数字信号处理——理论、算法与实现（第四版）

本书是信号处理领域的一本经典教材，自1997年初版以来，内容千锤百炼不断更新。本书内容丰富，既包含了经典数字信号处理和统计数字信号处理中的主要内容，也包含了部分前沿内容；编写中注重理论和应用相结合，特别注重应用MATLAB来解决理论和算法的实现问题。通过本书的学习，读者可以掌握数字信号处理的主要内容。

本书系统地介绍了数字信号处理的理论、相应的算法及这些算法的软件与硬件实现。全书共16章，分为上、下两篇。上篇是经典数字信号处理的内容，包括离散时间信号与离散时间系统的基本概念、Z变换及离散时间系统分析、离散傅里叶变换、傅里叶变换的快速算法、离散时间系统的相位与结构、数字滤波器设计（IIR、FIR及特殊形式的滤波器）、信号的正交变换（正交变换的定义与性质、K-L变换、DCT及其在图像压缩中的应用）、信号处理中若干典型算法（如抽取与插值、子带分解、调制与解调、反卷积、SVD、独立分量分析及同态滤波）、数字信号处理中的有限字长问题及数字信号处理的硬件实现等；下篇是统计数字信号处理的内容，包括平稳随机信号的基本概念、经典功率谱估计、参数模型功率谱估计、维纳滤波器及自适应滤波器等。

胡广书：清华大学生物医学工程系教授，博士生导师，信号处理领域专家。著有《现代信号处理教程》等多本畅销教材。

绪论1
0.1数字信号处理的理论1
0.2数字信号处理的实现3
0.3数字信号处理的应用4
0.4关于数字信号处理的学习4
上篇经典数字信号处理
第1章离散时间信号9
1.1关于信号9
1.2典型连续时间信号14
1.3典型离散时间信号19
1.4离散时间信号的运算23
1.5信号的分类28
1.6噪声31
1.7确定性信号的相关函数32
1.7.1相关函数的定义34
1.7.2相关函数的性质36
1.7.3相关函数的应用36
1.8信号的时域分析38
1.9信号的频域分析40
1.10信号空间的基本概念45
1.11关于MATLAB48
1.12与本章内容有关的MATLAB文件50
小结56
习题与上机练习57第2章离散时间系统及Z变换62
2.1离散时间系统的基本概念62
2.2离散时间系统的输入输出关系68
2.3差分方程的时域求解73
目录数字信号处理——理论、算法与实现（第四版）
2.4单位抽样响应的时域求解81
2.5Z变换的定义82
2.6Z变换的收敛域85
2.7Z变换的性质90
2.8逆Z变换97
2.9离散时间系统的转移函数101
2.10用Z变换求解差分方程102
2.11LSI系统的信号流图与结构104
2.12与本章内容有关的MATLAB文件109
小结112
习题与上机练习112第3章离散时间信号的频域分析117
3.1连续时间信号的傅里叶变换118
3.1.1连续周期信号的傅里叶级数118
3.1.2连续非周期信号的傅里叶变换119
3.1.3傅里叶级数和傅里叶变换的区别与联系121
3.1.4关于傅里叶变换的进一步解释124
3.2离散时间信号的傅里叶变换(DTFT)125
3.2.1DTFT的定义125
3.2.2DTFT的性质127
3.2.3关于DTFT存在的条件132
3.2.4一些典型信号的DTFT134
3.2.5信号截短对DTFT的影响137
3.3连续时间信号的抽样141
3.3.1抽样定理141
3.3.2信号的重建144
3.4离散时间周期信号的傅里叶级数145
3.5离散傅里叶变换(DFT)147
3.5.1DFT的定义147
3.5.2DFT导出的图形解释148
3.5.3DFT与DTFT及Z变换的关系150
3.5.4DFT的性质151
3.6用DFT计算线性卷积156
3.6.1用DFT计算线性卷积的方法和步骤156
3.6.2长序列卷积的计算158
