喜欢上统计学这门学科，并且逐渐能够灵活运用它。

本书的使用方法

教学的主要环节无非是课前预习、课堂讲练和课后复习。作为作者，我力求编写一本课前便于自学、课上便于讲练、课后便于检索的教材。

预习是学生锻炼自学能力的重要环节，更是学习心理统计学这一课程的必要环节。很多学生总是以为（或希望）上课听教师讲授一遍，就能掌握学科内容，可惜至少在统计学这门课上，这是难以实现的。本书力求便于自学理解，希望让学生在预习时相对轻松地了解自己将要面对的知识。

进行了较好的预习，教师在课堂上的讲解就可以多考虑激发学生的深层次学习，使得教学聚焦于重点、难点和学生容易忽视的要点，聚焦于知识间的联系，聚焦于知识和实践情境的关联。各章*后的知识导图是第四版的新元素，我期待它能帮助学生更清晰地整理和复习统计学的思路和知识体系，帮助学生在未来的统计实践中更迅速地找到合适的分析方法。

教学应兼顾不同类型和学习能力的学生，本书的编写原则之一就是兼顾读者的不同需要（初学、复习、考研准备、了解新方法、使用SPSS等软件、毕业论文数据处理等），引入丰富的教学性特征。各章的内容提要、导读问题、复杂概念辨析、易错之处提醒、各种方法之间的联系、例（习）题、知识导图以及附录中的自测试卷等，都是为有不同需要的学生准备的。只要你不是“学神”，这些特征就终有其用。

本书将教学内容分为基础部分和拓展部分（带“★”号的章节）。在课时紧张的情况下，除了可精简带“★”号的章节，还可以精简部分内容，例如条件概率、功效函数、关于总体比例的假设检验、多列相关、品质相关、偏相关分析、虚拟变量、科克伦Q检验、单样本游程检验、柯尔莫哥洛夫–斯米尔诺夫检验等。但是，建议不要整章或大范围地删减。例如，如果完全略去“非参数检验”，学生将来遇到计量水平低的数据时，可能连思考的方向都没有，或者用错了统计方法也意识不到。

本书不少地方提到，统计学者对某些问题的观点是有分歧的。例如，有些统计学者认为，不同数据水平的数字之间可以自由进行任何数学运算，而不是像多数统计学者所认为的——不同水平对应不同的数学运算。对于这样一些分歧，学生只需作为拓展内容加以了解，无须记忆和掌握，而且在做作业和考试时，还是要严格按照教材表述作答，不宜各行其是。

关于统计软件，特别提醒一下初学者：在完整掌握统计学基本理论体系之前，*好不要对软件形成依赖，否则很容易在复杂的数据面前选错统计方法。其实，在扎实地掌握基本原理、了解相关术语的英文表述之后，学习统计软件的效率极高，几乎可以无师自通。

教师如需其他教辅材料，请与“万千心理”编辑部联系，邮箱是[email protected]。

关于数据实验

数据实验是本书第四版的新元素。本书在第1—14章的末尾都增加了“数据实验”这一小节，其目的是指导学习者开展第1章所言的“积极参加统计实践”。

数据实验和理科类实验一样，可以用来验证甚至拓展学科知识。完成本书的数据实验，可以看到改变数据特征后会产生什么结果，进而比较各种统计分析方法的适用条件，了解统计学可以从这些数据中萃取哪些信息，获得什么结论。期待这一实践能帮助学生更深刻地认识统计学原理。

当然，数据实验不是规定的学习内容，它是为了帮助读者深刻地理解统计学的数据处理方法而设计的，可以选学选做。而且，本书设计的数据实验涉及大量SPSS操作，但是限于篇幅，书中仅给出与这些操作相对应的代码，学习者执行这些代码可获得完全相同的效果。如果在教师的指导下使用软件进行数据实验，效果可能更好。

第四版的其他变动

前几版中每一章开头的“本章主旨”和“本章要点”在第四版中合并为“本章提要”，紧随其后的就是前面提到的“学习目标”。

在前14章中，在作者认为读者可以停下来复习前段内容时，设置了“回顾”以及“练习与思考”环节，要求读者回顾重要概念，并完成与上述内容相对应的习题。这样或许多少有助于掌握进度节奏，避免某些心急的读者囫囵吞枣，不得要领，事倍功半。

