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开 本: 16开纸 张: 胶版纸包 装: 平装是否套装: 否国际标准书号ISBN: 9787030444578丛书名: 普通高等教育”十二五”规划教材
编辑推荐
概率论,高等学校,教材,数理统计,高等学校,教材
内容简介
《概率论与数理统计(第二版)》是“普通高等教育‘十二五’规划教材·经济管理类数学基础系列”之一。《概率论与数理统计(第二版)》包括八章内容:随机事件与概率、随机变量及其分布、多维随机变量及其分布、大数定律与中心极限定理、数理统计的基础知识、参数估计、假设检验及回归分析。
目 录
目录
第1章 随机事件与概率 1
1.1 随机事件 1
一、随机现象 1
二、随机试验与样本空间 2
三、随机事件 2
四、随机事件的集合表示 3
五、事件的关系与运算 3
六、事件的运算性质 5
1.2 随机事件的概率 6
一、用频率估计概率 6
二、概率的公理化定义 8
三、概率的性质 8
1.3 古典概型和几何概型 10
一、古典概型 10
二、几何概型 14
1.4 条件概率与概率的三个基本公式 15
一、条件概率 15
二、乘法公式 17
三、全概率公式 18
四、贝叶斯公式 19
1.5 事件的独立性与独立重复试验 2l
一、两个事件的独立性 21
二、有限个事件的独立性 22
三、n重伯努利试验 23
习题1 25
第2章 随机变量及其分布 30
2.1 随机变量及其概率分布 30
一、随机变量的概念 30
二、随机变量的分布函数 31
2.2 离散型随机变量 32
一、离散型随机变量的概率分布 32
二、离散型随机变量的分布函数 35
2.3 连续型随机变量 36
一、连续型随机变量的概率密度 37
二、连续型随机变量的分布函数 38
2.4 随机变量函数的分布 40
一、离散型随机变量函数的分布 41
二、连续型随机变量函数的分布 42
2.5 随机变量的数学期望与方差 44
一、随机变量的数学期望 44
二、随机变量的方差 48
2.6 常用分布及其数字特征 50
一、常用的离散型分布及其数字特征 50
二、常用的连续型分布及其数字特征 58
2.7 随机变量的矩和切比雪夫不等式 66
一、矩的概念 66
二、切比雪夫不等式 67
习题2 69
第3章 多维随机变量及其分布 75
3.1 多维随机变量及其联合分布函数 75
一、多维随机变量的概念 75
二、联合分布函数 75
三、联合分布函数的性质 76
四、边缘分布函数 77
3.2 二维离散型随机变量 78
一、联合概率分布 78
二、边缘概率分布 81
三、条件概率分布 82
3.3 二维连续型随机变量 83
一、联合概率密度 83
二、边缘概率密度 85
三、条件概率密度 85
四、两种重要的二维连续型分布 86
3.4 随机变量间的独立性 89
一、两个随机变量相互独立的概念 89
二、离散型随机变量独自的充要条件 89
三、连续型随机变量独立的充要条件 90
四、二维正态随机变量的两个分量独立的充要条件 91
五、n(n>2)个随机变量相互独立的结论 92
3.5 二维随机变量函数的分布 92
一、二维离散型随机变量函数的分布 92
二、二维连续型随机变量函数的分布 94
三、两个连续型随机变量之差、积与商的概率密度 98
3.6 二维随机变量的数字特征 99
一、两个随机变量的函数的期望公式 99
二、数学期望与方差的运算性质 100
三、协方差 102
四、相关系数 105
习题3 108
第4章 大数定律与中心极限定理 114
4.1 大数定律 114
一、依概率收敛 114
二、大数定律 114
4.2 中心极限定理 116
一、独立同分布下的中心极限定理 117
二、二项分布的极限分布是正态分布 117
三、中心极限定理用于统计推断(近似计算) 118
习题4 121
第5章 数理统计的基础知识 123
5.1 数理统计的基本概念 123
一、总体和个体 123
二、样本写样本分布 124
三、统计量 125
四、常用的统计量 126
5.2 常用的统计分布 127
一、分位数 127
二、X2分布 128
三、t分布 130
四、F分布 132
5.3 抽样分布 134
一、抽样分布概述 134
二、正态总体的抽样分布 134
三、非正态总体的抽样分布 139
习题5 139
第6章 参数估计 142
6.1 点估计概述 142
一、点估计的概念 142
二、评价估计量的标准 143
6.2 **似然估计与矩估计 146
一、**似然估计 146
二、矩估计 151
6.3 区间估计 153
