金融市场有效价差的估计方法

本书主要研究金融市场微观结构中交易成本，特别是有效价差的度量方法及其统计推断，为流动性的应用提供经济计量学的理论基础。具体包括：两种有效价差估计的渐近性质研究、基于价格极值的有效价差估计研究、有效价差的极大似然估计研究以及基于Roll价格模型的有效价差实证研究等。 

流动性是金融市场微观结构研究里的一个关键问题，对于资产定价、市场有效性、公司财务以及风险管理等各类金融决策均有重要的意义，而流动性的测度则是这一类问题的基础。本书将统计学与金融热点问题相结合，研究市场微观结构中流动性的度量方法，特别是关于交易成本的度量方法及其统计推断，为流动性的应用提供经济计量学的理论基础。由于流动性是个多维度的概念，交易成本是其中重要的一个方面，度量交易成本的基本方式是买卖价差，而有效价差是常用的买卖价差指标。因此本书主要考虑交易成本特别是有效价差的推断方法，具体包括：两种有效价差估计的渐近性质研究、基于价格极值的有效价差估计研究、有效价差的极大似然估计研究以及基于Roll价格模型的有效价差实证研究等。本书的内容可以为金融学、统计学研究人员作为参考研究。

高扬，2015年7月获北京大学经济学博士学位，现为北京工业大学经济与管理学院副教授，硕士生导师。目前主持1项国家自然科学基金青年项目及2项省部级项目，参与多项国家自然科学基金项目，并在国内外核心期刊上发表论文二十余篇，研究方向为金融市场微观结构、金融时间序列等。

章导读1
节研究背景1
第二节本书内容及结构5
第三节低频估计的文献综述6
一、 Roll的估计7
二、 贝叶斯估计9
三、 Holden估计9
四、 HighLow估计11
五、 LOT估计13
六、 FHT估计14
七、 低频价差估计的比较15
第二章两种有效价差估计的渐近性质16
节引言16
第二节理论性质17
一、 Roll估计的渐近性质18
二、 HighLow估计的渐近性质18
三、 两种估计的比较20
第三节模拟研究21
一、 Roll估计与HighLow估计的预测误差比较21
二、 RMSE随s及σ的变化规律27金融市场有效价差的估计方法■■目录第四节有效价差的Bootstrap区间估计30
一、 Bootstrap区间估计30
二、 实际例子31
第五节结论33
第三章基于价格极值的有效价差估计34
节引言34
第二节新的HighLow估计35
第三节理论性质36
一、 s^1的统计性质36
二、 s^2的统计性质37
三、 s^3的统计性质38
四、 s^4的统计性质39
五、 s^5的统计性质41
六、 统计性质比较42
第四节模拟研究45
一、 六种HighLow估计误差模拟结果45
二、 RMSE随s和σ的变化趋势50
第五节广义矩估计60
第六节结论66
第四章有效价差的极大似然估计68
节引言68
第二节极大似然估计69
第三节理论性质72
第四节模拟研究72
一、 理想状况下误差变化72
二、 非理想状况下误差变化79
三、 估计误差随s及σ的变化81
第五节结论87
第五章中国股票市场流动性度量方法的比较88
节引言88
第二节高频基准价差89
一、 报价价差90
二、 有效价差90
三、 已实现价差90
第三节数据选取及说明91
第四节实证分析92
一、 描述性统计分析92
二、 估计误差比较94
三、 相关性比较98
第五节结论101
第六章中国债券市场流动性度量方法的比较103
节引言103
第二节流动性度量105
一、 高频交易成本105
二、 高频价格响应106
三、 低频交易成本107
第三节数据选取及描述性统计分析107
第四节实证结果110
一、 相关性分析110
二、 估计误差112
第五节结论114
第七章结论、不足之处及进一步研究方向115
节主要结论115
第二节不足之处116
第三节进一步研究方向117
参考文献119
附录124
附录A第二章相关定理证明124
一、 引理2.1的证明124
二、 定理2.1的证明125
三、 引理2.2的证明125
四、 定理2.2的证明126
五、 推论2.1的证明127
