中公2025国家教师资格考试专用教材高中数学学科知识与教学能力历年真题及标准预测试卷（高级中学） 教资高中数学教师资格证

《中公版·2025国家教师资格考试专用教材：数学学科知识与教学能力历年真题及标准预测试卷（高级中学）》具有以下特色：
中公教师资格考试团队研发：凝聚中公教师资格专业团队的集体智慧。
适用对象明确：专为国家教师资格考生量身定做。
契合真题编写：题目命制规范，考点分布合理。
特色精华内容：答案详细专业，题目解析详尽。
冲刺复习佳品：承前启后，及时进入临考状态。

《中公版·2025国家教师资格考试专用教材：数学学科知识与教学能力历年真题及标准预测试卷（高级中学）》结合教师资格历年出题特点、考试真题，对教师资格考试高中数学科目的命题趋势进行预测，编辑了本套试卷。帮助考生从整体把握教师资格考试高中数学科目的考试范围，熟悉题型，未雨绸缪。
本试卷包含10套教资高中数学历年真题，5套标准预测试卷，题型全面，题量丰富。
标准预测试卷题目难易度与真题吻合，直击考试现场。
参考答案解析详细，让考生知其然，并知其所以然。
本试卷含有：
2024年下半年中小学教师资格考试数学学科知识与教学能力试题（高级中学）（精选）
2024年上半年中小学教师资格考试数学学科知识与教学能力试题（高级中学）
2023年下半年中小学教师资格考试数学学科知识与教学能力试题（高级中学）
2023年上半年中小学教师资格考试数学学科知识与教学能力试题（高级中学）
2022年下半年中小学教师资格考试数学学科知识与教学能力试题（高级中学）
2022年上半年中小学教师资格考试数学学科知识与教学能力试题（高级中学）
2021年下半年中小学教师资格考试数学学科知识与教学能力试题（高级中学）
2021年上半年中小学教师资格考试数学学科知识与教学能力试题（高级中学）
2020年下半年中小学教师资格考试数学学科知识与教学能力试题（高级中学）
2019年下半年中小学教师资格考试数学学科知识与教学能力试题（高级中学）
教师资格考试数学学科知识与教学能力（高级中学）标准预测试卷（一）~（五）

目录
2024年下半年中小学教师资格考试数学学科知识与教学能力试题（高级中学）（精选）/
2024年上半年中小学教师资格考试数学学科知识与教学能力试题（高级中学）/
2023年下半年中小学教师资格考试数学学科知识与教学能力试题（高级中学）/
2023年上半年中小学教师资格考试数学学科知识与教学能力试题（高级中学）/
2022年下半年中小学教师资格考试数学学科知识与教学能力试题（高级中学）/
2022年上半年中小学教师资格考试数学学科知识与教学能力试题（高级中学）/
2021年下半年中小学教师资格考试数学学科知识与教学能力试题（高级中学）/
2021年上半年中小学教师资格考试数学学科知识与教学能力试题（高级中学）/
2020年下半年中小学教师资格考试数学学科知识与教学能力试题（高级中学）/
2019年下半年中小学教师资格考试数学学科知识与教学能力试题（高级中学）/
教师资格考试数学学科知识与教学能力（高级中学）标准预测试卷（一）/
教师资格考试数学学科知识与教学能力（高级中学）标准预测试卷（二）/
教师资格考试数学学科知识与教学能力（高级中学）标准预测试卷（三）/
教师资格考试数学学科知识与教学能力（高级中学）标准预测试卷（四）/
教师资格考试数学学科知识与教学能力（高级中学）标准预测试卷（五）/

教师资格考试数学学科知识与教学能力（高级中学）
标准预测试卷（一）
注意事项：
1.考试时间为120分钟，满分为150分。
2.请按规定在答题卡上填涂、作答。在试卷上作答无效，不予评分。一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.极限limx→0ex e－x－2×2的值是（）。
A. 12B. 1
C. 2D. 0
2.已知函数f(x)=x2-1x-1，则x=1是函数f(x)的（）。
A.可去间断点B.跳跃间断点
C.第二类间断点D.连续点
3.如果级数∞n=1(an bn)收敛，则级数∞n=1an与∞n=1bn（）。
A. 都收敛B. 都发散
C. 敛散性不同D. 同时收敛或同时发散
4.已知向量a=(t,1,3)，b=(1,t,0)，c=(1,1,2)线性相关，则t的取值是（）。
A. 12或1B. －12或1
C. －12或－1D. 12或－1
5.若矩阵A=1003，向量α=13，则A9α=（）。
A. 1310B. 139C. 1030D. 3080
6.设随机事件A和B同时发生时，事件C必发生，则下列叙述正确的是（）。
A. P(C)=P(AB)
B. P(C)=P(A) P(B)
C. P(C)≥P(A) P(B)－1
D. P(C)≤P(A) P(B)－1
7.下列划分正确的是（）。
A.有理数包括整数、分数和零
B.角分为直角、象限角、对顶角和同位角
C.数列分为等比数列、等差数列、无限数列和递减数列
D.平行四边形分为对角线互相垂直的平行四边形和对角线不互相垂直的平行四边形
8.下列除（）数学家之外，均对勾股定理的研究做出相应贡献。