一、单个正态总体参数的置信区间 154
二、双正态总体参数的区间估计 159
习题6 163
第7章 假设检验 167
7.1 假设检验的基本概念 167
一、假设检验问题的提出 167
二、假设检验的基本思想 168
三、显著性水平与拒绝域 169
四、假设检验的两类错误 170
五、假设检验的基本步骤 170
7.2 一个正态总体参数的假设检验 171
一、均值的假设检验 171
二、方差的假设检验 174
7.3 两个正态总体参数的假设检验 175
一、两均值差异性的假设检验 175
二、两均值未知时,两方差差异性的假设检验 178
7.4 比率的假设检验 179
一、单总体比率的假设检验 179
二、两总体比率的差异性比较 180
7.5 参数的假设检验与区间估计的关系 181
7.6 非参数的假设检验 182
一、频率直方图 183
二、皮尔逊x2拟合检验法 184
习题7 186
第8章 回归分析 189
8.1 回归分析概述 189
8.2 元线性回归分析 190
一、元线性回归模型 190
二、参数的*小二乘估计 191
三、元线性回归模型的显著性检验 195
四、预测和控制 198
8.3 元非线性回归模型的线性化 201
8.4 多元线性回归 204
一、多元线性回归模型 204
二、回归系数的*小二乘估计 205
三、回归模型的显著性检验 206
四、多元线性回归模型的预测 208
习题8 209
部分习题参考答案 211
参考文献 226
附表 227
附表1 泊松分布表 227
附表2 标准正态分布函数 229
附表3 X2分布上侧分位数 230
附表4 F分布上侧分位数Fα(n1,n2) 232
附表5 t分布上侧分位数表 237
附表6 检验相关系数的临界值表 238
第1章 随机事件与概率 1
1.1 随机事件 1
一、随机现象 1
二、随机试验与样本空间 2
三、随机事件 2
四、随机事件的集合表示 3
五、事件的关系与运算 3
六、事件的运算性质 5
1.2 随机事件的概率 6
一、用频率估计概率 6
二、概率的公理化定义 8
三、概率的性质 8
1.3 古典概型和几何概型 10
一、古典概型 10
二、几何概型 14
1.4 条件概率与概率的三个基本公式 15
一、条件概率 15
二、乘法公式 17
三、全概率公式 18
四、贝叶斯公式 19
1.5 事件的独立性与独立重复试验 2l
一、两个事件的独立性 21
二、有限个事件的独立性 22
三、n重伯努利试验 23
习题1 25
第2章 随机变量及其分布 30
2.1 随机变量及其概率分布 30
一、随机变量的概念 30
二、随机变量的分布函数 31
2.2 离散型随机变量 32
一、离散型随机变量的概率分布 32
二、离散型随机变量的分布函数 35
2.3 连续型随机变量 36
一、连续型随机变量的概率密度 37
二、连续型随机变量的分布函数 38
2.4 随机变量函数的分布 40
一、离散型随机变量函数的分布 41
二、连续型随机变量函数的分布 42
2.5 随机变量的数学期望与方差 44
一、随机变量的数学期望 44
二、随机变量的方差 48
2.6 常用分布及其数字特征 50
一、常用的离散型分布及其数字特征 50
二、常用的连续型分布及其数字特征 58
2.7 随机变量的矩和切比雪夫不等式 66
一、矩的概念 66
二、切比雪夫不等式 67
习题2 69
第3章 多维随机变量及其分布 75
3.1 多维随机变量及其联合分布函数 75
一、多维随机变量的概念 75
二、联合分布函数 75
三、联合分布函数的性质 76
四、边缘分布函数 77
3.2 二维离散型随机变量 78
一、联合概率分布 78
二、边缘概率分布 81
三、条件概率分布 82
3.3 二维连续型随机变量 83
一、联合概率密度 83
二、边缘概率密度 85
三、条件概率密度 85
四、两种重要的二维连续型分布 86
3.4 随机变量间的独立性 89
一、两个随机变量相互独立的概念 89
二、离散型随机变量独自的充要条件 89
三、连续型随机变量独立的充要条件 90
四、二维正态随机变量的两个分量独立的充要条件 91
五、n(n>2)个随机变量相互独立的结论 92
3.5 二维随机变量函数的分布 92
一、二维离散型随机变量函数的分布 92
二、二维连续型随机变量函数的分布 94
三、两个连续型随机变量之差、积与商的概率密度 98
3.6 二维随机变量的数字特征 99
一、两个随机变量的函数的期望公式 99
二、数学期望与方差的运算性质 100
三、协方差 102
四、相关系数 105
习题3 108
