维特根斯坦论数学

“维特根斯坦的主要贡献是在数学哲学领域”，维特根斯坦本人曾写下这句评语。
知名维特根斯坦研究者塞弗伦·施罗德在这本新作中为维特根斯坦的数学哲学思想提供了一次细致连贯的刻画。作者聚焦于对维特根斯坦数学哲学中演算观与语法观的阐发，凸显出维特根斯坦批判了柏拉图式数学框架的独特的人类学进路。阅读这本书，读者可以对维特根斯坦数学思想的发展脉络有一个清晰的把握，也能了解到维特根斯坦在数学的一些基本问题上与弗雷格、希尔伯特的形式主义以及哥德尔等人的关键分歧。

塞弗伦·施罗德（Severin Schroeder）
英国雷丁大学哲学系助理教授，高级研究员，现任系主任，兼任牛津大学基督堂学院讲师，知名维特根斯坦研究专家，已出版四部关于维特根斯坦的专著：《维特根斯坦论数学》（2021）、《维特根斯坦读本》（2009）、《维特根斯坦：飞出捕蝇瓶》（2006）、《私人语言论证》（1998），另编有《维特根斯坦与当代心灵哲学》（2001）与《文学哲学》（2010）。
梅杰吉，1985年生，安徽芜湖人，中国人民大学哲学博士，2015至2016学年访学英国雷丁大学，现供职于山西大学哲学学院，主要研究兴趣为分析哲学，尤其是维特根斯坦哲学。

目录
序言 / 1
缩略语表 / 1

第一部分 背景
1 数学的基础 / 3
2 逻辑主义 / 11
2.1 弗雷格的逻辑主义 / 11
2.2 集合悖论以及罗素的类型论 / 16
2.3 《逻辑哲学论》：没有集合的逻辑主义 / 18
3 维特根斯坦对逻辑主义的批评 / 19
3.1 数相等能被定义为一一对应吗？/ 19
3.2 弗雷格（以及罗素）将数定义为对等集合，这并不是构成性的：这并没有提供确认数的一种方法 / 29
3.3 柏拉图主义 / 30
3.4 罗素对错误等式的重构并非矛盾式 / 36
3.5 弗雷格和罗素将求和形式化为逻辑真理，这不可能是奠基性的，因为这预设了算术 / 38
3.6 即便我们（为了论证方便）假定所有算术都能在罗素的逻辑演算中再现，这也并没有让后者成为算术的基础 / 44
4  维特根斯坦数学哲学的发展：从《逻辑哲学论》 到《大打字稿》/ 49 
4.1 《逻辑哲学论》/ 49 
4.2 从《哲学评论》（MSS 105—108：1929—1930）到 《大打字稿》（TS 213：1933）/ 51 

第二部分  维特根斯坦的成熟的数学哲学 （1937—1944） 
5  维特根斯坦后期数学哲学中的两条线 / 79 
6  数学作为语法 / 82 
7  遵守规则 / 109 
7.1 遵守规则与共同体 / 123 
8  约定论 / 131 
8.1 蒯因的循环性反驳 / 134 
8.2 达米特的约定论不能解释逻辑推理的反驳 / 142 
8.3 克里斯平·赖特的无限后退反驳 / 145 
8.4 来自遵守规则的怀疑论对“温和约定论”的反驳 / 149 
8.5 来自根本不同的逻辑或者数学之不可能性的反驳 / 154 
8.6 结论 / 176 
9  经验命题硬化为规则 / 179 
先天综合 / 192
10  数学证明 / 201 
10.1 什么是一个数学证明？/ 203 
（a）a 0=1 的证明 / 212 
（b）斯科伦对加法结合律的归纳证明 / 213 
（c）康托尔的对角线证明 / 215 
（d）欧几里得对一个正五边形的构造 / 226
（e）欧几里得的不存在最大素数证明 / 228 
（f）初等算术中的证明（计算）/ 238 
证明与实验 / 242 
10.2 一个数学命题和它的证明之间的关系是什么？/ 244 
10.3 一个数学命题的证明和它的应用之间的关系 是什么？/ 259 
11  不一致性 / 270 
12  维特根斯坦对哥德尔第一不完备定理的评论 / 291 
12.1 维特根斯坦对哥德尔对其证明的非正式概述的 讨论 / 295 
12.2 “说其自身在 P 中不能被证明的一个命题”/ 298 
12.3 哥德尔句子和说谎者悖论之间的不同 / 300 
12.4 真与可证明性 / 301 
12.5 哥德尔类型的证明 / 306 
12.6 维特根斯坦的第一个反驳：一个无用的悖论 / 311 
12.7 维特根斯坦的第二个反驳：基于不确定含义的一个证明 / 314