附录B第三章相关定理证明129
一、 引理3.1的证明129
二、 定理3.1的证明129
三、 引理3.2的证明130
四、 定理3.2的证明131
五、 引理3.3的证明132
六、 定理3.3的证明133
七、 引理3.4的证明134
八、 定理3.4的证明134
九、 引理3.5的证明135
十、 定理3.5的证明136
十一、 推论3.1的证明137
附录C第四章相关定理证明140
一、 定理4.1的证明140
二、 定理4.2的证明141
第1章绪论
1.1本书研究的背景、目的及意义
1.1.1本书研究的背景
1.1.2本书研究的目的及意义
1.2国内外研究动态
1.2.1国外研究动态
1.2.2国内研究动态
1.2.3国内外研究动态综述
1.3本书的总体思路、主要内容及研究方法
1.3.1本书的总体思路
1.3.2本书的研究内容
1.3.3本书的研究方法
1.4本书的创新之处
第2章知识产权管理基本概念及现状分析
2.1知识产权管理基本概念
2.1.1知识产权的基本定义
2.1.2知识产权的范围
2.1.3知识产权管理的内涵
2.2我国知识产权管理现状分析
2.2.1我国知识产权开发管理现状
2.2.2我国知识产权运营管理现状
2.2.3我国知识产权保护管理现状
2.3我国知识产权管理存在的主要问题及成因分析
2.3.1我国知识产权管理存在的主要问题
2.3.2我国知识产权管理存在问题的成因分析
2.4本章小结
第3章知识产权管理系统分析及协同发展概念模型
3.1知识产权管理系统内涵、特征及主体构成
3.1.1知识产权管理系统内涵的界定
3.1.2知识产权管理系统的特征
3.1.3知识产权管理系统的主体构成
3.2知识产权管理系统的结构及内容
3.2.1知识产权管理系统整体结构及内容分析
3.2.2知识产权开发管理子系统
3.2.3知识产权运营管理子系统
3.2.4知识产权保护管理子系统
3.3知识产权管理系统协同发展的内涵、条件与目标
3.3.1系统协同理论及其适用性分析
3.3.2知识产权管理系统协同发展的内涵界定
3.3.3知识产权管理系统协同发展的条件
3.3.4知识产权管理系统协同发展的目标
3.4知识产权管理系统协同发展的概念模型及解析
3.4.1知识产权管理系统协同发展的概念模型
3.4.2知识产权管理系统协同发展的概念模型解析
3.5本章小结
第4章知识产权管理系统协同发展机理
4.1知识产权管理系统协同发展的层次表现
4.1.1知识产权管理子系统内部的协同发展
4.1.2知识产权管理子系统间的协同发展
4.1.3知识产权管理系统整体的协同发展
4.2知识产权管理系统协同发展的内在微观基础
4.2.1耗散结构理论分析
4.2.2知识产权管理系统的微观耗散结构特征及熵变
4.2.3知识产权管理系统协同发展的内在微观过程
4.3知识产权管理系统的协同发展机理分析
4.3.1协同熵模型分析
4.3.2知识产权管理系统协同发展的协同熵变模型
4.3.3基于协同熵变的知识产权管理系统协同发展机理
4.4本章小结
第5章知识产权管理系统协同发展的主体行为基础
5.1知识产权管理系统协同发展的主体行为基础分析
5.2社会利益主体的进入参与行为
5.2.1演化博弈理论基本原理
5.2.2市场机制下社会利益主体参与行为
5.2.3行政监管机制下社会利益主体参与行为
5.2.4数值仿真分析
5.3知识产权管理系统主体的协同合作伙伴选择行为
5.3.1灰靶理论基本原理与概念
5.3.2基于误差传递的改进灰靶合作伙伴选择决策模型
5.3.3算例仿真分析
5.4知识产权管理系统中协同合作伙伴间的利益分配行为
5.4.1基于Shapley值法的系统主体合作伙伴基础利益
分配模型
5.4.2基于正交投影法的利益分配修正模型
5.4.3算例仿真分析
5.5本章小结
第6章知识产权管理系统协同发展的过程机制
6.1知识产权管理系统协同发展的过程模型分析
6.2知识产权管理系统协同发展的驱动机制
6.2.1驱动力要素分析
6.2.2驱动机制模型构建及分析
6.3知识产权管理系统协同发展的耦合互动机制