A.毕达哥拉斯B.欧几里得
C.赵爽D.牛顿
二、简答题（本大题共5小题，每小题7分，共35分）9.已知实系数线性方程组x1 x2 x3 x4 x5=1,3×1 2×2 x3 x4－3×5=a,x2 2×3 2×4 6×5=3,5×1 4×2 3×3 3×4－x5=b有解。
（1）求a，b的值；（3分）
（2）求此方程组的通解。（4分）
10.求过点（1，2，1）且与直线x-y z-1=0,x 2y-z 1=0和x-13=y 2-1=z都平行的平面方程。
11.一个口袋中装有大小相同的5个球，其中有3个白球，2个红球，现从口袋中每次任取一球，每次取出不放回，连续取两次。
（1）求取出的两个球都是白球的概率；（3分）
（2）求取出的两个球至少有一个白球的概率。（4分）
12.以“余弦定理”的教学为例，简述数学定理教学的基本环节。
13.对于三角函数的教学，为什么初中数学通过直角三角形讲述，而高中数学要通过单位圆讲述？
三、解答题（本大题1小题，10分）14.已知函数f(x)=aln(1 x)－bsinx，其中a和b都是常数，并且f′(0)=0，f ″(0)=－1。
（1）求常数a和b的值；
（2）计算不定积分∫xf(x)dx。
四、论述题（本大题1小题，15分）15.叙述数学抽象性的含义，并结合实例阐述在数学教学中如何处理抽象与具体之间的关系。
五、案例分析题（本大题1小题，20分）16.案例：
在学习了对数函数后，老师给学生布置了一道题目。已知函数f(x)=logax在区间［a,2a］上的最大值与最小值之差为12，求a的值。一名学生的求解过程如下。
解：因为函数f(x)=logax在区间［a,2a］上的最大值为loga2a，最小值为logaa，所以loga2a-logaa=12，即loga2 logaa-logaa=loga2=12，a12=2，解得a=4。
根据以上案例回答下列问题：
（1）指出这名学生在求解过程中的错误；（6分）
（2）给出上述题目的正确解答过程；（6分）
（3）根据此题的错误之处，分析这名学生在逻辑推理方面的不足。（8分）
六、教学设计题（本大题1小题，30分）17.下面是某高中数学教材“三角函数的叠加及其应用”一节的第五个例题。
例5化简：
（1）sin72°cos42°－cos72°sin42°；（2）12cosx 32sinx。
解（1）由公式Sα－β，得
sin72°cos42°－cos72°sin42°=sin(72°－42°)=sin30°=12；
（2）可以将12，32分别看成sinπ6和cosπ6。
由公式Sα β，得
12cosx 32sinx=sinπ6cosx cosπ6sinx=sinπ6 x。
一般地，当a，b不同时为0时，
asinα bcosα=…
根据上面内容，完成下列任务：
（1）根据上述例题，写出三角函数辅助角公式的推导过程；（10分）
（2）根据材料撰写这部分内容的教学设计，包括教学重难点和教学过程（含引导学生探究的活动和设计意图）。（20分）
教师资格考试数学学科知识与教学能力（高级中学）
标准预测试卷（一）参考答案及解析一、单项选择题
1.B解析： 利用洛必达法则，limx→0ex e－x－2×2=limx→0ex－e－x2x=limx→0ex e－x2=22=1。故本题选B。
2.A解析：因为函数f(x)=x2-1x-1在x=1处无定义，且limx→1 f(x)=limx→1×2-1x-1=limx→12x=2，所以x=1是函数f(x)的可去间断点。故本题选A。
3.D解析：由于∞n=1an=∞n=1［(an bn)－bn］，且∞n=1(an bn)收敛，所以当∞n=1bn收敛时，∞n=1an收敛；当∞n=1bn发散时，∞n=1an发散。故本题选D。
4.A解析：因为向量a=(t,1,3)，b=(1,t,0)，c=(1,1,2)线性相关，所以以a,b,c为行向量的矩阵的行列式等于0，即t131t0112=2t2－3t 1=(2t－1)(t－1)=0，解得t=12或t=1。故本题选A。
5.A解析：根据矩阵的乘法运算法则，知A9=10039，所以A9α=1003913=1310。故本题选A。
6.C解析：因为随机事件A和B同时发生时，事件C必发生，所以事件C包含事件AB，则P(AB)≤P(C)，又P(AB)=P(A) P(B)－P(A B)，所以P(AB)≥P(A) P(B)－1，则P(C)≥P(A) P(B)－1。故本题选C。
7.D解析：划分要遵循“不重不漏”的原则。有理数包括整数和分数，整数又分为正整数、零、负整数，A项中“整数”和“零”有重复，故划分错误；B项和C项中划分标准均不统一，导致重复和遗漏，故都是错误的；平行四边形分为对角线互相垂直的平行四边形和对角线不互相垂直的平行四边形，D项正确。故本题选D。
8.D解析：毕达哥拉斯发现了直角三角形中三条边的关系，即两条直角边的平方和等于斜边的平方；欧几里得在《原本》中成功展示了勾股数有无穷多组，并对勾股定理进行了进一步的探索和研究；赵爽是中国历史上最早给出勾股定理证明的数学家；牛顿是英国物理学家、数学家，创立了微积分。故本题选D。
