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开 本: 16开纸 张: 胶版纸包 装: 平装-胶订是否套装: 否国际标准书号ISBN: 9787302495833
第1章空间解析几何与向量代数
1.1向量及其线性运算
1.1.1向量的概念
1.1.2向量的线性运算
习题11
1.2空间直角坐标系向量的坐标
1.2.1空间直角坐标系
1.2.2向量的坐标表示
1.2.3向量的代数运算
1.2.4向量的模与方向余弦
1.2.5向量在轴上的投影
习题12
1.3数量积与向量积
1.3.1两向量的数量积
1.3.2两向量的向量积
习题13
1.4曲面及其方程
1.4.1曲面方程的概念
1.4.2旋转曲面
1.4.3柱面
习题14
1.5空间曲线及其方程
1.5.1空间曲线的一般方程
1.5.2空间曲线的参数方程
1.5.3空间曲线在坐标面上的投影
习题15
1.6平面及其方程
1.6.1平面的点法式方程
1.6.2平面的一般方程
1.6.3平面的截距式方程
1.6.4两平面的夹角
1.6.5点到平面的距离
习题16
1.7空间直线及其方程
1.7.1空间直线的一般方程
1.7.2空间直线的对称式方程与参数方程
1.7.3两直线的夹角
1.7.4直线与平面的夹角
1.7.5平面束
习题17
总习题1
第2章多元函数微分学
2.1多元函数的基本概念
2.1.1平面区域的概念
2.1.2n维空间的概念
2.1.3二元函数的概念
2.1.4二元函数的极限
2.1.5二元函数的连续性
习题21
2.2偏导数
2.2.1偏导数定义
2.2.2高阶偏导数
习题22
2.3全微分及其应用
2.3.1全微分的概念
2.3.2函数可微分的条件
2.3.3二元函数的线性化
习题23
2.4多元复合函数的求导法则
2.4.1复合函数的中间变量为一元函数的情形
2.4.2复合函数的中间变量为多元函数的情形
2.4.3复合函数的中间变量既有一元函数也有多元函数的情形
2.4.4全微分形式的不变性
习题24
2.5隐函数的求导法则
2.5.1一个方程的情形
2.5.2方程组的情形
习题25
2.6多元函数的极值
2.6.1二元函数极值的概念
2.6.2条件极值拉格朗日乘数法
2.6.3最小二乘法
习题26
总习题2
第3章二重积分
3.1二重积分的概念与性质
3.1.1二重积分的概念
3.1.2二重积分的性质
习题31
3.2二重积分的计算(一)
3.2.1利用直角坐标计算二重积分
习题32
3.3二重积分的计算(二)
3.3.1在极坐标系下计算二重积分
3.3.2一般曲线坐标系中二重积分的计算
习题33
3.4二重积分的应用
3.4.1曲面面积
3.4.2质心
习题34
总习题3
第4章无穷级数
4.1常数项级数的概念和性质
4.1.1常数项级数的概念
4.1.2常数项级数的基本性质
习题41
4.2正项级数的判别法
4.2.1正项级数的概念
4.2.2正项级数敛散性的判别法
习题42
4.3交错级数
4.3.1交错级数定义
4.3.2绝对收敛与条件收敛
4.3.3绝对收敛级数的性质
习题43
4.4幂级数
4.4.1函数项级数的概念
4.4.2幂级数及其收敛性
4.4.3幂级数的运算
习题44
4.5函数的幂级数展开
4.5.1泰勒级数
4.5.2函数的幂级数展开
习题45
4.6幂级数的应用
4.6.1函数值的近似计算
4.6.2定积分的近似计算
习题46
总习题4
第5章微分方程
5.1微分方程的基本概念
习题51
5.2可分离变量的微分方程及齐次方程
5.2.1可分离变量的微分方程
5.2.2齐次方程
5.2.3可化为齐次方程的微分方程
习题52
5.3一阶线性微分方程及伯努利方程
5.3.1一阶线性微分方程
5.3.2伯努利方程
习题53
5.4可降阶的微分方程
5.4.1y″=f(x)型
5.4.2y″=f(x,y′)型
5.4.3y″=f(y,y′)型
习题54
5.5二阶线性微分方程解的结构
习题55
5.6二阶常系数齐次线性微分方程
5.6.1二阶常系数齐次线性微分方程及其解法
5.6.2n阶常系数齐次线性微分方程的解法
习题56
5.7二阶常系数非齐次线性微分方程
5.7.1f(x)=Pm(x)eλx型
5.7.2f(x)=Pm(x)eλxcosωx或Pm(x)eλxsinωx型
习题57
*5.8欧拉方程
习题58
总习题5
习题答案与提示
经过多年的教学改革实践,随着高等院校本科教学质量工程的推进,民办高校和独立学院对微积分的教学提出了更高的目标.为满足新形势下培养高素质专门人才所必须具有的微积分知识的实际需要,迫切需要编写新的微积分教材以适应分类教学的要求.本书是编者在多年本科教学的基础上,在经典教材的理论框架下按照突出数学思想和数学方法、淡化运算技巧、强调应用实例的原则编写而成的.
