描述
开 本: 128开纸 张: 胶版纸包 装: 平装-胶订是否套装: 否国际标准书号ISBN: 9787115430434丛书名: 图灵原创
张景中院士作序
《思考的乐趣》《浴缸里的惊叹》作者Matrix67强力推荐
了解数学悖论与三次数学危机，感知数学的趣味与变迁，知其然知其所以然
本书介绍数学中的三大悖论（毕达哥拉斯悖论、贝克莱悖论、罗素悖论）与三次数学危 机，以时间为序，以环环相扣的数学家轶事为纲，带大家了解数学发展史，理解悖论的巨 大作用，以及认识欧几里得几何、无理数、微积分、集合论等的来龙去脉。书中穿插大量 数学家的逸事，融知识性与趣味性于一体。本书这一版专门添加附录介绍了哥德尔证明。
序（张景中） / iii
前言 / v
部分
毕达哥拉斯悖论与次数学危机
第1 章 几何定理中的“黄金”：勾股定理 / 2
古老的定理 / 2
勾股定理的广泛应用及其地位 / 8
第2 章 秘密结社：毕达哥拉斯与毕达哥拉斯学派 / 12
智慧之神：毕达哥拉斯 / 12
毕达哥拉斯学派的数学发现 / 16
毕达哥拉斯学派的数学思想 / 24
勾股定理证法赏析 / 35
第3 章 风波乍起：次数学危机的出现 / 45
毕达哥拉斯悖论 / 45
次数学危机 / 50
第4 章 绕过暗礁：次数学危机的解决 / 58
欧多克索斯的解决方案 / 58
同途殊归：古代中国的无理数解决方案 / 65
第5 章 福祸相依：次数学危机的深远影响 / 70
次数学危机对数学思想的影响 / 70
欧几里得和《几何原本》 / 75
次数学危机的负面影响 / 82
第二部分
贝克莱悖论与第二次数学危机
第6 章 风起清萍之末：微积分之萌芽 / 86
古希腊微积分思想 / 86
微积分在中国 / 104
第7 章 积微成著：逼近微积分 / 116
蛰伏与过渡 / 116
半个世纪的酝酿 / 121
第8 章 巨人登场：微积分的发现 / 133
牛顿与流数术 / 133
莱布尼茨与微积分 / 143
巨人相搏 / 150
第9 章 风波再起：第二次数学危机的出现 / 153
贝克莱悖论与第二次数学危机 / 153
弥补漏洞的尝试 / 158
第10 章 英雄时代：微积分的发展 / 166
数学英雄 / 166
分析时代 / 172
第11 章 胜利凯旋：微积分的完善 / 183
分析注入严密性 / 183
分析的算术化 / 196
第三部分
罗素悖论与第三次数学危机
第12 章 走向无穷 / 204
康托尔与集合论 / 204
康托尔的难题 / 217
第13 章 数学伊甸园 / 220
反对之声 / 220
赞誉与影响 / 228
第14 章 一波三折：第三次数学危机的出现 / 232
罗素悖论与第三次数学危机 / 232
悖论分析与解决途径 / 239
第15 章 兔、蛙、鼠之战 / 246
逻辑主义 / 246
直觉主义 / 254
形式主义 / 260
第16 章 新的转折 / 268
哥德尔的发现 / 268
数理逻辑的兴起与发展 / 274
附录 哥德尔证明 / 285
步：哥德尔配数 / 286
第二步：构造自指命题 / 296
第三步：证明哥德尔不完全性定理 / 300
参考文献 / 307
这本《数学悖论与三次数学危机》，值得一读。
它的特色是：史料脉络清晰，说理透彻明白，文字通俗生动。这样的科普作品会引起读者的兴趣，会启发读者进一步的思考，会给读者留下回味，特别是使青少年读者受益。
将数学悖论和三次数学危机联系在一起谈，确实是一个不错的想法。三次数学危机都是数学史上的精彩情节，引人入胜；而那些蕴含哲理的数学悖论更是发人深省。每个悖论的破译，都可从正反两个方面加深对数学基本概念和基本方法的理解。
通过这些故事，你会看到数学的发展真是一波三折。数学的严谨是一代又一代数学家努力的结果，数学的抽象更是经过千锤百炼而成的。
在本书中，你也许找不到“什么是数学悖论”这一问题的答案，但这并不影响你阅读本书，而且你还会从中得到乐趣和智慧。事实上，对于数学悖论，大家的理解至今并不一致。同一个问题，例如有理数的平方不可能等于2，在古希腊被认为是悖论，在今天看来不过是平常的事实。就是在同一个时代，不同学术素养的人对一个问题是不是悖论也会有不同的看法，甲以为是悖论，乙可能认为不过是推理中的一个普通而隐蔽的错误。
例如，作者在前言开始就提到的有名的“说谎者悖论”，几年前经过我国数学家文兰的严密分析论证，其本质不过是布尔代数里的一个矛盾方程。矛盾方程在通常的代数中很普通，在布尔代数里也是要多少就有多少，每一个矛盾方程都可以转化为相应的悖论。“物以稀为贵”，若是要多少有多少，就不新鲜了。
一个悖论的数学本质被揭露了，它似乎就失去了被继续研究的价值。但是，在数学发展的历史上，它功不可没。当然，研究悖论的逻辑学家或数学哲学家，可能不同意文兰的看法；这说明，同时代的学者对同一个问题是不是悖论，也会有截然不同的看法。进一步可以说，同一个人，今天他认为某个问题是悖论，也许明天就会有不同的看法。
但是，不管一个数学问题叫不叫悖论，它总是一个问题。问题是数学的心脏，对问题的研究推动着数学的发展，对“悖论”的研究当然也会推动数学的发展。把某些悖论的出现叫作数学危机，不知道是谁个说的。我向作者请教过，作者暂时还没有找到出处。不过，在多数数学家看来，数学没有危机，也不会有危机。但是数学家忙着自己的研究，一般不太关心数学危机的说法。研究数学哲学的人，对于有没有数学危机，也是各有各的看法。但既然有了这个说法，又比较能吸引大众的目光，让大家对数学有更多的兴趣，也是好事。
我说这些，是希望读者看本书的时候更多地思考。对书中引用的不少观点，你不妨多问几个为什么，和古人做一次假想的对话，提出自己独立的看法。如能这样，从本书里得到的好处，可算是非常丰富了。
张景中
“这是我大学时看过的zui好的数学书之一。‘数学悖论与三次数学危机’这个话题，漂亮地将整个数学史贯穿在了一起。这本书则把与之相关的来龙去脉讲述得非常细致，甚至还深入浅出地介绍了很多同类书里都不会提到的技术细节，让人更加真实地感受到数学的魅力。不管你是不是数学专业人士，相信都会在阅读此书后有所收获。” ——Matrix67（顾森），《思考的乐趣》作者
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