13  结语：维特根斯坦与柏拉图主义 / 316 

参考文献 / 324 
索引 / 336

本书旨在为维特根斯坦的成熟的数学哲学提供一个连贯的说明。正如呈现在《哲学研究》中的维特根斯坦后期语言哲学和心灵哲学在很大程度上比他在第一本书（《逻辑哲学论》）中发展的那些思想要更胜一筹一样——实际上，他的后期作品可以被看成是对他早期作品之缺点的一个更深入理解的结果——我认为，在维特根斯坦对数学的思考中类似的认知上的进步也可以被期待和发现。可以肯定的是，维特根斯坦自己把他的数学思想的巨大变化和发展当成是一个重要的进步：当1944年他被要求为一部传记词典修订一个关于他自己的条目时，他补充了这句话：“维特根斯坦的主要贡献是在数学哲学领域。”（Monk 1990，466）与此相应，我将聚焦于他最深思熟虑的那些看法上，即聚焦于他在20世纪30年代和40年代成熟的哲学，而对他的早期看法只作简要描绘。

然而，虽然维特根斯坦认为他在数学上的工作相对来说是重要的，但他并没有成功写出像一本书的东西，或者对他在该领域内的思想作出一个全面且完善的表述。在《哲学研究》的序言（日期是1945年）中，他允诺了读者会对各种话题作出评论，其中就包括“数学基础”，但维特根斯坦后来改变了主意，他决定在另一卷中单独处理数学哲学。写作这样一本书的计划直到1949年依旧存在（MS 169，37），但从未被执行过。我们拥有的全部就是带有维特根斯坦数学哲学思想的一份打字稿和大量未修订手稿（或者手稿部分），这些材料的一个文集在维特根斯坦死后以《数学基础评论》为名出版。维特根斯坦后期的数学哲学能否称得上“呈现了相当于一个连贯立场的某种东西”（Potter 2011，135），有人曾怀疑过这一点。我将试图表明这种怀疑过于夸大了。虽然他的思想从未达到全面完工和彻底打磨的程度，他的一般看法是足够清楚的。在他的注意力转移到心灵哲学中的那些问题之后的某个时刻，鲁什·里斯（Rush Rhees）曾问他，他在数学方面的工作会变成什么样，他轻轻地回答道：“哦，留给别人去做吧。”（Monk 1990，466）也许他自认为：他至少已经给出了对数学进行合理哲学说明的大纲，而他可以让其他人去充实细节。

不过话说回来，在维特根斯坦的数学哲学中，在被试验性地思考的不同答案之间无疑存在相当大的鸿沟、各种开放性问题和不一致性，而在一些关键看法之间甚至存在张力。因此，从他的评论中得出一个前后一致的数学哲学立场，就不止于一个诠释上的挑战，也包含哲学上的考量。哪些试验性或临时性评论要在解释上加以重视，哪些要被斥为表述粗糙或者死胡同，读者必须要作出决断。此外，在最有希望和最有说服力的那些评论依旧非常粗略的那些地方，就需要某种外推来把它们呈现为一个可信的立场（的一部分）。因此，我呈现的东西尽管总是跟随维特根斯坦的看法的一般主旨，但偶尔会在细节上超出那些看法。而既然我感兴趣的是一个可信的哲学立场，那我就不止于呈现维特根斯坦的看法，也要讨论和评价他的看法。总的来说，我发现我能够为维特根斯坦的观点辩护，主要依赖从他自己的评论中得出的论证，有时则诉诸我自己的额外思考。有时我仍旧不能被他的思考说服，于是便提出问题或者反驳。

维特根斯坦对哲学的兴趣似乎是在他学习工程学时遇到的数学问题使他开始反思数学哲学时才真正被唤醒的。他被逻辑主义的基础主义计划所吸引，1911年在耶拿第一次拜访了弗雷格，然后在剑桥成为了罗素的学生（von Wright 1954，5—6）。他在《逻辑哲学论》中对数学的说明可以被当成是“没有集合的逻辑主义”（Marion 1998，21）的一种形式，而他后来的数学思想则（消极地）始于他对逻辑主义的批评和反驳。因此，似乎有必要先简要介绍一下逻辑主义和维特根斯坦对逻辑主义的反驳。他也反对数学哲学中的其他基础主义立场，比方说形式主义和直觉主义，但他对它们的批评性讨论在他思想的发展中起着不太重要的作用，这将会在呈现他的正面观点（形式主义）或者只是顺带提及（直觉主义）以后进行考虑。

为了完成这本书的预备部分，我将简要概述他早前思想的发展：首先是他在《逻辑哲学论》中对数学的看法；然后是他在20世纪30年代早期的中期思想。

第二部分尝试对维特根斯坦成熟的数学哲学给出一幅连贯的（虽然绝不是完整的）图画。这幅图画意在涵盖维特根斯坦立场的所有主要面相，但肯定无法包括他对哲学上有趣的数学问题的所有讨论。

