优等生必会的数学技巧

本书作为一本为中小学生量身定做的神奇数学魔法书，通过实例详细地介绍讲解了数学运算中常见的解题方法及技巧。它可以在很大程度上帮助学生们轻松驾驭数学，建立强大的数学自信心，开阔思路，扩展思维，让头脑更加灵活，让大脑更加聪明。 

本书作为一本为中小学生量身定做的神奇数学魔法书，通过实例详细地介绍讲解了40个常见数学题型的解题技巧，以及20种常用的数学速算、巧算方法。并在每节中用实例介绍了这些方法和技巧的应用。保证你一看就懂，一学就会。让你不禁感慨：如此神奇的算法，为啥数学老师没有教给我！

于雷，哈尔滨人。毕业于北京大学信息管理系。畅销书作家，编辑，曾为北京翰知苑文化发展有限责任公司法人、经理、编辑部主任，后定居武汉，创办于雷图书工作室，主要从事青少年益智类图书的策划编辑与组稿工作。逻辑思维训练专家。一直致力于青少年逻辑思维的训练与开发。
已出版一批青少年益智读物，包括《逻辑思维训练500题》、《逻辑思维训练500题（白金版）》、《北大清华学生爱做的400个思维游戏》、《逻辑其实很简单》等深受广大读者欢迎。其中《逻辑思维训练500题》被北京图书大厦评为“2008年读者最喜爱的图书（社科类）”，至今销售已逾12万册。

一、 数的认识1
1. 数字1
1） 数字的诞生和发展1
2） 阿拉伯数字3
3） 罗马数字4
4） 中文数字6
2. 整数8
1） 因数与倍数8
2） 整除的特性13
3） 奇数与偶数16
4） 质数与合数17
5） 哥德巴赫猜想20
3. 小数22
1） 小数化分数22
2） 纯循环小数化分数23
4. 分数24
1） 一些特殊的分数转换成小数24
2） 通分与约分27
3） 分数比较大小28
5. 近似数31
1） 求近似数的方法32
2） 估算法33
6. 进制37
1） 二进制数37
2） 十进制40
3） 进制转换41
7. 编码45
1） 身份证号码45
2） 车牌号46
3） 邮政编码47
4） 书号48

二、  数的运算49
1. 加法49
1） 用凑整法做加法50
2） 用补数法做加法51
3） 用基准数法做连加法52
4） 用拆分法做加法（1）52
5） 用拆分法做加法（2）54
6） 用分组法求连续数的和55
7） 用格子法做加法58
2. 减法59
1） 用凑整法做减法61
2） 用补数法做减法61
3） 用拆分法做减法62
3. 乘法62
1） 用补数法做乘法64
2） 用中间数做乘法64
3） 用拆分法做两位数乘法65
4） 用错位法做乘法66
5） 用节点法做乘法67
6） 用网格法做乘法68
7） 用三角格子做乘法69
8） 用面积法做两位数乘法69
4. 除法70
1） 用直除法做除法73
2） 用运算律做连除法73
3） 用补数法做除法74
4） 用截位法做多位数除法76
5. 乘方77
1） 用基准数法做三位数平方81
2） 用基准数法做两位数立方82
3） 用因式分解法做两位数平方83
4） 用因式分解法做两位数立方84
6. 开方84
1） 完全平方数开平方84
2） 完全立方数开立方86
7. 混合运算89
1） 用运算律做乘除混合运算90
2） 用整体法做复杂计算题91
8. 验算93
9. 其他95
1） 用凑整法做小数95
2） 用凑整法做分数97
3） 用拆分法做分数97
4） 用裂项法做分数98
5） 用特殊值法做特定题型99
6） 用放缩法比较大小101

三、 式与方程103
1. 解方程的依据103
2. 二元一次方程的解法103
3. 常用的计算公式105
1） 几何问题基本公式105
2） 代数问题基本公式106
4. 常用的数量关系109
5. 常用的定律和法则110

四、 比和比例120
1. 比与除法、分数的关系120
2. 连比121
3. 比例问题121
4. 正反比例122

五、 常见的量124
1. 时间124
2. 判断平年、闰年125
3. 计算某个日期是星期几126
4. 华氏温度与摄氏温度的换算128
5. 常用的单位换算129