3.7与DFT有关的几个问题159
3.7.1频率分辨率及DFT参数的选择159
3.7.2补零问题163
3.7.3DFT对FT的近似164
3.8关于正弦信号抽样的说明169
3.9二维傅里叶变换171
3.10希尔伯特变换177
3.10.1连续时间信号的希尔伯特变换177
3.10.2离散时间信号的希尔伯特变换180
3.10.3希尔伯特变换的性质181
3.11信号频域分析应用举例182
3.11.1“物理上存在的傅里叶变换器”——磁共振成像原理简介182
3.11.2浅谈傅里叶变换在光学领域的应用184
3.11.3数字助听器中的移频算法186
3.12与本章内容有关的MATLAB文件189
小结193
习题与上机练习193第4章离散时间系统的频域分析199
4.1LSI系统的频率响应199
4.2滤波的概念201
4.3LSI系统的极零分析202
4.4LSI系统的相频响应211
4.5FIR系统的线性相位特性214
4.6具有线性相位特性的FIR系统的零点分布217
4.7全通系统219
4.8最小相位系统222
4.9谱分解226
4.10FIR系统结构的进一步讨论228
4.11LSI系统的Lattice结构230
4.12与本章内容有关的MATLAB文件237
小结242
习题与上机练习243第5章快速傅里叶变换247
5.1概述247
5.2时间抽取(DIT)基2 FFT算法249
5.2.1算法的推导249
5.2.2算法的讨论251
5.3频率抽取(DIF)基2 FFT算法254
5.4进一步减少运算量的措施256
5.4.1多类蝶形单元运算256
5.4.2W因子的生成257
5.4.3实输入数据时的FFT算法258
5.5基4算法与分裂基算法258
5.5.1频率抽取基4 FFT算法258
5.5.2分裂基算法259
5.6线性调频Z变换（CZT）265
5.6.1CZT的定义265
5.6.2CZT的计算方法267
5.7Goertzel算法268
5.8与本章内容有关的MATLAB文件273
小结275
习题与上机练习276第6章无限冲激响应数字滤波器设计278
6.1滤波器的基本概念278
6.1.1滤波器的分类278
6.1.2滤波器的技术要求280
6.2模拟低通滤波器的设计282
6.2.1概述282
6.2.2巴特沃思模拟低通滤波器的设计283
6.2.3切比雪夫Ⅰ型模拟低通滤波器的设计286
6.3模拟高通、带通及带阻滤波器的设计291
6.3.1模拟高通滤波器的设计292
6.3.2模拟带通滤波器的设计293
6.3.3模拟带阻滤波器的设计295
6.4用冲激响应不变法设计IIR数字低通滤波器297
6.5用双线性Z变换法设计IIR数字低通滤波器300
6.6数字高通、带通及带阻滤波器的设计304
6.7与本章内容有关的MATLAB文件308
小结312
习题与上机练习313第7章有限冲激响应数字滤波器设计315
7.1FIR数字滤波器设计的窗函数法315
7.2窗函数323
7.3FIR数字滤波器设计的切比雪夫逼近法327
7.3.1切比雪夫最佳一致逼近原理328
7.3.2利用切比雪夫逼近理论设计FIR数字滤波器328
7.3.3误差函数E(ω)的极值特性332
7.3.4线性相位FIR数字滤波器4种形式的统一表示335
7.3.5设计举例338
7.4滤波器阶次的估计341
7.5平均与平滑滤波器342
7.6梳状滤波器344
7.7滤波器设计小结346
7.8与本章内容有关的MATLAB文件347
小结353
习题与上机练习353第8章信号处理中常用的正交变换356
8.1希尔伯特空间中的正交变换356
8.1.1信号的正交分解356
8.1.2正交变换的性质359
8.1.3正交变换的种类360
8.2KL变换361