各章原来的附录有较大变动：“知识导图”取代了前几版中的“本章术语”。知识导图重在展现整个知识体系，让读者加深对各个知识点之间关系的认识。

全书*后放了一幅总览图，它体现了不同应用情境下对应的主要统计分析方法，以及相应内容所在的章节，可供读者复习和检索。

本书第15、16章为选学内容。第15章由前几版中的第6章第6.1节扩展而来，比较系统地介绍了抽样的基本概念、方法和必要样本容量（*小样本量）的计算等内容。第三版中的第15章，在第四版中排在第16章，标题改为“高阶心理统计学简介”。这一章不仅概括地介绍了常见的多元分析方法，还简单说明了与传统假设检验相反相成的贝叶斯检验的基本思想。这两章为选学内容，不设导读问题、习题和数据实验等。

前几版中的习题只给出了部分参考答案，这一版几乎给出了所有习题的答案，以便自学；只有少数可以对照书本内容回答的习题未给出答案。部分章节的习题数量也有大幅增加。

本次修订对文字表达也做了许多处修改，力求严谨、简洁、顺畅。

致谢

在本书第四版面世之际，我要感谢各位读者多年来对本书的支持和关注。读者的需要是我编写和修订本书的力量源头。

我还要感谢本书第1版的编辑高小菁、徐玥，尤其要感谢从第二版至第四版的编辑孙蔚雯。她们的支持和努力帮助本书日趋完善。

*后，感谢我的学生陆静、王健、赵娟、余岚、程陶、杜逸旻、徐笑含、张盈琤和彭晓琴等人在本书成书过程中的细致纠错，以及在写作过程中来自家人的支持。

 

邵志芳

2023年2月9日

于华东师范大学

第5章　概率分布

 

本章提要

间断变量*常见的概率分布是二项分布，连续变量*常见的概率分布是正态分布。

二项分布是若干次二项试验中不同成功次数对应的概率。

正态分布的特点和标准正态分布表。

正态分布有许多重要的应用，是许多非正态分布的极限分布形式。

t分布是重要的概率分布之一，用于小样本问题。

χ2分布和F分布的定义及查表方法。

泊松分布和指数分布的定义。

 

学习目标

理解二项试验的特点，能判断何种试验属于二项试验。

理解二项分布的定义和计算公式，能计算二项试验不同成功次数对应的概率。

理解二项分布在测验工作中的应用。

理解间断变量和连续变量的概率分布的差异。

理解正态分布和标准正态分布的定义，掌握标准正态分布表的用法。

理解正态分布的特点和简单应用。

理解t分布的定义和特点，掌握t分布表的用法。

理解自由度的含义和确定自由度的一般方法。

了解χ2分布和F分布的定义及特点，掌握χ2分布表和F分布表的用法。

了解泊松分布和指数分布的定义。

 

导读问题

在第2章中，我们研究了次数分布表和次数分布图的制作方法。在长期的统计实践中，人们还发现，许多随机变量的分布是有规律可循的。例如，抛掷n次硬币，其中X次正面朝上的概率服从二项分布；凭猜测做n道是非题或选择题，做对X道题的概率也服从二项分布；身高、体重、学习成绩和智力水平等都服从正态分布。

从本章开始，各章开头的“导读问题”都会列出该章所针对的实际问题。解决这些实际问题就是各章*终的学习目标。为了更好地构建学习目标系统，请读者先仔细观察这些问题的组成要素，比较各个问题的异同（包括比较各章问题的异同），然后结合本章“学习目标”考察不同问题所对应的统计分析方法，了解要解决不同的问题必须知道什么、会做什么以及应当注意什么。

本章的目标是解决以下问题。

 

问题一：一位心理学家为了了解儿童对某种材料的再认能力，设计了若干识记项目，并对一个儿童进行再认测验。结果发现，如果将5个识记过的旧项目与5个未识记过的新项目混在一起，该儿童能正确指出其中5个项目是新的还是旧的，另5个则回答错误。问：该儿童对这种材料究竟有没有再认能力？

先介绍一下再认测验。它的一般方法是让参试者识记若干个项目，然后将这些项目与未识记过的项目混合起来，让参试者辨认哪些是识记过的项目；正确辨认的项目数就是参试者成绩的观察值。乍一看，本题中的这位儿童对这种材料似乎有很强的再认能力。因为在10个项目中，他认对了50%。但是且慢，我们很快就发现了问题：即使完全凭瞎猜，猜对的概率也有50%。所以，我们只能说，10个项目认对了50%，完全可能是瞎猜的结果。因此，可以认为该儿童对这种材料没有什么再认能力。而问题一的要求是设定一个标准，即认对多少个项目才算有再认能力。由于儿童认对的项目数是间断变量，他的每次辨认都是一次二项实验，所以这个问题需要用二项分布的相关知识求解。

 