六、 空间与图形131
1. 几何问题131
2. 图形与变换133
1） 平移134
2） 旋转135
3） 对称135
4） 放缩137
七、 统计与概率139
1. 平均数139
2. 中位数141
3. 众数141
4. 概率的性质142

八、 周期与规律143
1. 数字中的规律143
2. 算式中的规律148
1） 神奇的数字规律148
2） 一个数除以9的神奇规律153
3. 图形推理中的规律154
4. 方阵中的规律157
5. 周期中的规律158

九、 综合应用题160
1. 一般复合应用题160
1） 一般复合应用题的解法160
2） 一般复合应用题的解题步骤161
2. 典型应用题161
1） 归一问题161
2） 归总问题162
3） 和差倍问题162
4） 年龄问题164
5） 相遇问题165
6） 追及问题166
7） 相离问题168
8） 流水问题169
9） 植树问题170
10） 还原问题170
11） 盈亏问题171
12） 余数问题172
13） 时钟问题174
14） 集合问题176
15） 工程问题178
16） 浓度问题179
17） 统筹问题180
18） 利润问题183
19） 抽屉问题184
20） 排列组合问题185
21） 赛制问题187
22） 页码问题189
23） 珠心算问题190
3. 趣味数学194
1） 鸡兔同笼问题194
2） 兔子繁殖问题195
3） 牛吃草问题196
4） 帽子问题198
5） 说谎问题201
6） 分金问题202
7） 过河问题209
8） 计时问题210
9） 称重问题211
10） 取水问题214
11） 火柴游戏215
12） 纸牌游戏216
13） 幻方与数阵218
14） 棋盘游戏221
15） 猜数游戏222
16） 分割问题224
17） 连线问题225
18） 一笔画问题226
19） 数图形问题229
20） 悖论与诡辩230
21） 游戏必胜策略232
22） 巧记圆周率235

参考文献238

如今，数学知识和数学思想在人们日常生产生活中有着极其广泛的应用。著名数学家华罗庚曾说过: “宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之变,生物之谜,日用之繁,无处不用数学。”而数学思想、数学方法和数学技巧则是构成这一体系的重要组成部分。
然而，数学对许多人来说却都是求学时期的噩梦。有时前面的知识和方法无法理解时，后面的学习就会无法跟上。有时即使内容都理解了，也可能因为粗心大意或者技巧掌握不足，依旧无法拿到高分。
其实，数学是一门很活的课程，锻炼的是人的逻辑思维能力。如果只是单纯、机械地做题，而不开动脑筋找规律、作总结，理解其中的数学思想和原理，发现各种题目的特点、差别，相应地运用不同的方法和技巧进行速算与巧算，是无法真正掌握其中的奥妙的。
本书汇集了中小学生常用的几乎所有必备的技巧和方法。这些巧妙的方法和技巧灵活多样、不拘一格，一道题通常可以有两种到三种完全不同的算法，而且这些解题方法有别于我们传统的数学方法，总是窍门多多，方法神奇，更简单、更快捷、更有技巧性。不仅提高了孩子们对数学学习的兴趣，还大大提升了计算的速度和准确性，而且还可以训练孩子超强的逻辑思维能力，使他们能够从一开始就站在不一样的起点上！
学好数学的几个建议如下。
（1） 尽可能多地记忆一些数学基础知识，包括常用的公式、定理、规律、方法、技巧、结论等。头脑中没有公式，解数学题时就没有办法熟练应用。
（2） 记录数学笔记。特别是对概念理解的不同侧面和一些数学规律、数学方法、数学技巧，一定要认真记下来，弄懂学透。
（3） 建立纠错本。把平时容易出现错误的知识记下来，由果索因把错误原因弄个水落石出，并从反面入手深入理解正确的东西，争取做到： 找错、析错、改错、防错。
（4） 争做“小老师”。抓住一切机会给同学讲题，形成数学学习“互助小组”。只有给别人讲通了，才说明自己真正学透了。
（5） 扩大数学视野。多做数学课外题，多看数学趣味题，扩大知识视野，训练数学思维。
（6） 学会归纳总结分类。可以： ①从数学思想分类； ②从解题方法归类； ③从知识应用上分类。
参与本书编写的人员有于雷、于艳春、罗飞、龚宇华、于艳苓、何正雄、李志新、于艳华、何晶、李方伟、王春风、魏银波、于艳娟、石秀芹（排名不分先后）等人，在此向大家表示感谢。