8.3离散余弦变换(DCT)与离散正弦变换(DST)364
8.3.1DCT的定义364
8.3.2DCT和KL变换的关系365
8.3.3DST简介367
8.3.4DCT及DST定义的导出369
8.4DCT的快速算法371
8.5图像压缩简介372
8.5.1图像的基本概念373
8.5.2图像压缩的基本概念374
8.5.3图像压缩国际标准简介380
8.6重叠正交变换382
8.7与本章内容有关的MATLAB文件385
小结387
习题与上机练习387第9章信号处理中的若干典型算法390
9.1信号的抽取与插值390
9.1.1信号的抽取391
9.1.2信号的插值394
9.1.3抽取与插值相结合的抽样率转换396
9.2信号的子带分解及滤波器组的基本概念400
9.3窄带信号及信号的调制与解调404
9.3.1窄带信号404
9.3.2信号的调制与解调407
9.3.3窄带信号的抽样410
9.4逆系统、反卷积及系统辨识411
9.5奇异值分解415
9.6独立分量分析简介419
9.7倒谱及同态滤波的概念与应用422
9.8与本章内容有关的MATLAB文件427
小结432
习题与上机练习432第10章数字信号处理中有限字长影响的统计分析435
10.1量化误差的统计分析436
10.2量化误差通过LSI系统的统计分析439
10.3IIR系统系数量化对系统性能的影响441
10.4FIR系统系数量化对系统性能的影响444
10.5乘法运算舍入误差对系统性能影响的统计分析446
10.5.1IIR系统中的极限环振荡现象446
10.5.2IIR系统中乘法运算舍入误差的统计分析447
10.5.3FIR系统中乘法运算舍入误差的统计分析452
10.6DFT运算中舍入误差的统计分析453
小结454
习题与上机练习454第11章数字信号处理的硬件实现456
11.1DSP微处理器概述456
11.1.1DSP处理器在结构上的主要特点457
11.1.2DSP处理器的发展趋势460
11.2评价DSP性能的几个主要指标461
11.3TI DSP产品的路线图462
11.3.1TI公司早期的DSP产品463
11.3.2TI DSP的主流产品463
11.3.3TI公司近十年的DSP产品466
11.4基于FPGA的数字信号处理系统467
小结470
下篇统计数字信号处理
第12章平稳随机信号473
12.1随机信号及其特征描述473
12.1.1随机变量473
12.1.2随机信号及其特征的描述477
12.2平稳随机信号描述480
12.2.1平稳随机信号的定义480
12.2.2平稳随机信号的自相关函数481
12.2.3平稳随机信号的功率谱483
12.2.4一阶马尔可夫过程485
12.3平稳随机信号通过线性系统486
12.4平稳随机信号的各态遍历性489
12.5信号处理中的最小平方估计问题494
12.5.1确定性信号处理中的最小平方问题494
12.5.2随机信号参数的最小均方估计496
12.6估计质量的评价497
12.7功率谱估计概述498
12.8与本章内容有关的MATLAB文件501
小结503
习题与上机练习504第13章经典功率谱估计507
13.1自相关函数的估计507
13.1.1自相关函数的直接估计507
13.1.2自相关函数的快速计算511
13.2经典功率谱估计的基本方法512
13.2.1直接法512
13.2.2间接法513
13.2.3直接法和间接法的关系513
13.3直接法和间接法估计的质量516
13.3.1M=N-1时的估计质量516
13.3.2M13.4直接法估计的改进522
13.4.1Bartlett法523
13.4.2Welch法524
13.4.3Nuttall法526