6.3.1系统内部主体间耦合互动
6.3.2子系统间耦合互动
6.3.3系统与产业创新耦合互动
6.4知识产权管理系统协同发展的演进机制
6.4.1基本假设条件
6.4.2基于Logistic方程的系统协同发展的演进机制
模型构建
6.4.3系统协同发展的稳定性演进机制分析
6.4.4系统协同发展的混沌性演进机制分析
6.4.5系统协同发展的速度演进阶段及其分析
6.5本章小结
第7章我国知识产权管理系统协同发展的测度
7.1复合系统协同发展测度模型构建
7.1.1知识产权管理系统协同发展测度基本思路
7.1.2原始复合系统协同发展测度模型介绍
7.1.3基于聚类算子和速度特征的改进复合系统协同
发展测度模型
7.2状态参量测度体系的构建及数据获取
7.2.1状态参量选取原则
7.2.2状态参量测度体系确立
7.2.3测度数据获取
7.3我国知识产权管理系统协同发展的测度及分析
7.3.1子系统内部协同发展测度及分析
7.3.2子系统之间协同发展测度及分析
7.3.3国家整体知识产权管理系统协同发展综合测度及
分析
7.3.4省级区域知识产权管理系统协同发展综合测度及
分析
7.4本章小结
第8章我国知识产权管理系统协同发展的保障措施
8.1基于国家整体宏观视角的保障措施
8.1.1完善我国知识产权法律法规制度和政策体系
8.1.2优化区域经济结构，协调区域知识产权发展
8.1.3构建多元化的科技创新发展和知识产权发展
服务平台
8.1.4大力扶持高技术企业和科研院所的知识产权发展
8.1.5重视并强化国际间知识产权管理的合作
8.2基于社会利益主体微观层面的保障措施
8.2.1强化各个社会利益主体的知识产权意识
8.2.2提高科技创新人员和知识产权建设人员的积极性
8.2.3增强企业和科研院所等主体知识产权开发力度
8.2.4提升企业等利益主体知识产权运营能力
8.2.5提高政府、企业等主体知识产权保护水平
8.3本章小结
结论
参考文献
附录

流动性是金融市场微观结构研究中的一个关键问题，对于资产定价、市场有效性、企业财务以及风险管理等各类金融决策均有重要的意义，而流动性的测度则是这一类问题的基础。本书将统计学与金融热点问题相结合，研究市场微观结构中流动性的度量方法，特别是关于交易成本的度量方法及其统计推断，为流动性的应用提供经济计量学的理论基础。由于流动性是个多维度的概念，交易成本是其中重要的一个方面，度量交易成本的基本方式是买卖价差（BidAsk spread），而有效价差（Effective Spread）是常用的买卖价差指标，因此本书主要分四部分来分析交易成本特别是有效价差的推断方法。
（1） 首先从理论上分析比较两类有效价差估计的统计性质，即Roll的协方差估计（Roll,1984）及近由Corwin和Schultz（2012）提出的基于价和价得到的价差估计。与以往文献中采用估计价差与基准价差的相关系数来衡量和比较不同估计优劣表现的做法有所不同，本书通过推导并对比两种估计的偏差、均方误差及其在大样本下的性质，从而在理论上证明基于价和价的价差估计精度的确高于Roll的估计，并通过随机模拟分别在理想和非理想状况下进行验证。此外，借助Bootstrap方法给出的置信区间分析对S&P 500成分股票等的应用研究也从实证角度证实了HighLow估计优于Roll协方差估计的结论。
（2） 在Roll价格模型的基础上，本书基于价格极差的信息得到新的一阶矩条件，结合Corwin和Schultz（2012）文章中价格极差的二阶矩条件，提出5种区别于Corwin和Schultz 所提估计的新的HighLow矩估计，并推导出五种HighLow估计包括偏差、方差、相合性以及渐近正态性在内的统计性质，随后通过直接考察理论性质或者进行随机模拟研究等比较新的HighLow矩估计与Corwin和Schultz的HighLow估计的估计精度。此外，本书还提出基于上述矩条件的多个广义矩估计，并通过模拟结果验证广义矩估计的优势。
