代数学教程（第三卷.数论原理）

本书为《代数学教程》第三卷，主要讨论我们熟悉的那些数系：自然数集、整数环、有理数域、实数域、复数域，以及超复数等.编者从数学结构的角度出发，以新颖的论述方式讲述了每一种数系的构造(运算)及其性质，建立起了严格、系统的科学数系的逻辑过程.本书适合高等院校理工科师生及数学爱好者阅读.

第一章  自然数理论//1
§1  自然数  //1
1.1  数和数数  //1
1.2  自然数及其运算  //3§2  自然数的序  //8
2.1  最小数原理与数学归纳法  //8
2.2  归纳定义·若干个数的和与积  //11

§3  自然数的整除性理论  //17
3.1  自然数的整除性  //17
3.2  辗转相除法  //19
3.3  素数  //20
§4  自然数的公理  //24
4.1  自然数的公理系统  //24
4.2  自然数的运算  //25
4.3  关于自然数公理系统的评论  //32

§5  记数制度  //37
5.1  制度数  //37
5.2  研究在制度数上运算的方法·数的比较  //40
5.3  加法·减法  //43
5.4  乘法·除法  //47

5.5  从一个记数制度换到另一个  //51

第二章  整数环//56
§1  整数的定义  //56
1.1  算术和代数中的扩张原则·等价关系的基本定理  //56
1.2  整数环的定义  //59
1.3  整数的性质  //67§2  整数的整除性//71
2.1  整数的整除性理论  //71
2.2  不可分解的整数·整数的唯一分解定理  //75
2.3  半交换环  //77
第三章  有理数域//81
§1  有理数域的定义  //81
1.1  前言·有理数的定义  //81
1.2  有理数域的建立  //83
§2  有理数的性质  //88
2.1  有理数的性质  //88
2.2 n进有理数  //94
2.3  商域  //97
第四章  实数域//99
§1  实数域的第一种定义  //99
1.1  前言·连续性的第一种表述  //99
1.2  有理数域的不连续性·实数域的定义  //104

§2  实数域的戴德金构造  //110
2.1  分割集的序  //110
2.2  分割的加法运算  //113
2.3  分割加法的逆·减法运算  //115
2.4  分割的乘法运算  //118
2.5  分割的除法运算  //121
2.6  实数集R的密集性与连续性  //126

§3 实数域的第二种定义 //130

3.1 数列的极限·有理数域的不完备性 //130

3.2 连续性的第二种表述 //141

§4 实数域构造的康托方法 //145

4.1 实数域的定义及其性质 //145

4.2 实数域的构造//149

4.3 实数的性质 //157

§5 实数域的公理化定义 //168

5.1 实数域的公理化定义 //168

5.2 两种连续公理的统一 //174

§6 用小数书写实数 //180

6.1 基本定理·第一部分的证明//180

6.2 第二部分的证明 //186

§7 连分数理论 //193

7.1 引言·连分数的基本概念 //193

7.2 渐近分数 //196

7.3 无限连分数 //200

7.4 以自然数为元素的连分数 //204

7.5 用连分数表示实数 //207

7.6 渐近分数作为最佳逼近 //210

7.7 二次无理数和循环连分数 //217

7.8 连分数的几何解释 //219

第五章 复数域//222

§1 复数 //222

1.1 引言·复数域的定义 //222

1.2 复数域的构造 //225

§2 复数的性质 //229

2.1 复数的三角形式与几何表示法 //229

2.2 复数的开方 //235

2.3 共轭复数·复数的模//238

§3  超复数  //243
3.1  超复数系//243
3.2  四元数  //246
3.3  弗罗贝尼乌斯定理  //252
§4  复数的历史发展  //258
4.1  复数的起源  //258
4.2  复数的发展//260
第六章  代数数域//264
§1  代数数与超越数  //264
1.1  代数数与超越数  //264
1.2  数e和π的超越性·代数数域的可数性  //267
1.3  代数数的极小多项式  //274
1.4代数数的性质  //276
§2  高斯整数的整除性理论  //279
2.1  高斯整数环·高斯整数的整除性·高斯整数的范数  //279
2.2  高斯整数环的单位·高斯素数  //280
2.3  高斯整数的带余除法和最大公因数  //282
2.4  高斯整数的唯一因子分解  //286

§3  代数整数的整除性理论  //288
3.1  代数整数环  //288
3.2  有理数域上的代数数域  //291
3.3  代数数域的基底  //294
3.4  代数整数环中的算术  //298
3.5  二次代数整数的因子分解  //300

§4  理想数的唯一分解定理  //303
4.1  理想数的概念与乘法  //303
4.2  理想数的唯一分解定理及其应用//308

参考文献  //312