13.5经典功率谱估计算法性能的比较527
13.6短时傅里叶变换529
13.7与本章内容有关的MATLAB文件533
小结535
习题与上机练习535第14章现代功率谱估计537
14.1平稳随机信号的参数模型537
14.2AR模型的正则方程与参数计算539
14.3AR模型功率谱估计的性质及阶次的选择545
14.3.1AR模型功率谱估计的性质545
14.3.2AR模型阶次的选择550
14.4AR模型的稳定性及对信号建模问题的讨论551
14.4.1AR模型的稳定性551
14.4.2关于信号建模问题的讨论554
14.5关于线性预测的进一步讨论558
14.6AR模型系数的求解算法562
14.6.1自相关法563
14.6.2Burg算法564
14.6.3改进的协方差方法566
14.7MA模型及功率谱估计568
14.7.1MA模型及其正则方程568
147.2MA模型参数的求解方法569
14.8ARMA模型及功率谱估计571
14.9最小方差功率谱估计(MVSE)573
14.10基于矩阵特征分解的频率估计及功率谱估计576
14.10.1相关阵的特征分解576
14.10.2基于信号子空间的频率估计及功率谱估计577
14.10.3基于噪声子空间的频率估计及功率谱估计577
14.10.4信号与噪声子空间维数的估计582
14.11现代功率谱估计各种算法性能的比较582
14.12与本章内容有关的MATLAB文件585
小结588
习题与上机练习589第15章维纳滤波器592
15.1前言592
15.2平稳随机信号的线性最小均方滤波592
15.3FIR维纳滤波器594
15.4IIR维纳滤波器597
15.5非因果维纳滤波器601
15.6与本章内容有关的MATLAB文件603
小结604
习题与上机练习604第16章自适应滤波器606
16.1前言606
16.2误差性能曲面及最陡下降法607
16.2.1误差性能曲面608
16.2.2最陡下降法609
16.3LMS算法610
16.3.1LMS算法的导出610
16.3.2LMS算法的性能分析612
16.3.3改进的LMS算法617
16.4RLS算法619
16.4.1RLS算法的导出620
16.4.2RLS算法性能分析622
16.5自适应滤波器的应用623
16.5.1系统辨识624
16.5.2自适应噪声抵消627
16.5.3自适应预测628
16.5.4通道的自适应均衡630
16.6与本章内容有关的MATLAB文件633
小结637
习题与上机练习637附录本书所附资源640索引641参考文献646

在数字化的信息社会，作为其基础理论之一的“数字信号处理”的重要性是不言而喻的，其显著标志是国内外高校中开设该课程的专业越来越多。
本书是笔者在清华大学为研究生开设“数字信号处理”课程所使用的教材。本书第一版出版于1997年，尔后不断修改，直至如今奉献给读者的第四版。修改的原因主要有两点: 一是数字信号处理的理论在不断发展；二是使用本书的老师和同学在过去的25年里不断给笔者反馈意见和建议。我深深地感谢这些老师和同学们，他们的意见和建议是我不断完成新版的最大动力。
再版后的本书力求在详尽论述数字信号处理基础理论的同时，更多地反映该学科的新进展，同时，在内容的安排上也更多地考虑如何有利于教学和读者的自学。为此，相对于第三版，本书在章节安排和内容选取乃至一些论述的细节上都做了较大的改动。