第4章 大数定律与中心极限定理 114
4.1 大数定律 114
一、依概率收敛 114
二、大数定律 114
4.2 中心极限定理 116
一、独立同分布下的中心极限定理 117
二、二项分布的极限分布是正态分布 117
三、中心极限定理用于统计推断(近似计算) 118
习题4 121
第5章 数理统计的基础知识 123
5.1 数理统计的基本概念 123
一、总体和个体 123
二、样本写样本分布 124
三、统计量 125
四、常用的统计量 126
5.2 常用的统计分布 127
一、分位数 127
二、X2分布 128
三、t分布 130
四、F分布 132
5.3 抽样分布 134
一、抽样分布概述 134
二、正态总体的抽样分布 134
三、非正态总体的抽样分布 139
习题5 139
第6章 参数估计 142
6.1 点估计概述 142
一、点估计的概念 142
二、评价估计量的标准 143
6.2 **似然估计与矩估计 146
一、**似然估计 146
二、矩估计 151
6.3 区间估计 153
一、单个正态总体参数的置信区间 154
二、双正态总体参数的区间估计 159
习题6 163
第7章 假设检验 167
7.1 假设检验的基本概念 167
一、假设检验问题的提出 167
二、假设检验的基本思想 168
三、显著性水平与拒绝域 169
四、假设检验的两类错误 170
五、假设检验的基本步骤 170
7.2 一个正态总体参数的假设检验 171
一、均值的假设检验 171
二、方差的假设检验 174
7.3 两个正态总体参数的假设检验 175
一、两均值差异性的假设检验 175
二、两均值未知时,两方差差异性的假设检验 178
7.4 比率的假设检验 179
一、单总体比率的假设检验 179
二、两总体比率的差异性比较 180
7.5 参数的假设检验与区间估计的关系 181
7.6 非参数的假设检验 182
一、频率直方图 183
二、皮尔逊x2拟合检验法 184
习题7 186
第8章 回归分析 189
8.1 回归分析概述 189
8.2 元线性回归分析 190
一、元线性回归模型 190
二、参数的*小二乘估计 191
三、元线性回归模型的显著性检验 195
四、预测和控制 198
8.3 元非线性回归模型的线性化 201
8.4 多元线性回归 204
一、多元线性回归模型 204
二、回归系数的*小二乘估计 205
三、回归模型的显著性检验 206
四、多元线性回归模型的预测 208
习题8 209
部分习题参考答案 211
参考文献 226
附表 227
附表1 泊松分布表 227
附表2 标准正态分布函数 229
附表3 X2分布上侧分位数 230
附表4 F分布上侧分位数Fα(n1,n2) 232
附表5 t分布上侧分位数表 237
附表6 检验相关系数的临界值表 238
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第1章 随机事件与概率
概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门应用性学科。它的理论与方法广泛应用于工业、国防、经济与工程技术等领域,本章主要内容有:随机事件、频率与概率、概率的公理化定义、古典概型和几何概型、条件概率、概率的三个基本公式(乘法公式、全概率公式和贝叶斯(Bayes)公式)及事件的独立性与独立重复试验等。
1.1 随机事件
一、随机现象
在自然界和人类社会生活中出现的现象,大致可分为两类:一类是在一定条件下必然出现的现象,称为确定性现象,例如:向上抛一石子必然下落,同性电荷必然排斥,“旭日东升”“夕阳西下”等。而另一类则是在一定条件下无法准确预知其结果的现象,称为随机现象。
例如:
(1)抛掷一枚质地均匀的硬币,有可能正面朝上,也有可能反面朝上;
(2)掷一颗质地均匀的骰子,出现的点数;
(3)将来某日某种股票的价格;
(4)某型号电池的寿命;
(5)未来某天进入某超市的顾客数。
随机现象到处可见。由于随机现象的结果事先不能预知,初看起来似乎毫无规律,然而人们发现同一随机现象在大量重复出现时,其每种可能的结果的频率却具有稳定性,从而表明随机现象也有其固有的量的规律性,人们把随机现象在大量重复出现时所表现出来的量的规律性称为随机现象的统计规律性,例如,一名优秀的射手,一两次射击不足以反映其真正水平,只有多次重复射击才能反映其真正水平。再例如,抛掷一枚质地均匀的硬币,尽管掷一次时,有可能正面朝上,也有可能反面朝上,但是重复掷多次时,将会发现正面与反面朝上的次数大致相等,各占总次数的1/2。
