流形上的微积分

微分几何大师斯皮瓦克著作

一本充满诗意的微积分小书

微积分进阶、微分几何入门

揭开 “斯托克斯定理”的多重面目

避开冗长的计算和烦琐的细节

轻松看清微积分的本质

本书主要涉及高等微积分的知识，对于一些经典结果作了现代化的处理，利用微分流形及微分形式，简明而系统地讨论了多元函数的微积分。全书共5章，包括欧几里得空间上的函数、微分、积分、链上的积分、流形上的积分。内容深入浅出，论证严格而易于理解。“高等微积分”的部分内容，因为其概念和方法比较复杂，所以在初等水平上难以严格处理，本书专门讲述了这些部分。

迈克尔·斯皮瓦克（Michael Spivak）是微分几何方面的著名数学家，Publish-or-Perish出版社的创始人，1964年获得普林斯顿大学博士学位，指导老师为菲尔兹奖和沃尔夫奖得主约翰·米尔诺（John Milnor）。曾任教于布兰迪斯大学。除本书外，他还著有五卷本A Comprehensive Introduction to Differential Geometry和Calculus等名著。

第 1章 欧几里得空间上的函数1

1.1 范数与内积1

1.2 欧几里得空间的子集4

1.3 函数与连续性9

第 2章 微分12

2.1 基本定义12

2.2 基本定理15

2.3 偏导数20

2.4 导数25

2.5 反函数29

2.6 隐函数32

2.7 记号35

第3章 积分37

3.1 基本定义37

3.2 测度零与容度零40

3.3 可积函数42

3.4 富比尼定理45

3.5 单位分解50

3.6 变量替换53

第4章 链上的积分59

4.1 代数预备知识59

4.2 向量场与微分形式67

4.3 几何预备知识76

4.4 微积分基本定理79

第5章 流形上的积分86

5.1 流形86

5.2 流形上的向量场和微分形式90

5.3 流形上的斯托克斯定理96

5.4 体积元素99

5.5 一些经典定理106

参考文献109

索引110

补遗115

附录部分习题的解答或提示117

1.欧几里得空间上的函数117

2.微分124

3.积分134

4.链上的积分145

5.流形上的积分160