二、简答题
9.参考答案
（1）对线性方程组的增广矩阵作初等行变换，化为阶梯形矩阵：
1111113211－3a0122635433-1b→1111110－1－2－2-6a－301226630－1－2－2-6b－5→11111101226300000a00000b－2，因为线性方程组有解的充分必要条件是它的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩，所以只有a=0且b=2时原方程组有解。
（2）由（1）可得线性方程组的最简阶梯形矩阵：
11111101226300000a00000b－2→10－1－1－5－2012263000000000000，
由此可知，非齐次线性方程组的一个特解为η=［－2,3,0,0,0］T，同时，非齐次线性方程组对应的导出组的基础解系为η1=［1,－2,1,0,0］T，η2=［1,－2,0,1,0］T，η3=［5,－6,0,0,1］T。因此，原线性方程组的通解为ξ=η k1η1 k2η2 k3η3，其中k1,k2,k3为任意实数。
10.参考答案
直线x-y z-1=0,x 2y-z 1=0的方向向量s1=ijk1-1112-1=(-1,2,3)，直线x-13=y 2-1=z的方向向量s2=(3,-1,1)。因为平面与两直线都平行，所以平面的法向量n=s1×s2=ijk-1233-11=(5,10,-5)，又点（1，2，1）在平面上，所以平面方程为5(x-1) 10(y-2)-5(z-1)=0，即x 2y-z-4=0。
11.参考答案
（1）从口袋中每次任取一球，每次取出不放回，连续取两次，取出的两个球都是白球的概率P=C13C12C15C14=310。
（2）记事件A为“取出的两个球至少有一个白球”，其对立事件A为“取出的两个球均为红球”。因此，从口袋中每次任取一球，每次取出不放回，连续取两次，取出的两个球至少有一个白球的概率P(A)=1-P(A)=1-C12C11C15C14=1-110=910。
12.参考答案
（1）结合旧知，让学生自主探究，从而引入定理。
例如，在引入余弦定理之前，先将向量作为引导学生自主探究推导出余弦定理的工具，具体推导如下。
如图，设CB=a，CA=b，AB=c，则c=a-b，c2=c·c=（a-b）（a-b）=a·a b·b-2a·b=a2 b2-2abcosC。（其余同理）
（2）明确定理的内容，理解定理的定义。如教师在定理推导的教学过程中，可以向学生渗透已知条件和所得结论，从而进一步明确定理的内涵和应用范围等。
例如，明确余弦定理的定义，余弦定理是三角形的任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的二倍，即c2=a2 b2-2abcosC，b2=a2 c2-2accosB，a2=b2 c2-2bccosA。
（3）熟悉定理的应用。教师要在学生理解定理的基础上做进一步的教学，即向学生展示例题，教学定理的应用方法，从而使学生逐步掌握定理并得以应用。
例如，例题教学后，向学生明确运用余弦定理的题型，即已知三边求夹角的大小可利用余弦定理求解，已知两边和一边的对角可利用正弦定理和余弦定理。
相关题型可以为①在△ABC中，已知a=4，b=4，c=3，求角A，B，C；②在△ABC中，已知a=3，b=4，角C=60°，求其他的边和角。
（4）引申和拓展定理的运用。引导学生对某些定理做适当的不同方向的推广，也是使学生认识定理之间关系的有效方法，同时也有利于培养学生的创造能力。
例如，在教学余弦定理时，建立与正弦定理asinA=bsinB=csinC之间的联系。
13.参考答案
基于对应关系的函数定义，要求函数是实数与实数的对应关系，称前者的取值范围为定义域，后者的取值范围为值域。初中三角函数是对直角三角形中的边角关系进行刻画，其中自变量的取值是60进位制的角度、不是10进位制的实数，不符合对应关系的函数定义。事实上，初中学习三角函数是为了解直角三角形，并不讨论三角函数的基本性质。在高中阶段，借助单位圆建立角度与对应弧长的关系，用对应弧长刻画角的大小，因为长度单位与实数单位一致，这就使得三角函数的自变量与函数值的取值都是实数，符合对应关系的函数定义。
三、解答题
14.参考答案
（1）对f(x)求导得f′(x)=a1 x－bcosx，继续求导得f″(x)=－a(1 x)2 bsinx，因为f′(0)=0， f″(0)=－1，所以f′(0)=a－b=0， f″(0)=－a=－1，解得a=1，b=1。
（2）由（1）知f(x)=ln(1 x)－sinx，结合不定积分的性质可知∫xf(x)dx=∫x［ln(1 x)－sinx］dx=∫xln(1 x)dx－∫xsinxdx，利用分部积分法分别计算两个不定积分，∫xln(1 x)dx=12∫ln(1 x)dx2=x22ln(1 x)－12∫x2dln(1 x)=x22ln(1 x)－12∫x2－1 11 xdx=x22ln(1 x)－12∫(x－1) 11 xd