微积分（下册）

《微积分》下册为大学数学教材，概念和内容简洁直观，突出数学思想和数学应用。 

《微积分》下册为普通高等教育应用型本科教材，是按照培养高级应用型人才为目标，依据高等院校经管类本科教学基础课程的教学要求，在编者多年教学经验的基础上，结合独立学院和民办高等院校的培养定位而编写.编写过程中力求做到体系结构严谨，注重应用，内容难度适宜，通俗易懂.本书为微积分下册，内容包括空间解析几何与向量代数，多元函数微分学，无穷级数和微分方程。各章节后面配有各种类型的习题，书末附有习题参考答案，便于学习者的学习.本书科学、系统地介绍微积分的基本内容、基本思想和基本方法，还侧重微积分知识方法在经济管理学科的应用。本书以直观的方式引入概念，由浅及深地介绍知识点；从提高学生素养的角度加强数学思维和应用能力的培养以达到学以致用的目的，为后续经济管理专业知识的学习及工作打下良好基础.本书可作为普通高等院校经管类专业微积分课程教材、大学理工类教学参考书，也可供成人教育或立志专转本的学生参考使用。

许东亮 南航金城学院讲师，硕士，主要承担“高等数学”“线性代数”“概率论与数理统计”等课程的教学工作，在国内外学术期刊上发表论文7篇。主编《高等数学习题集》等书，参与“高等数学优秀课程”和“高等数学精品课程”2个教改项目的研究工作，连续2年指导学生参加大学生数学建模竞赛并获得优秀成绩。

第1章空间解析几何与向量代数

 

1.1向量及其线性运算

 

1.1.1向量的概念

 

1.1.2向量的线性运算

 

习题11

 

1.2空间直角坐标系向量的坐标

 

1.2.1空间直角坐标系

 

1.2.2向量的坐标表示

 

1.2.3向量的代数运算

 

1.2.4向量的模与方向余弦

 

1.2.5向量在轴上的投影

 

习题12

 

1.3数量积与向量积

 

1.3.1两向量的数量积

 

1.3.2两向量的向量积

 

习题13

 

1.4曲面及其方程

 

1.4.1曲面方程的概念

 

1.4.2旋转曲面

 

1.4.3柱面

 

习题14

 

1.5空间曲线及其方程

 

1.5.1空间曲线的一般方程

 

1.5.2空间曲线的参数方程

 

1.5.3空间曲线在坐标面上的投影

 

习题15

 

1.6平面及其方程

 

1.6.1平面的点法式方程

 

1.6.2平面的一般方程

 

1.6.3平面的截距式方程

 

1.6.4两平面的夹角

 

1.6.5点到平面的距离

 

习题16

 

1.7空间直线及其方程

 

1.7.1空间直线的一般方程

 

1.7.2空间直线的对称式方程与参数方程

 

1.7.3两直线的夹角

 

1.7.4直线与平面的夹角

 

1.7.5平面束

 

习题17

 

总习题1

 

 

 

 

 

第2章多元函数微分学

 

2.1多元函数的基本概念

 

2.1.1平面区域的概念

 

2.1.2n维空间的概念

 

2.1.3二元函数的概念

 

2.1.4二元函数的极限

 

2.1.5二元函数的连续性

 

习题21

 

2.2偏导数

 

2.2.1偏导数定义

 

2.2.2高阶偏导数

 

习题22

 

2.3全微分及其应用

 

2.3.1全微分的概念

 

2.3.2函数可微分的条件

 

2.3.3二元函数的线性化

 

习题23

 

2.4多元复合函数的求导法则

 

2.4.1复合函数的中间变量为一元函数的情形

 

2.4.2复合函数的中间变量为多元函数的情形

 

2.4.3复合函数的中间变量既有一元函数也有多元函数的情形

 

2.4.4全微分形式的不变性

 

习题24

 

2.5隐函数的求导法则

 

2.5.1一个方程的情形

 

2.5.2方程组的情形

 

习题25

 

2.6多元函数的极值

 

2.6.1二元函数极值的概念

 

2.6.2条件极值拉格朗日乘数法

 

2.6.3最小二乘法

 

习题26

 

总习题2

 

第3章二重积分

 

3.1二重积分的概念与性质

 

3.1.1二重积分的概念

 

3.1.2二重积分的性质

 

习题31

 

3.2二重积分的计算(一)

 

3.2.1利用直角坐标计算二重积分

 

习题32

 

3.3二重积分的计算(二)

 

3.3.1在极坐标系下计算二重积分

 

3.3.2一般曲线坐标系中二重积分的计算

 

习题33

 

3.4二重积分的应用

 

3.4.1曲面面积

 

3.4.2质心

 

习题34

 

总习题3

 

第4章无穷级数

 

4.1常数项级数的概念和性质

 

4.1.1常数项级数的概念

 

4.1.2常数项级数的基本性质

 

习题41

 

4.2正项级数的判别法

 

4.2.1正项级数的概念

 

4.2.2正项级数敛散性的判别法

 

习题42

 

4.3交错级数

 

4.3.1交错级数定义

 

4.3.2绝对收敛与条件收敛

 

4.3.3绝对收敛级数的性质

 

习题43

 

4.4幂级数

 

4.4.1函数项级数的概念

 

4.4.2幂级数及其收敛性

 

4.4.3幂级数的运算

 

习题44

 

4.5函数的幂级数展开

 

4.5.1泰勒级数

 

4.5.2函数的幂级数展开

 

习题45

 

4.6幂级数的应用

 

4.6.1函数值的近似计算

 

4.6.2定积分的近似计算

 

习题46

 

总习题4

 

第5章微分方程

 

5.1微分方程的基本概念

 

习题51

 