微积分课程的教学与教材改革,一直是学院各级领导与教师们的工作重点.为了更好地满足当前经管类各专业对微积分的实际需求及配合其专业课程教学,提高学生应用数学知识解决实际问题的能力,培养学生应用数学知识解决专业实际问题的能力.本书体现了以下特色:
首先,适当降低了部分内容的深度和广度的要求,特别是淡化了各种运算技巧,但提高了数学思想和数学应用方面的要求,这样既能面对高等教育大众化的现实,又能兼顾学生的可接受性以及与中学数学教学的衔接.
其次,加强基本能力的培养,本书例题习题较多,每章最后还有总复习题,书末附有部分习题答案与提示,以帮助读者加强训练与检测学习效果,从而巩固相关知识.
《微积分》分上、下两册,均由具有丰富教学经验的一线教师编写完成.本书的编写者在多年的本科教学中积累了丰富的经验,了解学生在学习微积分中的困难与需求,所以尽最大努力从严密的数学语言描述中,保留反映数学思想本质的内容,摒弃非本质的内容,以提升学生运用数学思想和数学方法解决实际问题的能力.
本书为下册,内容包括:
第1章空间解析几何与向量代数;
第2章多元函数微分学;
第3章二重积分;
第4章无穷级数;
第5章微分方程.下册由许东亮、孙艳波、蔡高玉、孙蕾、张慧负责编写,许东亮、孙艳波负责全书的统稿及修改定稿.
本书的编写采纳了同行们提出的一些宝贵意见和建议,本书的出版也得到了出版社的大力支持,在此表示衷心的感谢!
由于时间仓促,加之编者水平有限,书中缺点和错误在所难免,恳请广大同行、读者批评指正.
编者2017年7月
3.1二重积分的概念与性质3.1.1二重积分的概念
例1曲顶柱体的体积设有一立体的底是xOy面上的闭区域D,它的侧面是以D的边界曲线为准线,而母线平行于z轴的柱面,它的顶是曲面z=f(x,y),f(x,y)≥0,z是D上的连续函数,称这种立体为曲顶柱体(图311),下面我们来讨论如何计算上述曲顶柱体的体积.
图311
我们知道,如果f(x,y)是常数,曲顶柱体就转化为平顶柱体,它的体积可以用“体积=底面积×高”来计算.关于曲顶柱体,当点(x,y)在区域D上变动时,高度f(x,y)是个变量,因此它的体积不能直接用上式来计算.在一元函数定积分中求曲边梯形面积的思想可以被我们借鉴,用来解决目前的问题.(1) 分割首先,用一组曲线网把D分成n个小闭区域:
Δσ1,Δσ2,…,Δσn,
分别以这些小闭区域的边界曲线为准线,作母线平行于z轴的柱面,这些柱面把原来的曲顶柱体分为n个小曲顶柱体.(2) 近似当这些小闭区域的直径很小时,由于f(x,y)连续,对同一个小闭区域来说,f(x,y)变化很小,这时小曲顶柱体可近似看作平顶柱体.在每个Δσi(这小闭区域的面积也记作Δσi)中任取一点(ξi,ηi),以f(ξi,ηi)为高,以Δσi为底的平顶柱体(图312)的体积为
图312
ΔVi=f(ξi,ηi)Δσi,i=1,2,…,n.
(3) 求和 这n个平顶柱体体积之和为所求曲顶柱体的体积V的近似值
V≈∑ni=1ΔVi=∑ni=1f(ξi,ηi)Δσi.
(4) 取极限当分割越来越细,令n个小闭区域的直径中的最大值(记作λ)趋于零,取上述和式的极限,所得的极限便自然地成为曲顶柱体体积V,即
V=limλ→0∑ni=1f(ξi,ηi)Δσi.
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