《哲学研究》的作者认为语言本质上是嵌入人类生活之中并且由人类的需要和兴趣塑造的——这取代了《逻辑哲学论》中把语言视为水晶般逻辑纯洁性的一个抽象系统的看法（PI §107）——与此类似，后期维特根斯坦把数学当成一种“人类学现象”（RFM 399e）。一方面，他强调数学是一种人类活动——计算——而不是一种理论（BT 749）。另一方面，他把这些计算的结果当成是（类似于）语法命题（RFM 162d）：作为我们对语言的使用的规范。这是维特根斯坦数学哲学的两个关键看法：对数学的演算观（calculus view）和语法观（grammar view）。前者支配了他在20世纪30年代早期的思想，而后者则成为了他20世纪30年代晚期和40年代最重要的思想，遮蔽了演算观，但从未完全取代它。给出对维特根斯坦后期数学哲学一个连贯说明的困难在很大程度上就是解决这两个看法之间明显张力的困难。

维特根斯坦对数学的人类学进路——把数学既当成一种活动，也当成针对其他活动的一个规范来源——显然使他成为了柏拉图主义的对立面（柏拉图主义的看法是：数学对象独立于我们而存在）。维特根斯坦在他的这个口号中表达了这种对立：“数学家是发明者而不是发现者”（RFMI§168：99）。他的立场非常接近形式主义，但也存在来源于维特根斯坦对人类学维度的强调的一个至关重要的差异，尤其是：他坚持认为数学不仅仅是一个演算网络，而且本质上是带着如下这种看法被制造出来的一些概念和演算，即在数学之外要有（可能的）应用（RFM257de）。

考虑到维特根斯坦哲学观念的总体（见Schroeder 2006，151—168），不用说，他回避任何种类的修正主义。他毫不隐讳地说，哲学“让数学如其所是”（PI §124），再者，在对他的讲演的预备评论中，他说“最重要的是不要干涉到数学家们”（LFM 13）。他只会在数学家们就他们的主题提出可疑的哲学主张的那些地方才会和他们意见相左。维特根斯坦似乎至少在一个例子中，即在他对集合论的严厉批评中，忽视了他自己的不干涉原则（见Rodych 2000；参Bouveresse 1988，47—51）。然而，正如他反复解释的那样，他挑错的不是实际的数学（集合论的演算）（PG469—470，LFM141）而是对它的哲学解释：集合论提供了对实际的无限总体（infinite totalities）的描述这个看法（参Dawson 2016，326—332）。因此，在一次讲演中，针对希尔伯特的著名口号“没人能把我们从康托尔（Cantor）创造的那个［超限集合论的］天堂里驱赶出去”，他评论说他“并不梦想尝试把任何人从这个天堂里赶出去”——

我会尝试去做一些相当不同的事情：我会尝试向你们表明它并不是一个天堂——那样的话，你们就会自动离开。我会说：“对此请自便，就看你自己了。”（LFM103）

在维特根斯坦看来，集合论中并没有什么数学错误；只不过它是无意义的罢了：并没有真正为数学的其他部分提供一个基础，并且还缺乏任何真正的应用（RFM260a，378bc）。不过，他并没有因此就否认集合论的数学地位［请罗迪奇（Rodych2000，305—308）原谅］。因为，尽管他坚持认为：数学总体上需要数学之外的应用，但他也完全意识到：并非每一个数学演算都能被期望找到一个应用，更别说立即找到了（RR132；RFM399d）。

我要感谢汉诺克·本雅明（Hanoch Ben-Yami）、帕特里克·法瑞尔（Patrick Farrell）、西蒙·弗里德里希（Simon Friederich）、彼得·哈克（Peter Hacker）、菲利克斯·哈根斯特拉姆（Felix Hagenström）、沃尔夫冈·肯策勒（Wolfgang Kienzler）、菲利克斯·穆尔霍尔泽（Felix Mühlhölzer）、安东尼奥·斯卡拉夫纳（Antonio Scarafone）、哈利·涂曼尼（Harry Tomany）以及科斯明·瓦杜瓦（Cosmin Vaduva），他们评论了我一些章节的草稿，或者回应了我的一些问题。感谢布拉德·胡克（Brad Hooker）为我的工作张罗了一些基金。感谢卑尔根维特根斯坦档案馆的阿洛伊斯·皮希勒（Alois Pichler）让获得维特根斯坦手稿变得容易。我还要感谢一位匿名评论者，他提出了有用的批评和建议。我最要感谢卡伊·布特纳（Kai Büttner）和大卫·杜比（David Dolby），他们阅读了这本书的每一部分，他们的评论和讨论对我帮助极大。这本书的一些部分基于我之前发表过的材料。第6章包含来自《作为语法规则的数学命题》（Mathematical Propositions as Rules of Grammar，2014）的一些段落。第7章来自《直觉、决定与强制性》（Intuition， Decision，Compulsion，2016）。第8章使用了来自《论对数学约定论的一些标准反驳》（On some Standard Objections to Mathematical Conventionalism，2017a）和《数学与生活形式》（Mathematics and Forms of Life，2015）中的材料。10.2的一些段落首次出现是在《猜想、证明以及维特根斯坦数学哲学中的意义》（Conjecture, Proof, and Sense in Wittgenstein’s Philosophy of Mathematics, 2012）中。