算术基础(汉译名著本)

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在本书中，弗雷格从逻辑学的角度，详细地研究了“数”这一对数学来说至为基本和根本的概念，尤其是对于什么是0、什么是1等问题，作了透辟的阐释。同时，他还对密尔、康德等人在这些问题上的错误论述做了批判性的分析。《算术基础》中有许多深刻的哲学探讨，比如要把心理学的东西与逻辑的东西区别开，把主观的东西与客观的东西区别开；必须在句子联系中询问语句的意谓；必须注意概念和对象的区别等，对后世影响很大。

G.弗雷格（1848一1925），德国著名的数学家、逻辑学家和哲学家，数理逻辑和分析哲学的奠基人。

译者简介：

王路，1955年生，清华大学人文学院哲学系教授，博士生导师；中国社会科学院研究院教授；中国社会科学院研究系列正高级专业技术资格评审委员会委员；北京大学外国哲学研究所兼职研究员；北京书生研究中心客座研究员。

序 
　1．在数学中近来可以看到一种旨在达到证明的严格性和概念的理解的努力。 
　2．证明 终必然也涉及数这个概念。证明的目的。 
　3．如下研究的哲学动机：有争议的问题，数的定律是分析的真命题还是综合的真命题，是先验的还是后验的。这些表达式的意义。 
　4．本书的任务。 

