代数学教程（第五卷.多项式理论）

本书为《代数学教程》第五卷，主要讨论我们熟悉的那些多项式：一般域上的多项式、有理数域上的多项式、实数域上的多项式、复数域上的多项式以及多个未知量的多项式等.编者从数学结构的角度出发，以新颖的论述方式讲述了每一类多项式的构造及其性质，用代数观点来叙述全部理论.
本书适合高等院校理工科师生及数学爱好者阅读.

第一章  一般域上的多项式环//1
§1  多项式环//1
1.1  前言·多项式的基本概念  //1
1.2  多项式的相等与运算  //3
1.3  未知量x的代数解释  //6
1.4  多项式的次数和值  //11
§2  一元多项式环内的可除性及其性质  //15
2.1  一元多项式的可除性  //15
2.2  剩余除法的显式表示  //21
2.3  多项式的最大公因式  //26
2.4  分解多项式为不可约因式  //46

§3  多重因式的判定与分离  //54
3.1  多项式的导数  //54
3.2  多重因式的判定与分离//62
§4  以线性二项式为除式的除法·多项式的根  //67
4.1  多项式的根  //67
4.2  韦达公式  //75
4.3  推值法  //77

第二章  有理数域上的多项式环//82
§1  整系数多项式的性质·有理根的计算  //82
1.1  整系数多项式的性质·整系数多项式在有理数域上可约性与在整数环上可约性的一致性  //82
1.2  整系数多项式有理根的特征·有理根的计算  //87
1.3  整系数多项式不存在有理根的判定  //92
1.4  有理系数方程式的非有理根  //95
§2  有理数域上多项式的分解为不可约因子·不可约性判定  //98
2.1  二、三、四次多项式的分解为不可约因子的判定  //98
2.2  一般多项式分解为不可约因子的判定·克罗内克法则  //105
2.3  艾森斯坦判别法则//107
2.4  佩龙判别法则  //111
2.5 Brown-Graham判别法则  //113
第三章  实数域上的多项式环//118
§1  实数域上的多项式  //118
1.1  零点定理与洛尔定理  //118
1.2  有实根的实系数方程式  //124
§2  根的界限与根的定位法  //126
2.1  引言·根的界限  //126
2.2  斯图姆定理  //138
2.3  斯图姆定理的几何解释  //144
2.4  斯图姆一塔斯基定理  //149
2.5  关于实根数的其他定理  //155
§3  多项式的判别系统  //166
3.1  西尔维斯特第二矩阵与斯图姆一塔斯基序列的关系  //166
3.2  多项式的判别式序列·斯图姆一塔斯基序列变号数的计算  //177
3.3  多项式的根的判别系统  //182

§4  方程式的数字解法  //185
4.1  霍纳法  //185
4.2  拉格朗日法  //189
4.3  罗巴契夫斯基法  //196
第四章  复数域上的多项式环//206
§1  复数域上的多项式  //206
1.1  复数域上任意二次方程式的可解性  //206
1.2  根的存在定理  //208
1.3  代数基本定理  //213
1.4代数基本定理的第二个证明//218

§2  鲁歇一霍维茨定理  //229
2.1  鲁歇一霍维茨多项式  //229
2.2  鲁歇一霍维茨定理  //235
§3  复系数多项式的根的分布以及对系数的依赖关系  //237
3.1  复系数多项式的根的分布  //237
3.2  多项式的根对系数的依赖关系//240
3.3  病态方程式  //244
第五章  含多个未知量的多项式//248
§1  含多个未知量的多项式  //248
1.1  含多个未知量的多项式的基本概念  //248
1.2  多元多项式各项的字典排法255
1.3  多个未知量的多项式的值  //257
§2  含多个未知量的多项式的可除性理论  //259
2.1  多个未知量的多项式的可除性理论  //259
2.2  多项式的最大公因式//265
2.3  多元多项式可约性的判定  //270

§3  商域  //275
3.1  多项式环的商域  //275

3.2  商作为函数  //283
3.3  分解有理分式为简分式  //286
§4  对称多项式  //291
4.1  对称多项式  //291
4.2  对称多项式的补充注解298
4.3  对称有理分式  //299
4.4  等次的和·牛顿公式  //300
4.5  对两组未知量对称的多项式  //304
4.6  对称多项式在初等代数中的应用//305

§5  消去法理论  //312
5.1  结式  //312
5.2  结式的行列式表现法与结式的基本定理  //319
5.3  未知量的消去法  //326
5.4  判别式  //328
5.5  子结式与公因式  //331
5.6  矩阵的行列式多项式  //340
参考文献  //346