编者
2019年1月

一、数的认识1. 数字〖*2〗1） 数字的诞生和发展数字作为数学大厦的基石，是人类进化的产物。数的概念的形成可能与火的使用一样古老，它对于人类文明的意义也绝不亚于火的使用。
在几百万年以前，我们的祖先还完全没有数的概念。原始人类过着群居的生活。白天共同劳动，采集果薯，捕猎鸟兽，晚上住在洞穴里，共同享用劳动所得。逐渐对“数”产生了朦胧的概念，但也仅限于“有”“无”“多”“少”。他们狩猎而归，猎物或有或无。同时，他们也会注意到一只羊与许多只羊、一头狼与整群狼在数量上的差异。
随着文明的进步，这些模糊不清的概念越来越难以满足生产、生活的需要。由于记事和分配生活用品等方面的需要，逐渐产生了数的概念。最早人们利用自己的手指头、石块或者木棍来计数。比如，捕获了1头野兽，就用1块石子代表。捕获了3头，就放3块石子。公元前1500年，南美洲秘鲁印加族（印第安人的一部分）习惯于“结绳计数”——每收进一捆庄稼，就在绳子上打个结，用结的多少来记录收成。根据我国古书《易经》的记载，上古时期的中国人也是“结绳而治”，就是用在绳上打结的办法来记事表数。传说古代波斯王打仗时也常用绳子打结来计算天数。
另外，用利器在树皮上或兽皮上刻痕，也是古人常用的办法。底格里斯河与幼发拉底河之间及两河周围，叫作美索不达米亚，那里产生过一种文化，与埃及文化一样，也是世界上最古老的文化之一。美索不达米亚人用在树木或者石头上刻痕划印来记录流逝的日子。后来，他们逐渐以符号代替刻痕，用1个符号表示1件东西，2个符号表示2件东西，以此类推，这种计数方法延续了很久。后来又改为“书契”，即用刀在竹片或木头上刻痕计数。直到今天，我们中国人还经常会使用写“正”字来计数。每写一画代表“一”，而“正”字正好是五画，还包含着“逢五进一”的意思。
到了后来，人们发现仅仅用自然数来计数是远远不够的。比如，分配物品时，3个人分2件东西，每个人该分多少呢？于是分数就产生了。
接着人们又发现很多数量具有相反的意义，比如，增加和减少、前进和后退，为了表示这样的量，又产生了负数。正数、负数和零，统称为有理数。
公元前2500年，毕达哥拉斯的学生在研究1与2的比例中项时，发现没有一个能用整数比例写成的数可以表示它，这个新数的出现使毕达哥拉斯感到震惊，紧接着人们又发现了很多不能用两整数之比写出来的数，如圆周率就是最重要的一个，人们就把这些数称作无理数。有理数和无理数一起统称为实数。
但是后来，在解方程的时候常常需要开平方，如果被开方数是负数，这道题还有解吗？如果没有解，那么数学运算就像走在死胡同中那样处处碰壁。于是数学家们就规定用符号“i”表示“-1”的平方根，虚数就这样诞生了。
数字的概念发展到虚数以后，在很长一段时间内，就连某些数学家也认为数的概念已经十分完善了。可是1843年10月16日，英国数学家哈密尔顿又提出了“四元数”的概念。所谓四元数，就是由一个标量 （实数）和一个向量（其中x、y、z为实数）组成的数。四元数在数论、群论、量子理论以及相对论等方面有着广泛的应用。与此同时，人们还开展了对“多元数”理论的研究。
到目前为止，数字的“家族”已发展得十分庞大。至于究竟什么时候才能把数字家族的成员全部凑齐，依然是未知数！
2） 阿拉伯数字
阿拉伯数字，其实并不是阿拉伯人发明创造的，而是发源于古印度。后来被阿拉伯人掌握、改进，并传到了西方，西方人非常喜爱这套方便、实用的计数符号，便将这些数字称为阿拉伯数字。慢慢地，世界各地都认同了这个叫法。尽管后来人们知道了事情的真相，但由于习惯使然，也就一直没有改正过来。
