线性代数及其应用（原书第6版）

（1）线性代数经典教材全新升级！国内外数百所高校核心教材，中文版累计销售20余万册。提供大量的典型例题和前沿应用案例，配套练习题和答案。

（2）线性代数应用典范！开创理论与实际应用相结合的先河。包含线性代数众多领域的经典应用。本书详细地介绍了线性代数在几何学、计算机图形学、经济学、概率论、信号与系统、微分方程、优化等领域的应用，给人以直观的认识。

（3）内容丰富，案例、习题新颖，既包含线性代数的基本概念、基础理论和现代理论，又包含典型例题和新的案例。

（4）第6版还增加了优化以及博弈论等有关内容，体现了线性代数在智能时代的广泛应用。

Tips：本书教辅资源仅提供给采用本书作为教材的教师用作课堂教学、布置作业、发布考试等。如有需要的教师，请通过邮箱  查询并申请。

本书是一本新颖、实用的线性代数教材，涵盖线性代数的基础知识和一些有趣的应用，目的是帮助学生掌握线性代数的基本概念及应用技巧，为后续课程的学习和工作实践奠定基础.与以前的版本相比，第6版根据线性代数的新应用发展，做了大量的更新，重新编排了第4章，将马尔科夫链移至第5章，新增加了有关信号处理的内容，并且增加了全新的一章——优化，而且在网上为学生和教师提供了进一步的技术支持.本书主要内容包括线性方程组、矩阵代数、行列式、向量空间、特征值和特征向量、正交性和最小二乘法、对称矩阵和二次型、向量空间的几何学、优化等. 此外，本书包含大量的练习题、习题、例题以及课题研究，可加深学生对理论的理解。

戴维·C. 雷（David C. Lay）

美国国家科学基金资助项目“线性代数课程研究小组”（LACSG）的创始成员，线性代数课程现代化运动的领导者。美国数学学会、加拿大数学学会、国际线性代数学会、美国数学协会、Sigma Xi 以及美国工业和应用数学学会的会员，获得过四项卓越教学奖，

史蒂文·R. 雷（Steven R. Lay）　

美国数学学会和美国数学协会的会员。拥有加州大学洛杉矶分校数学硕士和博士学位，40多年从教经验，攥写了三本大学本科数学教科书，荣获奥罗拉大学卓越教学奖，李大学学术卓越奖。

朱迪·J. 麦克唐纳（Judi J. McDonald）

华盛顿州立大学研究生院副院长，曾与数学推广项目数学中心（http://mathcentral.uregina.ca/）合作，线性代数课程研究小组 2.0 的成员。作为数学教授，她发表了 40 多篇关于线性代数研究的论文。曾获得三项教学奖：里贾纳大学的启发式教学奖、托马斯卢茨艺术学院的启发式教学奖以及华盛顿州立大学的科学教学奖。