I.一些著作家关于算术句子的性质的意见 
　数公式是可证明的? 
　5．康德否认汉克尔正当地称之为悖论的东西。 
　6．莱布尼兹关于2 2＝4的证明有一个缺陷。格拉斯曼关于a b的定义是不完善的。 
　7．密尔的下述意见是没有根据的：单个的数的定义断定观察到的事实，而由这些事实得出计算。 
　8．就定义的合理性而言，并不要求对事实的观察。 
　算术规律是归纳的真命题? 
　9．密尔的自然律。当密尔把算术的真命题称为自然律时，他混淆了这些命题和它们的应用。 
　10．反对加法定律是归纳的真命题的理由：数的不同类性；我们并没有通过定义而得到数的许多共同特征；很可能正相反，归纳是基于算术而证明的。 
　11．莱布尼兹的“生来就有的”。 
　算术定律是先验综合的还是分析的？ 
　12．康德。鲍曼。利普希兹。汉克尔。作为认识基础的内在直觉。 
　13．算术和几何的区别。 
　14．联系由真命题支配的领域来比较真命题。 
　15．莱布尼兹和杰芬斯的观点。 
　16．反对密尔贬低“对语言的熟练驾驭”。符号不意谓任何可感觉的东西，因此不是空的。 
　17．归纳的不充分性。猜测，数的定律是分析判断；那么它们的用处在哪里。尊重分析判断。 
II．一些著作家关于数概念的看法 
　18．研究数这个普遍概念的必要性。 
　19．定义不能是几何学的。 
　20．数是可定义的？汉克尔。莱布尼兹。 
　数是外在事物的性质？ 
　21．康托尔和施罗德的看法。 
　22．鲍曼的不同看法：外在事物不表现出严格的性质。数似乎依赖于我们的理解。 
　23．密尔下述看法是站不住脚的：数是事物的聚集的性质。 
　24．数的广泛可应用性。密尔。洛克。莱布尼兹的非物质形象。如果数是某种有感觉的东西，那么就不能把它们赋予没有感觉的东西。 
　25．密尔关于2和3之间的物理区别。根据贝克莱，数实际上不在事物之中，而是通过心灵创造出来的。 
　数是主观的东西? 
　26．利普希兹关于数的构造的描述是不合适的，并且不能代替对概念的确定。数不是心理学的对象，而是某种客观的东西。 
　27．数不是像施罗埃密尔西想说明的那样的关于一个对象在一个系列中的位置的表象。 
　作为集合的数 
　28．托迈的命名。 
Ⅲ关于单位和一的看法 
　“一”这个数词表达对象的一种性质? 
　29．“μουαζ”和“单位”这两个表达式的多义性。施罗德把单位解释为计数对象，似乎是没有用处的。“一”这个形容词不包含任何更进一步的确定，不能用作谓词。 
　30．根据莱布尼兹和鲍曼所尝试的定义，似乎一这个概念完全消失了。 
　31．鲍曼关于不可分性和分界性的标志。一这个观念不是由那个对象提供给我们的(洛克)。 
　32．语言确实说明与不可分性和分界性的一种联系，然而在这里意义发生变化。 
　33．不可分性(G．科普)是不能作为一的标志而得到的。 
　单位是否彼此相等? 
　34．作为“一”这个名字的基础的单位。施罗德。霍布斯。休谟。托迈。通过抽象掉事物的差异得不到数这个概念，而且由此事物不是相等的。 
　35．即使应该谈论多，差异也是必要的。施罗德。杰芬斯。 
　36．关于单位的差异性的看法也引起困难。杰芬斯的不同的一。 
　37．洛克、莱布尼兹、黑塞从单位或一对数的解释。 
　38．“一”是专名，“单位”是概念词。数不能被定义为单位。“和”和 的区别。 
　39．由于“单位”的多义性，化解单位相等和可区别性的困难被掩盖起来。 
　克服这个困难的尝试 
　40．时间和空间作为区别的方法。霍布斯。托迈。相反的看法：莱布尼兹，鲍曼，杰芬斯。 
　41．这个目的达不到。 
　42．一个序列中的位置作为区别的方法。汉克尔的假定。 
　43．施罗德通过1这个符号塑造对象。 
　44．杰芬斯通过确定差异的存在而抽象掉差异特征。0和1是与其他数一样的数。困难依然存在。 
　困难的解决 
　45．回顾。 
　46．数的给出包含着对一个概念的表达。反对意见，概念不变时数发生变化。 
　47．数的给出这个事实由概念的客观性得到说明。 
　48．解决几个困难。 
　49．斯宾诺莎的证明。 
　50．施罗德的解释。 
　51．这个问题的更正。 
　52．在德语的一种语言使用中的证明。 
　53．一个概念的标记和性质之间的区别。存在和数。 
　54．人们可以把单位称为一个数的给出的主词。单位的不可分性和分界性。相等和可区分性。 
Ⅳ．数这个概念 
　每个个别的数都是一个独立的对象 
　55．试图补充莱布尼兹关于个别的数的定义。 
　56．这些尝试的定义是不能用的，因为它们说明的是这样一个命题：在这个命题中，数仅是一部分。 
　57．应该把数的给出看作是一个数的等式。 
　58．反对意见：数作为一个独立的对象是不可想象的。数根本是不可想象的。 
　59．一个对象不因为它是不可想象的而被排除在研究之外。 
　60．独立的事物自身也不总是可想象的。如果人们询问语词的意谓，就必须在句子中考虑它们。 
　61．反对意见：数是非空间的。并非每个客观对象都是空间的。 
　为了获得数这个概念，必须确定数相等的意义 
　62． 我们需要一个表示数相等的记号。 
　63． 作为这样的(记号)一一对应的可能性。逻辑上的疑问：特别是解释这种情况的相等。 
　64． 一个类似过程的例子：方向，平面的位置，一个三角形的形成。 
　65． 尝试一个定义。第二种疑问：对相等的规定是不是足够。 
　66． 第三种疑问：相等这个记号是不充分的。 
　67． 不能通过下面的方式形成补充：人们把一个概念的标记看作是引入一个对象的方式。
　68． 作为概念外延的数。 
　69． 说明。 
　对我们这个定义的补充和证明 
　70． 关系概念。 
　71． 通过一种关系而对应。 
　72． 一一对应关系。数这个概念。 
　73． 如果有一个关系，它使处于F这个概念之下的对象与处于G这个概念之下的对象一一对应，那么属于F这个概念的这个数与属于G这个概念的这个数就是相等的。 
　74． 零是属于“与自身不相等”这个概念的那个数。 
　75． 零是属于一个其下没有任何东西的概念的那个数。如果零是符合一个概念的那个数，那么就没有任何对象处于这个概念之下。 
　76． 对“在自然数序列中n跟在m之后”这个表达的说明。 
　77． 1是属于“与0相等”这个概念的那个数。 
　78． 借助我们的定义被证明的句子。 
　79． 对“一个序列中跟着”的定义。 
　80． 注释。“跟着”的客观性。 
　81． 对“x隶属以y结束的那个φ序列”的说明。 
　82． 对自然数序列没有 后一个项的证明的提示。 
　83． 有穷数的定义。在自然数序列中任何有穷数都不跟着自己。 
　无穷数 
　84． 属于“有穷数”这个概念的那个数是一个无穷数。 
　85． 康托尔的无穷数；“幂”。称谓的偏离。 
　86． 康托尔的“顺序中的后继”和我的“序列中的后继”。 
V． 结论 
　87． 算术定律的性质。 
　88． 康德对分析判断的低估。 
　89． 康德的句子：“没有感觉，我们就不能得到任何对象。”康德的数学功绩。 
　90． 对于算术定律的分析性质的完整证明缺乏一种没有缺陷的连贯推论。 
　91． 通过我的概念文字可以弥补这种缺陷。 
　其它的数 
　92． 根据汉克尔的看法，询问数的可能性的意义。 
　93． 数既不是在我们之外空间的，也不是主观的。 
　94． 一个概念的无矛盾性并不保证某种东西处于它之下，并且本身需要证明。 
　95． 人们不能立即把(c—b)看作是解决减法任务的东西。 
　96． 数学家也不能任意地干事情。 
　97． 应该把概念和对象区别开。 
　98． 汉克尔对加法的解释。 
　99． 形式理论的缺陷。 
　100． 尝试通过以特殊的方式扩展乘法的意谓来说明复数。 
　101． 这样一种说明的可能性对于证明的力量不是不重要的。 
　102． 单纯要求应该引入这样一种运算并不能做到这一点。 
　103． 科萨克关于复数的解释仅仅对定义有提示，并没有避免引入陌生的东西。几何体现。 
　104． 重要的是为新数规定一个重认判断的意义。 
　105． 算术的魅力在于它的理性特征。 
　106—109． 回顾。