在古代印度，进行城市建设时需要设计和规划，进行祭祀时需要计算日月星辰的运行，于是，数学计算就产生了。大约在公元前3000年，印度河流域居民的数字就比较先进，而且采用了十进位的计算方法。到公元前3世纪，印度出现了整套的数字，但各地区的写法并不完全一致，其中最有代表性的是婆罗门式。现代数字就是由这一组数字演化而来的。当时，在这一组数字中，只有1～9九个符号，还没有出现“0”这个数字。“0”是到了笈多王朝（公元320—550年）时期才出现的。
这些阿拉伯数字不单单用来计数，还有着丰富的哲学内涵。
1： 可以看作是数字“1”，也可以看作是一根棍子、一个拐杖、一把竖立的枪、一支蜡烛……
2： 可以看作是数字“2”，也可以看作是一只木马、一个跪着的人、一个陡坡、一个滑梯、一只鹅……
3： 可以看作是数字“3”，也可以看作是两根手指、斗鸡眼、树杈、立起来的W……
4： 可以看作是数字“4”，也可以看作是一个蹲着的人、小帆船、小红旗、小刀……
5： 可以看作是数字“5”，也可以看作是大肚子、小屁股、音符……
6： 可以看作是数字“6”，也可以看作是小蝌蚪、一个头和一个手臂露在外面的人……
7： 可以看作是数字“7”，也可以看作是拐杖、小桌子、板凳、镰刀……
8： 可以看作是数字“8”，也可以看作是数学符号“∞”、花生、套环、雪人……
9： 可以看作是数字“9”，也可以看作是一个靠着坐的人、小嫩芽……
0： 可以看作是数字“0”，也可以看作是胖乎乎的人、圆形、鞋底、脚丫、瘦子的脸、鸡蛋……
3） 罗马数字
罗马数字是一种现在应用比较少的数量表示方法。但是，它的产生标志着一种古代文明的进步。
罗马数字是在希腊数字的基础上建立的一种计数方法。大约在2500年前，罗马人还处在文化发展的初期，当时他们用手势来表示数字。比如，为了表示一、二、三、四个物体，就分别伸出一、二、三、四根手指；表示五个物体就伸出一只手；表示十个物体就伸出两只手。相应地，为了记录下这些数字，就在羊皮上画出Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ来代替手指的根数；要表示一只手时，就写成“Ⅴ”形，表示大拇指与食指张开的形状；表示两只手时，就画成“ⅤⅤ”形，后来又写成一只手向上，一只手向下的“Ⅹ”，这就是罗马数字的雏形。
后来为了表示较大的数，罗马人用符号C表示一百。C是拉丁词century的第一个字母，century就是一百的意思。用符号M表示一千。M是拉丁词mille的第一个字母，mille就是一千的意思。取字母C的一半，成为符号L，表示50。这样，罗马数字就有了下面七个基本符号： Ⅰ表示1，Ⅴ表示5，Ⅹ表示10，L表示50，C表示100，D表示500，M表示1000。若在数的上面画一横线，这个数就扩大1000倍。这样就可以表示更大的数字。
用罗马数字表示数的基本方法一般是把若干个罗马数字写成一列，它表示的数等于各个数字所表示的数相加的和。但是也有例外，当符号Ⅰ、Ⅹ或C位于大数的后面时就作为加数；位于大数的前面时就作为减数。具体规则如下。
（1） 重复数次。一个罗马数字重复几次，就表示这个数的几倍。
（2） 右加左减。在一个较大的罗马数字的右边记上一个较小的罗马数字，表示大数字加小数字。在一个较大的罗马数字的左边记上一个较小的罗马数字，表示大数字减小数字。但是，左减不能跨越等级。比如，99不可以用ⅠC表示，而用ⅩCⅠⅩ表示。
（3） 加线乘千。在一个罗马数字的上方加上一条横线或者在右下方写M，表示将这个数字乘以1000，即是原数的1000倍。同理，如果上方有两条横线，即是原数的1000000倍。
（4） 单位限制。同样单位最多只能出现3次，如40不能表示为ⅩⅩⅩⅩ，而要表示为ⅩL。
罗马数字表示大数字时写起来就比较简短，但计算十分不便。到现在已经很少有人使用罗马数字计数了。现在有的钟表表面仍用它表示时数。此外，在书稿章节及科学分类时也有采用罗马数字的。