数字信号处理的理论非常丰富。笔者认为，其理论总体上可以分为三大部分，即经典数字信号处理(classical digital signal processing)、统计(statistical)数字信号处理和现代(modern或advanced)数字信号处理。经典数字信号处理包括离散时间信号和离散时间系统分析、Z变换、DFT、FFT、IIR和FIR及一些特殊形式的滤波器设计、有限字长问题及数字信号处理的实现等。经典的内容自然是重要的和相对成熟的。本书把这一部分内容列为“上篇”，即第1～11章。统计数字信号处理研究的对象是随机信号。我们在自然界所遇到的物理信号都是随机的，所以研究随机信号的分析和处理是非常重要的。对这一类信号研究的方法主要是统计的方法，或“估计”的方法，其内容包括随机信号的描述、平稳随机信号、自相关函数的估计、经典功率谱估计和现代功率谱估计、维纳滤波和自适应滤波等。本书将这些内容列为“下篇”，即第12～16章。
现代数字信号处理的“现代”一词比较模糊，理论上说应该是新内容，但不同的教科书赋予其不同的内容。例如，基于参数模型的功率谱估计都称为“现代功率谱估计”，维纳滤波器和自适应滤波器也称为“现代滤波器”。此处所说的“现代信号处理”指的是非平稳信号分析和处理，主要内容包括时频联合分析、滤波器组、小波变换及压缩感知等。笔者已将这一部分内容放在了拙著《现代信号处理教程》(清华大学出版社，第二版，2015年)中。
尽管数字信号处理的理论异常丰富，但它有两个核心的内容，即“信号”和“系统”，它们各自又包含“时域”和“频域”两方面。因此，再版后本书的前4章紧紧围绕着“信号的时域”“系统的时域”“信号的频域”及“系统的频域”四大板块展开了详细和深入的讨论。这4章共包括48小节，近100道例题，110多道习题和30多个MATLAB文件。笔者所有的这些努力都是希望读者能更快、更好地掌握数字信号处理中最重要也是最基础的内容。
第1章介绍离散时间信号的基本概念，包括典型离散信号及其运算、信号分类、噪声、相关函数的定义及应用、信号时域分析、信号频域分析的基本概念及信号空间等。
数字信号处理——理论、算法与实现（第四版）前 言第2章介绍离散时间系统的基本概念，包括系统的描述、输入输出关系、系统的属性及差分方程的求解。Z变换是离散时间系统分析与综合的重要工具，本章给出了Z变换的定义、收敛域、性质、应用及系统的信号流图。
第3章讨论离散时间信号的频域分析，核心内容是离散时间信号傅里叶变换(DTFT)和离散傅里叶变换(DFT)，并就其中的基本问题(如信号截短、周期卷积、分辨率、时宽带宽积及DFT对FT的近似等问题)进行了详细的论述。本章最后介绍了信号处理中的另一个基本变换，即希尔伯特变换。
第4章是离散时间系统的频域分析，包括系统频率响应、转移函数、极零分析、线性相位、全通系统、最小相位系统、谱分解及离散系统的Lattice结构等。
第5章详细介绍了快速傅里叶变换(FFT)的各种算法，包括基2FFT算法、分裂基算法及频域细化的CZT算法。最后介绍了Goertzel 算法，该算法在双音多频(DTMF)信号的快速准确检测中获得了广泛应用。
第6、7两章集中讨论数字滤波器的设计问题。前者讨论IIR滤波器的设计，后者讨论FIR滤波器的设计，并简要介绍了一些特殊形式滤波器的设计问题。
正交变换的概念在数字信号处理中具有重要作用，因此第8章对其进行了详细的讨论，其重点是在语音和图像中广泛应用的离散余弦变换(DCT)。为使读者了解这些正交变换的应用，还增加了图像压缩的内容。
前8章系统地讨论了有关信号处理理论，在此基础上，选择了信号处理中的7个典型算法在第9章给予介绍，目的是让读者了解和掌握更多的信号处理的内容以及它们应用的背景。这些算法是: 信号的抽取与插值、信号的子带分解、调制与解调、反卷积、奇异值分解、独立分量分析及同态滤波等。它们有的是经典内容，有的是近20年来新发展的内容。 
第10章是关于数字信号处理中有限字长问题。尽管使用高精度的A/D转换器可以大大减轻有限字长所带来的误差及其影响，但是，有限字长问题毕竟是数字信号处理中的基本问题，特别是当用硬件来具体实现一个数字系统时，掌握这些误差的行为、了解它们对系统的影响是每一位设计者所必须考虑的。