（3） 无论是 Roll 的协方差估计，还是Corwin和Schultz文中的HighLow估计，抑或本书第二部分提出的新的HighLow矩估计或者广义矩估计，其本质都是矩估计。因此本书基于Roll的价格模型，从对数价格极差的分布函数出发，利用其近似正态特征，提出一种有效价差的近似极大似然估计，并给出拟极大似然估计的统计性质。通过数值模拟，比较这一新的估计与Roll的协方差估计、贝叶斯估计以及Corwin和Schultz的HighLow估计在各种不同状况下的精度。模拟的结果表明，无论是理想状态还是非理想状态下，极大似然估计和HighLow估计的精度均高于协方差和贝叶斯估计；当波动率相对较小的时候，极大似然估计的精度优于HighLow估计。另外，在交易不连续的非理想情形下，极大似然估计要比HighLow估计更加稳健。
（4） 由于低频价差估计的方法种类较多，结合前三个方面的结果，针对基于Roll的价格模型得到的多种低频有效价差的估计方法，本书以中国股票和债券市场的交易数据为例，对其交易成本尤其是有效价差的估计方法进行实证比较，研究不同的有效价差估计方法对中国金融市场的适用性。

第三章基于价格极值的有效价差估计Corwin和Schultz（2012）通过数值模拟及具体实例发现，基于日价和价提出的HighLow估计与基准价差之间的相关系数要高于Roll估计对应的结果。此外，本书第二章中从统计推断的角度出发，分别从理论上研究了 Roll的估计及HighLow估计的偏差和均方误差以及相合性和渐近正态性等问题，通过直接比较其渐近行为在理论上得出HighLow估计优于Roll估计的结论。这说明，基于价格极差信息所构造的买卖价差估计比只基于收盘价构造的价差估计更有效，这也促使笔者在Corwin和Schultz(2012)文章的基础上思考能否提出基于极差的新的买卖价差的估计。基于Roll模型和Corwin和Schultz(2012)文中推导出价差估计的两个矩条件，很直观地，此处容易想到可以提出另外的两个一阶矩条件。因此，根据4个矩条件，本章新提出了5个HighLow价差估计，并且研究了包括Corwin和Schultz（2012）所提HighLow估计在内的6个价差估计的理论性质。本章通过计算不同价差估计的偏差、均方误差等，并研究其相合性、渐近正态性等渐近性质，从而在理论上直接给出对不同价差估计的统计评价。理论和模拟结果均表明Corwin和Schultz的估计并不是的HighLow估计。此外，本书也指出了本章提出的5种HighLow价差估计中存在估计无论在理想还是非理想条件下都表现很好。更进一步地，本章也根据上述矩条件提出了广义矩估计（GMM），并且发现好的GMM估计与上述表现的矩估计的表现非常相似。金融市场有效价差的估计方法■■第三章基于价格极值的有效价差估计本章的结构如下： 第二节提出新的HighLow估计，第三节则给出5种新的HighLow估计的统计理论性质，第四节则对6种HighLow估计［包含Corwin和Schultz（2012）所提HighLow估计］的度量效果进行随机模拟，第五节提出了广义矩估计，后的结论在第六节。笔者将在本书的第五章和第六章中给出包含本章所提估计方法在内的多种有效价差估计的实证研究。
第二节新的HighLow估计
第二章所研究的Corwin和Schultz（2012）提出来的HighLow估计实际上基于式(117)和式(118)的矩估计。式(117)和式(118)作为两个二阶矩条件，既包含有效价差的成分，也包含波动率的相关信息。如果只从有效价差的角度出发，直观地得到基于价格极值的两个一阶矩条件为β1E［Rot］=k1σ s(31)
β2E［Rot,t 1］=2k1σ s(32)基于这4个矩条件，除了Corwin和Schultz的估计外，还可以得到其余5个基于价格极值的简单矩估计：
s^1=2β^1－β^22－1(33)
s^2=β^1－k1k2－k21γ^1－β^21(34)
s^3=β2－k1k2－k21γ^2－β^22(35)
s^4=(2k2－2k21)β^1－k12(k21－k2)β^21 ［2k2 (1－22)k21］γ^22k2 (1－22)k21(36)