遗憾的是，罗马数字里没有 0。运算的时候不能进位，不能做除法，即使十分简单的运算，也极为困难。罗马教皇还自认为用罗马数字来表示任何数字不但完全够用而且十全十美，他们甚至向外界宣布： “罗马数字是上帝发明的，从今以后不许人们再随意增加或减少一个数字。”0 在罗马是被禁止使用的。
有一次，一位罗马学者了解到了关于0的介绍，他认为0对计数是很有益处的，于是便不顾罗马教皇的禁令，在自己的著作中悄悄记载了一些关于0的用法，并把一些有关0的知识以及在运算中所起到的作用暗中进行传播。这件事被罗马教皇知道后，马上派人把他给囚禁了起来，还大发脾气地说： “神圣的数，不可侵犯，是上帝创造出来的，绝不允许 0 这个邪物加进来，弄污了神圣的数！”
但是黑暗终究战胜不了光明，人们一旦意识到0的重要作用，就会不顾一切地冲破教会的束缚，大胆地使用起它来。
725年，罗马人开始用字母N（N是nulla的简称，拉丁文释义为零）代表零。
4） 中文数字
我们常用的计数方法除了阿拉伯数字外，还有中文数字。中文数字又分为小写与大写。
阿拉伯数字与中文数字大小写对照表见表11。表11阿拉伯数字与中文大小写对照表
阿拉伯数字中文小写数字中文大写数字0○零1一壹2二贰3三叁4四肆5五伍6六陆7七柒8八捌9九玖10十拾20二十/廿（niàn）贰拾30三十/卅（sà）叁拾40四十/卌（xì）肆拾100一百壹佰200二百/皕（bì）贰佰1000一千壹仟10000一万壹万100000000一亿壹亿通过上面的表格我们可以看出，不管是阿拉伯数字（1、2、3…），还是汉字小写数码（一、二、三……），由于笔画简单，都容易被涂改伪篡。所以一般文书和商业财务票据上的数字都要采用中文大写数字: 壹、贰、叁、肆、伍、陆、柒、捌、玖、拾、佰、仟。而像万、亿这类数字，本身笔画已经比较复杂，而且使用机会也较少，没有必要再用别的字代替。
这些汉字很早就已经产生了，而用作大写数字，属于假借。数字的这种繁化写法，早在唐代就已经全面地使用了，后来逐步规范化成为一套大写数码，并一直沿用至今。
中文大写数字的广泛应用，主要是防止人篡改数字进行经济犯罪而采取的有效措施。
明朝初年，一起涉及12名高官、6个部的左右侍郎的重大“郭桓贪污案”，就是利用空白账册大做假账，通过篡改数字大肆侵吞钱粮，累计高达2400多万石，这个数字几乎和当时全国秋粮实征总数相当。朱元璋对此大为震怒，下令将郭桓等同案犯几万人斩首示众，同时制定了惩治经济犯罪的严格法令，并在财务管理上进行技术防范——把汉字中的数字改为难以涂改的大写，即将“一二三四五六七八九十百千”改为“壹贰叁肆伍陆柒捌玖拾佰仟”等，被称为中国历史上金额数字大写的首创。
到了现代社会的今天，银行票证、流动支票、实用发票、合同协议、账目单据等各类经济文本必须标明大写数字，已经成为“约定俗成”的规则。
票据规定，银行、单位和个人填写票据与结算凭证，必须做到标准化、规范化，要求要素齐全、数字正确、字迹清晰、不错漏、不潦草，防止涂改。中文大写金额数字应用正楷或行书填写，如壹、贰、叁、肆、伍、陆、柒、捌、玖、拾、佰、仟、万、亿、元、角、分、零、整（正）等字样。不得用一、二（两）、三、四、五、六、七、八、九、十、念、毛、另（或○）填写，不得自造简化字。如果金额数字书写中使用繁体字，如貳、陸、億、萬、圓的，也应受理。
2. 整数〖*2〗1） 因数与倍数（1） 概念
因数和倍数： 若整数a能够被b整除，a叫作b的倍数，b就叫作a的因数。
公因数： 几个数公有的因数，叫作这几个数的公因数；其中最大的一个，叫作这几个数的最大公因数。
公倍数： 几个数公有的倍数，叫作这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫作这几个数的最小公倍数。
互质数： 如果两个数的最大公因数是1，那么这两个数叫作互质数。
（2） 性质
因数与倍数的性质如下。