第11章以美国TI公司的TMS320系列DSP为例介绍了DSP芯片的特点及应用，同时还介绍了FPGA在信号处理中的优势。
下篇的第12～16章讨论随机信号的统计处理。第12章主要讨论了平稳随机信号的定义、性质、描述及通过线性系统的行为。第13章主要讨论经典功率谱估计问题，包括自相关函数的估计、功率谱估计的周期图法与自相关法、估计的性能及改进方法，并介绍了短时傅里叶变换。现代功率谱估计是近40年来信号处理学科中最为活跃的内容之一，因此第14章讨论了这一领域的主要内容，即参数模型法，包括AR、MA及ARMA模型，还简要介绍了非参数模型法，如最小方差方法、基于特征值分解的谱估计方法。第15章讨论维纳滤波器。维纳滤波器已经有60多年的历史了，但它是所有现代滤波器(自适应滤波器、卡尔曼滤波器)的基础，并在持续应用。第16章重点讨论了LMS和RLS两种自适应滤波器，并介绍了它们的应用。
MATLAB是学习和应用数字信号处理的一个极好的工具。因此，本书1.11节简要介绍了MATLAB的功能，在各章(第10、11章除外)的最后一节都对该章所涉及的MATLAB文件给予了说明，并给出了使用的具体实例。通过MATLAB的应用，读者可以掌握应用MATLAB实现信号处理的方法，同时更深入地理解数字信号处理的理论。 
本书在清华大学出版社云平台“文泉云盘”上附配了一些资源，包括100多个用MATLAB程序编写的m文件、一些数据文件和做习题时所需的文献。获取方法见本书附录。
本书内容丰富，既包含了经典数字信号处理和统计数字信号处理中的主要内容，也包含了部分前沿内容；作者在编写过程中注重理论和应用相结合，特别注重应用MATLAB来解决理论和算法的实现问题。通过本书的学习，读者可以掌握数字信号处理的主要内容。
本书定位于理工科的研究生教材，也可供从事数字信号处理研究与应用的广大科技人员学习与参考。
笔者在授课时，讲完第1～14章共需48学时，因此，第15、16两章只是给以简要的介绍，更详细的讲授放在了“随机信号的统计处理”(现在的课程名称是“现代数字信号处理”)课程中。建议老师们在使用本书作为教材时，根据自己的学时、专业需要及选课学生情况等因素，选取要讲授的内容。
根据清华大学出版社的建议，本书第一篇的第1～8章及第11章即将单独成书——《数字信号处理》，定位于本科生教材。
作者在编写本书和承担清华大学研究生公共课“数字信号处理”的过程中得到了清华大学研究生院、生物医学工程系的关心与支持，在此表示衷心的感谢！
清华大学张旭东教授审阅了本书的第15、16章，并提出了很多非常有益的建议。在此对张旭东教授表示衷心的感谢！
黄悦、梁文轩、肖宪波三位博士编写了3.11节，他们从自己的学术角度举例介绍了信号频域分析的应用。张辉博士编写了11.4节。在此向这4位博士表示衷心的感谢！
在本书第一～四版的编著过程中，许燕、耿新玲、朱莉、汪梦蝶、张戈亮、王俊峰、劳长安、李晓娟、肖智魁、洪波、梁作清、丁辉、丁海艳、柳银、刘少颖、黄惠芳、赵龙莲、郭晓莲、朱常芳、彭美然、董晓霞和王新增等在协助本书习题和计算机程序的编写、绘图以及资料搜集等方面都做了大量的工作，在此一并表示感谢！
在编著本书及前3版的过程中，重点参考了［Pro14］、［Opp10］及［Mit01］这三部经典的数字信号处理教材。在此向这3部教材的第一作者Prof. John G. Proakis、Prof. Alan V. Oppenheim及Prof. Sanjit K. Mitra致以最衷心的感谢！
感谢夫人郭庆华50多年的陪伴、关心及鼎力支持！
限于作者的水平，不妥及错误之处在所难免，恳切希望读者给予批评指正。

作者
2023年6月