目　　录

译者序
前言
给学生的注释
关于作者

第1章　线性代数中的线性方程组 1
介绍性实例　经济学与工程中的线性模型 1
1.1　线性方程组 2
1.2　行化简与阶梯形矩阵 12
1.3　向量方程 24
1.4　矩阵方程Ax=b 36
1.5　线性方程组的解集 44
1.6　线性方程组的应用 52
1.7　向量的线性相关性 58
1.8　线性变换简介 65
1.9　线性变换的矩阵 74
1.10　商业、科学和工程中的线性模型 84
课题研究 92
补充习题 93
第2章　矩阵代数 96
介绍性实例　飞机设计中的计算机模型 96
2.1　矩阵运算 97
2.2　矩阵的逆 109
2.3　可逆矩阵的特征 117
2.4　分块矩阵 122
2.5　矩阵分解 129
2.6　列昂惕夫投入-产出模型 137
2.7　在计算机图形学中的应用 142
2.8　?n的子空间 151
2.9　维数与秩 159
课题研究 165
补充习题 166
第3章　行列式 168
介绍性实例　称钻石 168
3.1　行列式简介 169
3.2　行列式的性质 176
3.3　克拉默法则、体积和线性变换 184
课题研究 193
补充习题 193
第4章　向量空间 195
介绍性实例　离散时间信号和数字信号
　　　　　　 　处理 195
4.1　向量空间与子空间 196
4.2　零空间、列空间、行空间和线性
　　　 　变换 206
4.3　线性无关集和基 216
4.4　坐标系 225
4.5　向量空间的维数 234
4.6　基的变换 242
4.7　数字信号处理 248
4.8　在差分方程中的应用 254
课题研究 263
补充习题 263
第5章　特征值与特征向量 266
介绍性实例　动力系统与斑点猫头鹰 266
5.1　特征向量与特征值 267
5.2　特征方程 274
5.3　对角化 281
5.4　特征向量与线性变换 287
5.5　复特征值 294
5.6　离散动力系统 301
5.7　在微分方程中的应用 310
5.8　特征值的迭代估计 318
5.9　在马尔可夫链中的应用 325
课题研究 334
补充习题 334
第6章　正交性和最小二乘法 337
介绍性实例　人工智能和机器学习 337
6.1　内积、长度和正交性 338
6.2　正交集 346
6.3　正交投影 355
6.4　格拉姆-施密特方法 364
6.5　最小二乘问题 370
6.6　机器学习和线性模型 379
6.7　内积空间 388
6.8　内积空间的应用 395
课题研究 402
补充习题 402
第7章　对称矩阵和二次型 405
介绍性实例　多波段的图像处理 405
7.1　对称矩阵的对角化 406
7.2　二次型 412
7.3　条件优化 419
7.4　奇异值分解 426
7.5　在图像处理和统计学中的应用 435
课题研究 443
补充习题 443
第8章　向量空间的几何学 445
介绍性实例　柏拉图多面体 445
8.1　仿射组合 446
8.2　仿射无关性 454
8.3　凸组合 463
8.4　超平面 470
8.5　多面体 478
8.6　曲线与曲面 489
课题研究 500
补充习题 501
第9章　优化 503
介绍性实例　柏林空运 503
9.1　矩阵博弈 503
9.2　线性规划——几何方法 518
9.3　线性规划——单纯形法 528
9.4　对偶问题 542
课题研究 551
补充习题 551
附录 554
附录A　简化阶梯形矩阵的唯一性 554
附录B　复数 554
术语表 559
奇数习题答案 574