5.2可分离变量的微分方程及齐次方程

 

5.2.1可分离变量的微分方程

 

5.2.2齐次方程

 

5.2.3可化为齐次方程的微分方程

 

习题52

 

5.3一阶线性微分方程及伯努利方程

 

5.3.1一阶线性微分方程

 

5.3.2伯努利方程

 

习题53

 

5.4可降阶的微分方程

 

5.4.1y″=f(x)型

 

5.4.2y″=f(x，y′)型

 

5.4.3y″=f(y，y′)型

 

习题54

 

5.5二阶线性微分方程解的结构

 

习题55

 

5.6二阶常系数齐次线性微分方程

 

5.6.1二阶常系数齐次线性微分方程及其解法

 

5.6.2n阶常系数齐次线性微分方程的解法

 

习题56

 

5.7二阶常系数非齐次线性微分方程

 

5.7.1f(x)=Pm(x)eλx型

 

5.7.2f(x)=Pm(x)eλxcosωx或Pm(x)eλxsinωx型

 

 

习题57

 

*5.8欧拉方程

 

习题58

 

总习题5

 

习题答案与提示

 

经过多年的教学改革实践,随着高等院校本科教学质量工程的推进,民办高校和独立学院对微积分的教学提出了更高的目标.为满足新形势下培养高素质专门人才所必须具有的微积分知识的实际需要,迫切需要编写新的微积分教材以适应分类教学的要求.本书是编者在多年本科教学的基础上,在经典教材的理论框架下按照突出数学思想和数学方法、淡化运算技巧、强调应用实例的原则编写而成的.

微积分课程的教学与教材改革,一直是学院各级领导与教师们的工作重点.为了更好地满足当前经管类各专业对微积分的实际需求及配合其专业课程教学,提高学生应用数学知识解决实际问题的能力,培养学生应用数学知识解决专业实际问题的能力.本书体现了以下特色：

首先,适当降低了部分内容的深度和广度的要求,特别是淡化了各种运算技巧,但提高了数学思想和数学应用方面的要求,这样既能面对高等教育大众化的现实,又能兼顾学生的可接受性以及与中学数学教学的衔接.

其次,加强基本能力的培养,本书例题习题较多,每章最后还有总复习题,书末附有部分习题答案与提示,以帮助读者加强训练与检测学习效果,从而巩固相关知识.

《微积分》分上、下两册,均由具有丰富教学经验的一线教师编写完成.本书的编写者在多年的本科教学中积累了丰富的经验，了解学生在学习微积分中的困难与需求，所以尽最大努力从严密的数学语言描述中，保留反映数学思想本质的内容，摒弃非本质的内容，以提升学生运用数学思想和数学方法解决实际问题的能力.

本书为下册，内容包括：
第1章空间解析几何与向量代数；
第2章多元函数微分学；
第3章二重积分；
第4章无穷级数；
第5章微分方程.下册由许东亮、孙艳波、蔡高玉、孙蕾、张慧负责编写,许东亮、孙艳波负责全书的统稿及修改定稿.

本书的编写采纳了同行们提出的一些宝贵意见和建议，本书的出版也得到了出版社的大力支持,在此表示衷心的感谢!

由于时间仓促,加之编者水平有限,书中缺点和错误在所难免,恳请广大同行、读者批评指正.

编者2017年7月

本章我们把一元函数定积分的概念与思想推广到二元函数的二重积分上.与一元函数定积分的概念类似，二元函数积分的概念也依然是“特殊和式的极限”，并且也是从实践中抽象出来的； 不同的是： 定积分的被积函数是一元函数，积分区间是一个区间； 而二重积分的被积函数是二元函数，积分范围是平面区域.本章主要学习二重积分的概念、算法和应用.

3.1二重积分的概念与性质3.1.1二重积分的概念

例1曲顶柱体的体积设有一立体的底是xOy面上的闭区域D，它的侧面是以D的边界曲线为准线，而母线平行于z轴的柱面，它的顶是曲面z=f(x,y)，f(x,y)≥0，z是D上的连续函数，称这种立体为曲顶柱体(图311)，下面我们来讨论如何计算上述曲顶柱体的体积.

图311

我们知道，如果f(x,y)是常数，曲顶柱体就转化为平顶柱体，它的体积可以用“体积=底面积×高”来计算.关于曲顶柱体，当点(x,y)在区域D上变动时，高度f(x,y)是个变量，因此它的体积不能直接用上式来计算.在一元函数定积分中求曲边梯形面积的思想可以被我们借鉴，用来解决目前的问题.(1) 分割首先，用一组曲线网把D分成n个小闭区域： 

Δσ1，Δσ2,…,Δσn,

分别以这些小闭区域的边界曲线为准线，作母线平行于z轴的柱面，这些柱面把原来的曲顶柱体分为n个小曲顶柱体.(2) 近似当这些小闭区域的直径很小时，由于f(x,y)连续，对同一个小闭区域来说，f(x,y)变化很小，这时小曲顶柱体可近似看作平顶柱体.在每个Δσi(这小闭区域的面积也记作Δσi)中任取一点(ξi,ηi)，以f(ξi,ηi)为高，以Δσi为底的平顶柱体(图312)的体积为

图312

ΔVi=f(ξi,ηi)Δσi，i=1,2,…,n.

(3) 求和 这n个平顶柱体体积之和为所求曲顶柱体的体积V的近似值

V≈∑ni=1ΔVi=∑ni=1f(ξi,ηi)Δσi.

(4) 取极限当分割越来越细，令n个小闭区域的直径中的最大值(记作λ)趋于零，取上述和式的极限，所得的极限便自然地成为曲顶柱体体积V，即

V=limλ→0∑ni=1f(ξi,ηi)Δσi.