s^5=(k2－2k21)β^2 2k1(k21－k2)β^22 ［k2 (2－2)k21］γ^1k2 (2－22)k21(37)
在实际的具体样本数据下，如果基于式(120)、式(33)～式(37)得到的s^hl,s^1－s^5估计值为负数，则将此次HighLow估计记为0。
第二章中本书已经研究Corwin和Schultz(2012)所提出来的HighLow估计的偏差、方差及渐近性质等，并且指出该HighLow估计在理论上优于Roll估计，同样，在接下来的小节中本书也将研究其余5种新提出来的 HighLow估计的统计性质，首先从理论上比较上述6种HighLow估计的优劣。主要的结果概括为下一章中的几个引理和定理。
第三节理 论 性 质
在下面的引理及定理中,如第二章所述，k1,k2,k3,k4以及ρij,δij(i,j=1,2)是常数，其定义与第二章一致，k1=4ln2，k2=8/π，k3=(2π)3/2/3，k4≈10.818 5，ρij,δij (i,j=1,2)的值可通过数值模拟得到，例如根据每天能够观测到10 000个价格，由50 000天的数据计算得到的结果为ρ11=0.339 5,ρ12=ρ21=0.332 3,ρ22=0.330 4,δ11=0.580 1,δ12=0.560 2,δ21=0.583 0,δ22=0.576 7。本节考虑在式（11）以及式（114）的基础上推导并比较6种有效价差估计s^hl,s^1－s^5的统计性质，特别是计算其偏差和均方误差的大小以及渐近分布。主要的结果概括为如下的几个引理和定理，具体证明的细节则放在附录B当中。
一、 s^1的统计性质
引理3.1在式(11)和式(114)下，β^1=1n∑nt=1Rot,β^2=1n∑nt=1Rot,t 1,对于β^1,β^2成立：
(1) Var(β^1)=(k2－k21)σ2n,Var(β^2)=2(1 2ρ11)(k2－k21)σ2n o1nCov(β^1,β^2)=22δ11(k2－k21)σ2n(2) plimn→∞β^1=β1,plimn→∞β^2=β2,nβ^1－β1
β^2－β2dN(0,Σ1)
其中，Σ1=σ11,11σ12,11
σ21,11σ22,11,σ11,11=(k2－k21)σ2,σ22,11=2(1 2ρ11)(k2－k21)σ2,σ12,11=σ21,11=22δ11(k2－k21)σ2根据引理 3.1，HighLow 估计s^1的性质见定理 3.1。
定理3.1在式(11)和式(114)下，s^1=2β^1－β^22－1，故有
(1) E(s^1)=s,Var(s^1)=(12 82)(1 ρ11－2δ11)(k2－k21)σ2n o1n
(2) plimn→∞s^1=s,n(s^1－s)dN(0,σ21(s))
其中σ21(s)=(12 82)(1 ρ11－2δ11)(k2－k21)σ2二、 s^2的统计性质
引理3.2在式(11)和式(114)下，β^1=1n∑nt=1Rot,γ^1=1n∑nt=1Ro2t,对于β^1,γ^1成立
(1) Var(γ^1)=(k4－k22)σ4 4(k3－k1k2)sσ3 4(k2－k21)s2σ2n
Cov(β^1,γ^1)=(k3－k1k2)σ3 2(k2－k21)sσ2n
(2) plimn→∞β^1=β1,plimn→∞γ^1=γ1,nβ^1－β1
γ^1－γ1dN(0,Σ2)
其中Σ2=σ11,11σ11,12
σ11,21σ11,22,σ11,12=σ11,21=(k3－k1k2)σ3 2(k2－k21)sσ2
σ11,22=(k4－k22)σ4 4(k3－k1k2)sσ3 4(k2－k21)s2σ2基于引理3.2，HighLow估计s^2的性质见定理3.2。
定理3.2在式(11)和式(114)下，s^2=β^1－k1k2－k21γ^1－β^21,因此
(1) E(s^2)>sE(s^2)=s k1k4 3k1k22－4k21k38(k2－k21)2nσ o1n