一这个数是什么，或者，1这个符号意谓什么，对这个问题，人们通常得到的答案是：一个事物。此外，如果人们注意到，“一这个数是一个事物”（“die Zahl Eins ist ein Ding”）这个句子不是定义，因为它一边是定冠词，另一边是不定冠词，如果人们还注意到，这个句子只是说一这个数属于事物，而没有说是哪个事物，那么也许人们就不得不自己选择人们愿意称之为一的任何一个事物。但是，如果每个人都可以有权任意理解这个名称，那么关于一的同一个句子对于不同的人就会意谓不同的东西；这样的句子就不会有共同的内容。一些人也许会拒绝回答这个问题，他们暗示说，甚至算术中a这个字母的意谓也是不能说明的；而且，如果人们说a意谓一个数，那么这里就可能发现与“一是一个事物”这个定义中相同的错误。拒绝回答与a有关的问题是完全有理由的，因为它不是意谓确定的可指明的数，而是用来表示句子的普遍性。如果用任何一个数代入a a-a-a中的a，并且处处都代入相同的数，那么总是得到一个正确的等式。a这个字母是在这种意义上使用的。但是关于一的问题，情况就根本不同。在1 1-2这个等式中，我们能用相同的对象，譬如月亮，两次代入1吗？

数学在长时间背离了欧几里得的严格性之后，现在又回到这种严格性，并且甚至努力超越它。在算术中，也许由于许多处理方式和概念发源于印度，因而产生一种不如主要由希腊人发展形成的几何学中那样严谨的思维方式。更高的数学分析的发现仅仅促进了这种思维方式；因为一方面，严格地探讨这些学说遇到了极大的几乎不可克服的困难，另一方面，为克服这些困难付出的努力似乎没有什么价值。然而，后来的发展总是越来越清楚地说明，在数学中一种以多次成功的运用为依据的纯粹的道德信念是不够的。许多过去被看作是自明的东西，现在都需要证明。通过证明，在一些情况下才确定了有效性的限度。函数、连续性、极限、无穷这些概念表明需要更明确的规定。负数和无理数长期以来已为科学所接受，它们的合理性却必须得到更严格的证明。
因此到处可以看到人们努力进行严格的证明，准确地划定有效性的限度，并且为了能够做到这些，努力准确地把握概念。
沿着这条道路，必然达到构成整个算术基础的数这个概念和适合于正整数的简单的句子。当然，像5 7-12这样的数公式和像加法结合律这样的定律，通过每天对它们的无数次运用而得到许多次确认，因此由于想要进行证明而对它们表示怀疑，看上去简直是可笑的。但是数学的本质就在于，凡是可以进行证明的地方，就要使用证明而不用归纳来确证。欧几里得证明了许多在他看来大家本来就承认的东西。