前　　言
学生和教师对本书前五版的反响十分令人满意．第6版在第5版的基础上为教学和软件技术应用提供了更多支持.像以前一样，本书涵盖线性代数的基础知识以及一些有趣的经典和前沿应用，使得已完成大学两个学期数学课程（如微积分）的学生容易接受.
本书的主要目的是帮助学生掌握后续课程学习所需要的基本概念和基本技能. 教材的主题是根据线性代数课程研究小组（LACSG）的建议选择的，该建议是基于对学生真实需求的认真调查以及使用线性代数的许多学科的专业人士的共识提出的.线性代数课程研究小组2.0（LACSG 2.0）的最新想法也包括在内.我们希望这门课程将成为大学生最有用、最有趣的数学课程之一.
新增内容
第6版有许多令人兴奋的新材料、示例和在线资源.在与应用领域的高科技行业研究人员和同行交谈后，我们增加了新的主题、介绍性实例和应用，旨在向学生和教师重点展示机器学习、人工智能、数据科学和数字信号处理的线性代数基础知识.
内容变化
由于矩阵乘法是一项非常有用的技能，我们在第2章中添加了新的示例，以展示矩阵乘法如何用于模式识别和数据清理.我们还创建了相应的练习，使得学生可以用各种方式探索如何使用矩阵乘法.
在与工业和电气工程领域的同行的对话中，我们反复听到理解抽象向量空间对他们的工作有多么重要.在阅读了第4章审阅者的评论之后，我们重新组织了这一章，缩减了关于列、行和零空间的材料，将马尔可夫链移至第5章末尾，并且新增了关于信号处理的一节.我们将信号视为一个无限维的向量空间，并说明了线性变换在滤除不需要的“向量”（也称为噪声）、分析数据和增强信号方面的作用.
通过将马尔可夫链移到第5章的末尾，我们现在可以将稳态向量作为特征向量进行讨论.我们还重新整理了一些关于行列式和基变换的概括性材料，以便更具体地说明它们在本章中的使用方式.
在第6章中，我们将模式识别作为正交性的一个应用，有关线性模型的一节说明了机器学习与曲线拟合的关系.
关于优化的第9章以前仅作为在线文件提供，现在，它已被纳入常规教科书，这样教师和学生更容易获得.第9章以寻找两人零和博弈的最优策略作为开始，然后介绍线性规划——从可以用几何方法求解的二维问题到使用单纯形法求解的高维问题.
其他变化
在高科技行业，大多数计算都是在计算机上进行的，判断信息和计算的有效性是准备和分析数据的重要步骤.在本版中，我们鼓励学生学会分析自己的计算，以查看它们是否与手头的数据和所问的问题一致.因此，我们增加了“合理答案”的建议和练习来引导学生.
我们在每一章的末尾添加了一个课题研究列表（可在线访问bit.ly/30IM8gT），其中一些可以在线获得.这些课题研究主题广泛，从使用线性变换创造艺术到探索数学中的其他想法，可以用于小组工作或个别学生的加强学习.
PowerPoint幻灯片 已更新，全面涵盖本书的所有章节.
鲜明特色
提前介绍重要概念
本书的前七章介绍了许多建立在 上的线性代数基本概念，然后从不同的观点逐步深入讨论.接下来，通过第1章建立的几何直觉，我们扩展了一些熟悉的思想，从而泛化了这些概念.我们认为，本书的主要特色是全书的难度一样.
矩阵乘法的现代观点
有效的数学记号是关键，本书反映了科学家和工程师实际应用线性代数的方式．书中的定义和证明都基于矩阵的列，而不是矩阵的元素，一个核心思想是将矩阵向量乘积 作为关于 的列的一个线性组合.这种现代方法简化了许多论述，且将向量空间思想和线性方程组的研究联系在了一起．
线性变换
线性变换是贯穿全书的一条主线，这增强了本书的几何色彩．例如，在第1章中，线性变换给出一个动态的、几何观点下的矩阵向量乘法．
特征值和动力系统
特征值的概念出现在第5章和第7章．由于这一内容分散在数周的教学中，学生会比平常更容易吸收和复习这些关键概念．特征值来源并应用于离散动力系统和连续动力系统，相关内容出现在1.10节、4.8节以及第5章的五节中．授课时可以选择不讲授第4章，而是在讲完2.8节和2.9节的内容以后直接进入第5章．这两节可选内容给出了第4章中出现的向量空间的概念，为第5章奠定了基础.
正交性和最小二乘法
与普通入门教材相比，本书对这些主题的讨论更全面．最初的线性代数课题研究小组强调需要正交性和最小二乘法的内容，这是由于正交性在计算机计算和线性代数的数值计算中起着重要作用，且实际工作中经常会出现不相容的线性方程组.　
教学特色
应用
广泛选取的应用说明了线性代数的作用，线性代数可以用于工程学、计算机科学、数学、物理学、生物学、经济学和统计学中以解释基本原理和简化计算．一些应用出现在单独的章节中，其他应用是作为例题或习题而引入的．此外，每一章开头都会给出一个线性代数应用的简短介绍，由此引出数学理论的发展．然后，在该章结束的部分又回到开始提到的应用．
重点强调几何特点
由于许多学生更容易接受形象化的概念，所以我们对书中的每个主要概念都给出几何解释.本书包含较多的几何图形，且一些图形是以前的线性代数教材中没有出现过的．这些图形的交互版本出现在本书的电子版中.
例题
与大多数线性代数教材相比，本书包含更多的例题，超出平常课堂教学所需的例题量.由于例题清晰且步骤详细，因此学生可以自学．