Var(s^2)=4k32 k21k4－4k1k2k3－k21k224(k2－k21)2nσ2 o1n(2) plimn→∞s^2=s,n(s^2－s)dN(0,σ22(s))
其中σ22(s)=4k32 k21k4－4k1k2k3－k21k224(k2－k21)2σ2三、 s^3的统计性质
引理3.3在式(11)和式(114)下，β^2=1n－1∑n－1t=1Rot,t 1,γ^2=1n－1∑n－1t=1Ro2t,t 1，对于β^2,γ^2,可以推出
(1) Var(γ^2)=1n－1{4(1 2ρ22)(k4－k22)σ4 82［k3－k1k2 (ρ12 ρ21)k4－k22k2－k21］sσ3 8(1 2ρ11)(k2－k21)s2σ2}
Cov(β^2,γ^2)=1n－1{22［k3－k1k2 (ρ12 ρ21)(k4－k22)(k2－k21)］σ3
4(1 2ρ11)(k2－k21)sσ2} o1n
(2) plimn→∞γ^2=γ2,nβ^2－β2
γ^2－γ2dN(0,Σ3)
其中
Σ3=σ22,11σ22,12
σ22,21σ22,22
σ22,12=σ22,21=22［k3－k1k2 (ρ12 ρ21)(k4－k22)(k2－k21)］σ3
4(1 2ρ11)(k2－k21)sσ2
σ22,22=4(1 2ρ22)(k4－k22)σ4 82［k3－k1k2
(ρ12 ρ21)k4－k22k2－k21］sσ3 8(1 2ρ11)(k2－k21)s2σ2
基于引理3.3，s^3的渐近性质见定理3.3。
定理3.3在式(11)和式(114)下，s^3=β^2－k1k2－k21γ^2－β^22,因此
(1) E(s^3)>s
E(s^3)=s 122(k2－k21)2n［2(1 2ρ11)k1k2(k2－k21) 12 ρ22k1(k4－k22)
－2k21(k3－k1k2)－2(ρ12 ρ21)k21k4－k22k2－k21］σ o1n
Var(s^3)=(1 2ρ22)k21(k4－k22)－4k1k2［k3－k1k2 (ρ12 ρ21)k4－k22k2－k21］2(k2－k21)2nσ2
2(1 2ρ11)k22(k2－k21)nσ2 o1n
(2) plimn→∞s^3=s,n(s^3－s)dN(0,σ23(s)),
其中
σ23(s)=(1 2ρ22)k21(k4－k22)－4k1k2［k3－k1k2 (ρ12 ρ21)k4－k22k2－k21］2(k2－k21)2σ2
2(1 2ρ11)k22(k2－k21)σ2
四、 s^4的统计性质
引理3.4在式(11)和式(114)下，对于β^1,γ^2，成立下式：
(1) Cov(β^1,γ^2)=4δ12k4－k22k2－k21σ3 42δ11(k2－k21)sσ2n
(2) nβ^1－β1
γ^2－γ2dN(0,Σ4)
其中Σ4=σ11,11σ12,12
σ21,21σ22,22
σ12,12=σ21,21=4δ12k4－k22k2－k21σ3 42δ11(k2－k21)sσ2基于引理3.4，s^4的渐近性质见定理3.4。
定理3.4在式(11)和式(114)下，
s^4=(2k2－2k21)β^1－k12(k21－k2)β^12 ［2k2 (1－22)k21］γ^22k2 (1－22)k21，因此可以得到
(1) E(s^4)>sE(s^4)=s l41σ3 l42sσ2 l43s2σn［(2k2－2k21)σ (2－1)k1s］3σ o1n
Var(s^4)=m41σ2 m42sσ m43s2n［(2k2－2k21)σ (2－1)k1s］2σ2 o1n(2) plimn→∞s^4=s,n(s^4－s)dN(0,σ24(s)),
其中
σ24(s)=m41σ2 m42sσ m43s2［(2k2－2k21)σ (2－1)k1s］2σ
l41=2k1k2(k2－k21)2 (12 ρ22)(k4－k22)
－4α12k21(k2－k21)3k4－k22
l42=(22－42δ11)k21(k2－k21)2 {22ρ12［2k1k2 (1－22)k31］
