泛函分析

Peter D.Lax亲授纽约大学、普林斯顿大学等名校教材
泛函分析的经典百科全书
叙述简洁，内容精炼，直击要点，快速入门
突破纯理论框架，强调泛函分析在微分方程和量子力学等领域中的应用

本书根据作者多年来在纽约大学柯朗数学研究所教授二年级研究生泛函分析课程的讲义撰写而成，给出了泛函分析的基本内容以及数学中一些不可缺少的深刻论题，包括自伴算子的谱分解和谱表示、紧算子理论、Krein-Milman定理、Gelfand的交换Banach代数理论、不变子空间、强连续单参数半群等。书中各章短小精辟，并配有习题，易于读者充分理解所学内容。
本书适合理工科专业、数学专业的本科生、研究生阅读。

目 录

第 1章 线性空间 1

第 2章 线性映射 7
2.1 线性映射生成的代数 7
2.2 线性映射的指标 10

第3章 Hahn-Banach定理 16
3.1 延拓定理 16
3.2 Hahn-Banach定理的几何形式 17
3.3 Hahn-Banach定理的延拓 20

第4章 Hahn-Banach定理的应用 24
4.1 正线性泛函的延拓 24
4.2 Banach极限 25
4.3 有限可加的不变集函数 27

第5章 赋范线性空间 29
5.1 范数 29
5.2 单位球的非紧性 34
5.3 等距 37

第6章 Hilbert空间 42
6.1 内积 42
6.2 闭凸集中的**佳逼近点 44
6.3 线性泛函 45
6.4 线性张 47

第7章 Hilbert空间结果的应用 51
7.1 Radon-Nikodym定理 51
7.2 Dirichlet问题 52

第8章 赋范线性空间的对偶 59
8.1 有界线性泛函 59
8.2 有界线性泛函的延拓 60
8.3 自反空间 63
8.4 集合的支撑函数 67

第9章 对偶性的应用 71
9.1 加权幂的完备性 71
9.2 M.untz逼近定理 72
9.3 Runge定理 74
9.4 函数论中的对偶变分问题 75
9.5 Green函数的存在性 77

第 10章 弱收敛 81
10.1 弱收敛序列的一致有界性 82
10.2 弱序列紧性 85
10.3 弱*收敛 86

第 11章 弱收敛的应用 88
11.1 用连续函数逼近δ函数 88
11.2 傅里叶级数的发散性 89
11.3 近似求积分 90
11.4 向量值函数的弱解析性和强解析性 90
11.5 偏微分方程解的存在性 91
11.6 具有正实部的解析函数的表示 94

第 12章 弱拓扑和弱*拓扑 96

第 13章 局部凸空间拓扑和Krein-Milman定理 100
13.1 通过线性泛函分离点 101
13.2 Krein-Milman定理 102
13.3 Stone-Weierstrass定理 103
13.4 Choquet定理 104

第 14章 凸集及其极值点的例子 109
14.1 正线性泛函 109
14.2 凸函数 110
14.3 完全单调函数 112
14.4 Carathéodory和Bochner定理 116
14.5 Krein的一个定理 120
14.6 正调和函数 121
14.7 Hamburger矩问题 122
14.8 GBirkho猜测 123
14.9 De Finetti定理 127
14.10 保测映射 128

第 15章 有界线性映射 131
15.1 有界性和连续性 131
15.2 强拓扑和弱拓扑 135
15.3 一致有界原理 136
15.4 有界线性映射的复合 137
15.5 开映射原理 137

第 16章 有界线性映射的例子 142
16.1 积分算子的有界性 142
16.2 Marcel Riesz凸性定理 145
16.3 有界积分算子的例子 147
16.4 双曲方程的解算子 152
16.5 热传导方程的解算子 153
16.6 奇异积分算子，拟微分算子和Fourier积分算子 156

第 17章 Banach代数及其基本谱理论 157
17.1 赋范代数 157
17.2 函数演算 161

第 18章 交换Banach代数的Gelfand理论 165

第 19章 交换Banach代数的Gelfand理论的应用 171
19.1 代数C(S) 171
19.2 Gelfand紧化 171
19.3 绝对收敛的Fourier级数 172
19.4 闭单位圆盘上的解析函数 173
19.5 开单位圆盘内的解析函数 174
19.6 Wiener的陶伯定理 175
19.7 交换的B*代数 180