定理和证明
重要的结果以定理的形式给出．其他有用的事实放在方框中，便于参考．大多数定理有正式证明，写法易于理解.在少数情形中，仔细选取的例题证明中展示了基本计算过程.一些常规的验证保留在习题中，这对学生是有益的.
练习题
在每节习题之前都有一些精心选取的练习题，其解答在习题之后给出．这些练习题或者关注习题中的潜在难点，或者为做习题做好铺垫，且解答中常包含有用的提示.
习题
本书提供大量的习题，包含平常的计算题和需要深入思考的概念题，一些习题针对多年来我们在学生作业中发现的概念难点.所有习题都按照课本中内容的顺序仔细编排，这样当每节的一部分内容讲授完成之后，就可以安排家庭作业.习题的一个显著特色是数值计算不复杂，问题迅速“展开”，学生在数值计算上花费的时间很少——习题主要是为了让学生理解教学内容而不是进行机械计算.第6版的习题保持了前一版习题的完整性，同时为学生和教师提供了新的习题.
标有符号[M]的习题说明该题需要借助“矩阵软件”(计算机软件，如 MATLAB、Maple、Mathematica、Mathcad、Derive，或者有矩阵功能的可编程计算器)完成.
判断题
为了鼓励学生阅读全部内容且深入思考，本书设计了300多道贯穿全书的简单判断题.这些判断题可以通过阅读书中内容来直接回答，从而使学生准备好回答随后的概念题.学生在习惯了仔细阅读书中内容之后，会喜欢这类题目.基于课堂测验以及与学生进行的探讨，我们决定不将答案放在书中.（《学习指导》（Study Guide）将指出在哪里有奇数编号的习题的答案.)补充的150道判断题（大部分在每章末尾）用于检验学生对内容的理解程度.对这类问题，书中提供了简单的T/F回答，但是省略了答案的验证（通常需要进一步思考才可完成）.
写作题
写出严谨的数学论述，对希望成为数学系研究生的学生和所有学习线性代数的学生都十分必要．本书中包含的证明大多是习题答案的一部分.需要简短证明的概念题，常包含可以帮助学生开始解题的提示.对所有奇数编号的写作题，或者在本书最后给出解答或提示，或者在《学习指导》中给出解答．
课题研究
在每一章的末尾增加了课题研究列表（可在线访问bit.ly/30IM8gT获得），可安排学生独立或小组完成.这些课题研究为学生提供了更详细地探索基本概念和应用的机会.其中两个课题研究甚至鼓励学生参与创作，使用线性变换来构建艺术品.
合理答案
我们的许多学生将进入需要基于计算机和其他机器提供的答案做出重要决策的工作岗位.合理答案和习题帮助学生认识到需要分析答案的正确性和准确性.
计算主题
本书强调计算机对科学和工程中线性代数的发展和实践的影响，书中有许多“数值计算的注解”，用于指出数值计算中出现的问题，以及理论概念(如矩阵求逆)和计算机实现(如LU分解)之间的区别.
致谢
David C.Lay 真诚地感谢多年来在本书的各个方面帮助过他的许多人.他特别感谢Israel Gohberg和Robert Ellis长达15年的合作研究，这极大地影响了他对线性代数的看法.他有幸与David Carlson、Charles Johnson以及Duane Porter一起成为线性代数课程研究小组的成员，他们关于线性代数教学的创造性思想对本书产生了重要影响.他常常亲切地谈到三位好朋友——出版人Greg Tobin、以前的编辑Laurie Rosatone 和现在的编辑William Hoffman, 对于本书的写作和出版，他们几乎从一开始就给予了明智的建议和极大的鼓励.
Judi和Steven有幸参与了新版本的编写工作.在这一版的修订过程中，我们尽力保持学生和教师所熟悉的之前版本的叙述方法和写作风格.我们感谢Eric Schulz在交互式电子书的制作过程中分享了他的专业技术知识和专业教学经验.正是有了他的帮助和鼓励，本书Wolfram Cloud版本中的图和示例才能如此生动形象.
Mathew Hudelson 是编写第6版的重要合作者，他总是愿意对概念或想法进行头脑风暴，并测试新的写作题和习题.他为第3章和增加的课题研究提供了新的思路，并为整本书的新习题提供了帮助.多年来，Harley Weston为Judi提供了良好建议，讨论了当我们以不同的方式呈现数学材料时，如何吸引读者，为什么吸引读者，以及吸引谁.当我们需要艺术作品来实现变换，更新介绍性实例，或者从大学生的角度来看信息时，Katerina Tsatsomeros 的艺术专长一直是一笔巨大的财富.
感谢Nella Ludlow、Thomas Fischer、Amy Johnston、Cassandra Seubert和Mike Manzano的鼓励及分享.他们提供了关于线性代数的重要应用的信息，以及关于新例子和习题的想法.特别是，第4章和第6章的新介绍性实例和材料受到了他们的启发.
感谢Sepideh Stewart和其他新的线性代数课程研究小组（LACSG 2.0）成员Sheldon Axler、Rob Beezer、Eugene Boman、Minerva Catral、Guerson Harel、Dav