一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。倍数和因数是相互存在的。0是任何整数的倍数。
图11（3） 因数
① 表示一个数的因数的方法
（a） 列举法。即把一个数的因数按从小到大的顺序列出来。
例子： 表示出36的因数。
解： 36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36。
（b） 集合法。即把一个数的因数按从小到大的顺序写在集合圈里。
例子：  表示出36的因数。
解： 36的因数如图11所示。
② 求一个数的因数的方法
（a） 用乘法找。
用乘法找就是用因数和倍数的关系来找。
例子：  找出36的所有因数。
解： 首先我们在自然数的范围内找出所有乘积为36的乘法算式。一般我们会从1开始找起。
1×36=36，2×18=36，3×12=36，4×9=36，6×6=36
所以，1、2、3、4、6、9、12、18、36都是36的因数。
（b） 用除法找。
用除法找，就是用整除的意义来找。
例子：  找出36的所有因数。
解： 首先我们找出36除以哪些数可以整除。一般我们会从1开始找起。
36÷1=36，36÷2=18，36÷3=12，36÷4=9，36÷6=6
所以，1、2、3、4、6、9、12、18、36都是36的因数。
③ 求一个数有多少个因数
求一个数有多少个因数，可以将这个数分解质因数，然后将相同的因数的积用an的形式表示出来，最后给各因数的指数加1，然后将所得的和连乘，积就是这个数的因数的个数。
例子：  求180的因数的个数。
解： 180=2×2×3×3×5
=22×32×51所以,180的因数的个数为（2 1）×（2 1）×（1 1）=18（个）。
④ 最大公因数的性质
（a） 几个数都除以它们的最大公因数，所得的几个商是互质数。
（b） 几个数的最大公因数都是这几个数的因数。
（c） 几个数的公因数，都是这几个数的最大公因数的因数。
（d） 几个数都乘以一个自然数m，所得的积的最大公因数等于这几个数的最大公因数乘以m。
⑤ 求最大公因数的基本方法
（a） 分解质因数法。先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。
几个自然数的最大公因数必须包含这几个自然数全部公有的质因数，因此我们可以先把各个数分解质因数，再把这几个自然数全部公有的质因数选出来并连乘起来，所得的积就是要求的最大公因数。
例子：  求18和24的最大公因数。
解： 先分别分解质因数。 18=2×3×3
24=2×2×2×3公有的质因数为2和3，所以18和24的最大公因数是2×3=6。
（b） 短除法。先找公有的因数，然后相乘。
用几个数公有的质因数从小到大依次作为除数，分别去除这几个数，把除得的商写在该数的下方，一直除到这几个商只有公因数1为止，然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公因数。图12

例子：  求18和24的最大公因数。
解： 根据图12可知，18和24的最大公因数是2×3=6。
（c） 辗转相除法。每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公因数。
具体方法： 先用较小的数去除较大的数，再用出现的余数（第一余数）去除除数。接着再用出现的第二余数去除第一余数……直到没有余数为止。最后的除数就是两个数的最大公因数。
例子：  求18和24的最大公因数。
解： 先用24÷18=1……6；
再用18÷6=3，没有余数；
所以,18和24的最大公因数是6。
（d） 特殊方法。
如果两个数互质，则它们的最大公因数是1；如果较小数是较大