凸分析

凸分析的主要研究对象是欧氏空间中的凸集合和凸函数，以锥、次微分和对偶理论为核心, 建立了优化问题的*优性条件，并构建了现代非光滑和变分分析的基础. 《凸分析》共分三章：第 1 章主要介绍相关的基本概念和工具，包括欧氏空间、拓展实值函数、函数半连续性、包算子、仿射映射等；第 2 章聚焦于凸集和凸锥以及各自诱导的包算子，主要内容包括凸包、相对拓扑、锥近似、投影、Moreau 分解和分离定理等；第 3 章聚焦于凸函数，主要内容包括凸函数的仿射下界、Moreau 包络、连续性、对偶理论、次微分等.

目录
“现代数学基础丛书”序
前言
第1章 预备知识 1
1.1 欧氏空间 1
1.1.1 欧氏矩阵空间 3
1.1.2 欧氏空间中的导数 4
1.2 拓展实值函数 6
1.2.1 拓展的算术运算与拓展实值函数 7
1.2.2 函数的下半连续性 8
1.2.3 优化问题及其解的存在性 10
1.3 包算子 11
1.4 仿射集与仿射映射 12
习题 1 18
第2章 凸集与凸锥 20
2.1 凸集及其基本性质 20
2.2 凸包 21
2.3 凸集的拓扑性质 22
2.4 锥与凸集的锥近似 28
2.4.1 凸锥与锥包 28
2.4.2 切锥与法锥 32
2.4.3 地平锥与回收锥 35
2.5 到闭凸集上的投影 37
2.6 凸集的分离 40
2.7 分离定理的**结果 44
2.7.1 闭凸集的包络表示 44
2.7.2 Farkas 引理与 KKT 条件 45
2.7.3 Minkowski 定理 47
习题 2 48
第3章 凸函数 50
3.1 凸函数的定义及基本性质 50
3.1.1 保凸运算 53
3.1.2 可微凸函数 54
3.2 极小化问题与凸性 58
3.2.1 一般的存在性结果 59
3.2.2 凸极小化问题 60
3.3 凸函数的仿射下界 62
3.4 凸函数的卷积下确界 64
3.5 凸函数的连续性 70
3.6 凸函数的共轭. .72
3.6.1 函数的仿射逼近和凸包 72
3.6.2 共轭的基本性质 74
3.6.3 共轭的特殊情况 76
3.6.4 共轭的运算法则 82
3.7 Fenchel-Rockafellar 对偶. 86
3.8 凸函数的次微分 89
3.8.1 定义与基本性质 89
3.8.2 与方向导数的联系 93
3.8.3 可微函数的次微分 96
3.8.4 次微分的运算法则 98
习题 3 103
参考文献 106
“现代数学基础丛书” 已出版书目 108