第 20章 算子及其谱的例子 184
20.1 可逆映射 184
20.2 移位 186
20.3 Volterra积分算子 187
20.4 Fourier变换 188

第 21章 紧映射 189
21.1 紧映射的基本性质 189
21.2 紧映射的谱理论 193

第 22章 紧算子的例子 199
22.1 紧性的判别准则 199
22.2 积分算子 200
22.3 椭圆偏微分算子的逆 202
22.4 由抛物型方程定义的算子 203
22.5 殆正交基 204

第 23章 正的紧算子 206
23.1 正的紧算子的谱 206
23.2 随机积分算子 208
23.3 二阶椭圆算子的逆 210

第 24章 积分方程的Fredholm理论 212
24.1 Fredholm行列式和Fredholm预解式 212
24.2 Fredholm行列式的乘法性质 219
24.3 Gelfand-Levian-Marchenko方程和Dyson的公式 221

第 25章 不变子空间 225
25.1 紧算子的不变子空间 225
25.2 不变子空间套 227

第 26章 射线上的调和分析 233
26.1 调和函数的Phragmén-Lindel f原理 233
26.2 抽象Phragmén-Lindel f原理 234
26.3 渐进展开 243

第 27章 指标理论 246
27.1 Noether指标 246
27.2 Toeplitz算子 250
27.3 Hankel算子 256

第 28章 Hilbert空间上的紧对称算子 259

第 29章 紧对称算子的例子 266
29.1 卷积 266
29.2 一个微分算子的逆 268
29.3 偏微分算子的逆 269

第30章 迹类和迹公式 271
30.1 极分解与奇异值 271
30.2 迹类，迹范数，迹 272
30.3 迹公式 275
30.4 行列式 281
30.5 迹类算子的例子和反例 282
30.6 Poisson和公式 287
30.7 如何将算子的指标表示成迹的差 288
30.8 Hilbert-Schmidt类 290
30.9 Banach空间上的算子的迹和行列式 291

第31章 对称算子、正规算子和酉算子的谱理论 293
31.1 对称算子的谱 294
31.2 对称算子的函数演算 296
31.3 对称算子的谱分解 298
31.4 绝对连续谱、奇异谱和点谱 300
31.5 对称算子的谱表示 301
31.6 正规算子的谱分解 305
31.7 酉算子的谱分解 306

第32章 自伴算子的谱理论 311
32.1 谱分解 311
32.2 利用Cayley变换构造谱分解 320
32.3 自伴算子的函数演算 321

第33章 自伴算子的例子 325
33.1 无界对称算子的延拓 325
33.2 对称算子延拓的例子，亏指数 327
33.3 Friedrichs延拓 331
33.4 Rellich扰动定理 334
33.5 矩问题 337

第34章 算子半群 343
34.1 强连续的单参数半群 344
34.2 半群的构造 349
34.3 半群的逼近 352
34.4 半群的扰动 356
34.5 半群的谱理论 358

第35章 酉算子群 363
35.1 Stone定理 363
35.2 遍历理论 365
35.3 Koopman群 367
35.4 波动方程 369
35.5 平移表示 370
35.6 Heisenberg交换关系 376

第36章 强连续算子半群的例子 382
36.1 由抛物型方程定义的半群 382
36.2 由椭圆型方程定义的半群 382
36.3 半群的指数型衰减 386
36.4 Lax-Phillips半群 390
36.5 障隘外部的波动方程 391

第37章 散射理论 395
37.1 扰动理论 395
37.2 波算子 397
37.3 波算子的存在性 399
37.4 波算子的不变性 406
37.5 位势散射 406
37.6 散射算子 407
37.7 Lax-Phillips散射理论 408
37.8 散射矩阵的零点 414
37.9 自守波动方程 415

第38章 Beurling定理 426
38.1 Hardy空间 426
38.2 Beurling定理 427
38.3 Titchmarsh卷积定理 434

附录 A Riesz-Kakutani表示定理 439
A.1 正线性泛函 439
A.2 体积 442
A.3 函数空间L 444
A.4 可测集和测度 446
A.5 Lebesgue测度和积分 450

附录 B广义函数理论 451
B.1 定义和例子 451
B.2 广义函数的运算 452
B.3 广义函数的局部性质 454
B.4 在偏微分方程中的应用 460
B.5 Fourier变换 464
B.6 Fourier变换的应用 472
B.7 Fourier级数 473

附录 C Zorn引理 475

关键词索引 476