－4α12(k1k2－k31)}k4－k22k2－k21
(22k1k2 (2－4)k31(k3－k1k2)
l43=(1－42δ11)k1(k2－k21)2 (1 2ρ11)k1(k2－k21)2k2 (1－22)k21
m41=4k22(k2－k21) (1 2ρ22)k21(k4－k22)－8δ12k1k2k4－k22k2－k21
m42=(42－82δ11)k1k2(k2－k21) 22k21(k3－k1k2
2ρ12k4－k22k2－k21)－42δ12k21k4－k22k2－k21
m43=4(1 ρ11－2δ11)k21(k2－k21)
五、 s^5的统计性质
引理3.5在式(11)和式(114)下，β^2,γ^1有下式成立,
(1) Cov(β^2,γ^1)=22δ21k4－k22k2－k21σ3 42δ11(k2－k21)sσ2n
(2) nβ^2－β2
γ^1－γ1dN(0,Σ5)
其中Σ5=σ22,11σ21,12
σ12,21σ12,22
σ21,12=σ12,21=22δ21k4－k22k2－k21σ3 42δ11(k2－k21)sσ2基于引理3.5，s^5的渐近性质见定理3.5。
定理3.5在式(11)和式(114)下,
s^5=(k2－2k21)β^2 2k1(k21－k2)β^22 ［k2 2－22k21］γ^1k2 2－22k21,成立
(1) E(s^5)Var(s^5)=m51σ2 m52sσ m53s2n2k21－k2σ 2－1k1s2σ2 o1n(2) plimn→∞s^5=s,n(s^5－s)dN(0,σ25(s))
其中
σ25(s)=m51σ2 m52sσ m53s22k21－k2σ 2－1k1s2σ
l51=42δ21k21k4－k22(k2－k21)3－22(1 2ρ11)k1k1(k2－k21)2
－14［2k1k2 (22－4)k31］(k4－k22)
l52=4δ21k1k4－k22(k2－k21)3 ［82δ11－42(1 2ρ11)］k21(k2－k21)2
－［2k1k2 (22－4)k31］(k3－k1k2)
l53=［8δ11－22(1 2ρ11)］k1(k2－k21)2－［2k1k2 (22－4)k31］(k2－k21)
m51=2(1 2ρ11)k22(k2－k21) 12k21(k4－k22)－4δ21k1k2k4－k22k2－k21
m52=4(1 2ρ11－2δ11)k1k2(k2－k21) 2k21(k3－k1k2)
－4δ21k21k4－k22k2－k21
m53=4(1 ρ11－2δ11)k21(k2－k21)
六、 统计性质比较
基于上述定理，我们可以得到推论3.1如下： 当n→∞时,
(1) |bias(s^1)||bias(s^1)|且|bias(s^5)||bias(s^4)| 当 σ/s>0709 5.
(2) MSE(s^4)MSE(s^4)且MSE(s^5)MSE(s^2) 当 σ/s>2076 6.
为了更直观地比较这6种矩估计，图31和图32给出了六种估计的理论偏差值（|bias|）、方差(variance)和均方误差(RMSE)。图31所示的是当σ是固定的，随着σ/s的增加，即s减少时偏差值、方差和均方误差的变化趋势。图32从另一侧面给出当s固定时，随着σ的增加，偏差值、方差和均方误差的变化趋势。
从图31和图32可以看出，从预测精度的角度看，s^4的表现，s^1次之，但两者差别不显著；s^2,s^hl,s^5的估计精度表现在s^1,s^4之后，三者之间差距也较小；s^3表现差，与其余5种估计差距较大。
图31当σ固定时，6种价差估计的理论性质比较,自左到右、自上而下分别为： 偏差值、方差、均方误差（n=21,63,126,252）,其中偏差和方差是以σ/n和σ2/n度量的,均方误差以σ度量
图32当s固定时，6种价差估计的理论性质比较,自左到右、自上而下分别为: 偏差值、方差、均方误差（n=21,63,126,252）,其中偏差和方差是以σ/n和σ2/n度量的,均方误差以σ度量