问题二：某心理学研究所编制了一个智力测验，从全市各大学中随机挑选1000名大学新生进行测试。假设测试的结果是1000名新生的得分呈正态分布，平均分为75，标准差为10。现有某参试者原始成绩为85分。问：该生是否智力超常？

这个问题至少涉及两个方面：第1，85分仅仅是一个原始分数，它在整个新生人群中的位置（百分等级）是多少？第二，智力超常的标准是什么？由于智力呈正态分布，所以这个问题需要用正态分布的相关知识求解。

本章还介绍了t分布、χ2分布和F分布，但是仅介绍了它们的密度函数和查表方法，相关的实际问题要到后面的章节才会出现。泊松分布和指数分布在心理学研究中用得较少，但也需要了解其基本概念。

 

 

5.1 二项分布

5.1.1 间断变量的概率分布

二项分布是间断变量的概率分布的*常见形式。在学习之前，需要先了解间断变量的概率分布是怎么一回事。

间断变量X的取值可以表示为{X = xi}(i = 1, 2, …)，取这些值的概率可以记为pi = P{X = xi}(i = 1, 2, …)。如果将间断型随机变量X的取值及其相应的概率列成表格，就得到了一个概率分布表（见表5.1.1）。

……

 

在例题4.1.2中，连续抛掷3枚硬币可以产生8种随机事件：Ω = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}。令X表示正面朝上（H）的次数，则X就是一个间断型随机变量，因为其取值只有4种情况：{X = 0, 1, 2, 3}。这4种情况及它们所对应的概率可以列为一个概率分布表（见表5.1.2）。

……

 

概率分布表进一步可以画成概率分布图。例如，表5.1.2可以用图5.1.1来表示。

……

 

 

5.1.2 二项分布

 

5.1.2.1 二项试验

在本章导读问题一中，我们认为，10个项目认对了50%完全可能是瞎猜的结果。接下来要思考的问题是，认对多少个项目才算有再认能力呢？6个？7个？好像还是太少，因为只要瞎猜的时候运气稍微好一点，多猜对一两个项目也没什么稀奇的。8个？好像差不多了，因为单凭运气，成绩似乎不太可能那么好。如果对了9个甚至10个，我们就会很有把握地认为该儿童有再认能力，因为完全凭猜测答对9~10个项目的可能性很小。

上面说的都是“感觉”。统计学家不能凭感觉说话，于是就要研究类似上述情况的问题有没有数量规律性，以便找出一个数字标准：超过这个标准，就认为他有再认能力；否则就认为他没有再认能力。这就要引入二项试验这一概念。

满足以下条件的试验被称为二项试验（或称伯努利试验）：

一次试验只有两种可能的结果，即“成功”和“失败”（引号表示这不是平常意义上的成功或失败，只是说明两种结果或状态而已）；

■试验可以在同样的条件下重复进行；

■试验的结果可以用计数来表示成功或失败的次数；

■各次试验中成功的概率p相同，失败的概率q也相同，且p q = 1；

■各次试验的结果互不影响，相互独立。

 

回到本章导读问题一。进行再认测验时，参试者每对一个测验项目做出反应（“识记过”或“未识记过”），都只有两种可能的结果：认对（成功）和认错（失败）。可以让参试者重复进行多个项目的测试，例如连续测10个项目，计算认对和认错的次数；而且，在采取措施排除了记忆的序列位置效应后，我们就可以认为各个项目认对的概率相等，认错的概率也相等；*后，参试者对任何一个项目的再认都不影响他对其他项目的再认。这些都符合二项试验的条件，因此我们可以认定，上述例子中讲的再认测验在统计学上就是一种二项试验。

 

5.1.2.2 二项分布

重复进行n次二项试验，成功的次数可以从0到n不等。不同的成功次数x所对应的概率也可能是不一样的。我们把重复进行n次二项试验后，不同成功次数x所对应的概率分布称为二项分布。

【例题5.1.1】一名学生完全凭猜测答2道是非题。问：答对0, 1, 2道题的概率是多大？如果共有3道题、4道题呢？

解：先列出答对题目与答错题目的各种组合，再列表说明答对不同题数的可能结果数目和概率。

2道是非题的情况（√表示答对，×表示答错）：××；√×，×√；√√。

……

 

3道是非题的情况：×××；√××，×√×，××√；√√×，√×√，×√√；√√√。

答对题数 可能结果 概率

…… 

 

4道是非题的情况：××××；√×××，×√××，××√×，×××√；√√××，√×√×，√××√，×√√×，×√×√，××√√；√√√×，√√×√，√×√√，×√√√；√√√√。

……