概率论与数理统计就是研究随机现象统计规律性的一门学科。
二、随机试验与样本空间
1. 随机试验
为了对随机现象的统计规律性进行研究,就需要对随机现象进行大量的重复观察,对随机现象的观察称为随机试验,简称试验,记为E。
例1 抛掷一枚硬币,观察朝上的是哪个面。
例2 同时抛掷两枚硬币,观察两枚分别朝上的是哪个面,
例3 掷一颗骰子,观察出现的点数。
例4 观察某高速公路上一段时间内发生的交通事故数,
例5 考察某地12月份的**气温(设范围为t1~t2)。
例6 从一批灯泡中,任取一只,测定灯泡的寿命,
以上都是随机试验的例子,一般地,随机试验具有如下三个特点:
(1)可重复性 试验在相同的条件下可重复进行;
(2)随机性 每次试验的结果是不确定的,事先无法准确预知;
(3)可观察性 试验结果是可观察的,所有可能的结果是明确的。
2. 样本空间
随机试验E的每一个可能的结果称为一个样本点,记为叫,由全体样本点组成的集合称为样本空间,记为,即。
例1的样本空间。
例2的样本空间。
例3的样本空间。
例4的样本空间。
例5的样本空间。
例6的样本空间。
注 样本空间的元素可以是数也可以不是数;样本空间中至少有两个样本点;从样本空间所含元素的个数来区分,样本空间可分为有限与无限两类。
三、随机事件
在概率论中,把具有某一可观察特征的随机试验的结果称为事件,事件可分为以下三类。
1. 随机事件
在试验中可能发生也可能不发生的事件称为随机事件,随机事件通常用字母A,B,C等表示。
在例3中,用A表示“点数是3”,用B表示“点数小于4”,用C表示“点数小于5的偶数”。
2. 必然事件
在每次试验中必然发生的事件称为必然事件,用字母表示。
在例3中,“点数小于7”是一个必然事件。
3. 不可能事件
在任何一次试验中都不可能发生的事件称为不可能事件,用字母够表示。
在例3中,“点数是10”是一个不可能事件。
虽然必然事件与不可能事件是完全对立的,但它们的共同特点是在试验之前我们能够准确预知其是否发生,因而均不是随机事件,通常称之为确定性事件,概率论研究的是随机事件,但为方便起见,常常将必然事件与不可能事件视为特殊的随机事件,即随机事件的**情形。
四、随机事件的集合表示
前面我们用直观语言描述了随机事件,事实上随机事件还可以用集合的形式来表示。
在实际中,进行随机试验时,人们常常关心满足某种条件的那些样本点组成的集合。若规定某种灯泡的寿命t(单位:h)小于500为次品,则在例6中人们关心灯泡的寿命是否满足t≥500,满足这一条件的样本点组成的一个子集,A显然是一个随机事件。
一般地,在一个随机试验中,称样本空间的子集为随机事件,简称事件,在每次试验中,当且仅当这一于集中的某一样本点出现时,称这一事件发生。
例2的样本空间。
事件A为“两枚都出现正面”,A={(正,正)};
事件B为“恰有一枚出现正面”,B={(正,反),(反,正));
事件C为“至少有一枚出现正面”,C={(正,正),(正,反),(反,正))。
恰由一个样本点组成的事件称为基本事件,由两个或两个以上的样本点组成的事件称为复杂事件。以上事件A为基本事件;事件B,C为复杂事件。
样本空间是必然事件,空集乃是不可能事件,
五、事件的关系与运算
在一个随机试验中,一般有很多个事件,为了通过对简单事件的研究来掌握复杂事件,需要研究事件之间的关系与运算。因为事件是样本空间的一个子集,所以事件之间的关系与运算可按集合之间的关系与运算来处理。
1. 包含关系
如果属于A的样本点必属于B,则称事件A包含于事件B,或称事件B包含事件A,记为。其含义是:事件A发生必然导致事件B发生。
例3中,事件A“点数是3”的发生必然导致事件B“点数小于4”的发生,故。
2. 相等关系
如果属于A的样本点必属于B,同时属于B的样本点必属于A,即且,则称事件A与事件B相等,记为A=B。显然相等的两个事件总是同时发生或同时不发生。
3. 和(并)
由事件A与B中所有的样本点(相同的只计入一次)组成的新事件称为事件A与事件B的和(并),记为AUB或A+B。其含义是:事件A与事件B中至少有一个发生。
类似地,称为个事件的和事件,称为可数个事件的和事件。
4. 积(交)
由事件A与B中公共的样本点组成的新事件称为事件A与事件B的积(交),记为或AB。其含义是:事件A与事件B同时发生,
类似地,称为个事件的积事件,称为可数个事件的积事件。
5. 差
由事件A中而不在事件B申的样本点组成的新事件称为事件A与事件B的差,记为A-B。其含义是:事件A发生而事件B不发生。
例3中,事件A为“点数是3”,事件B为“点数小于4”,则B-A={1,2}。
6. 互不相容事件
如果A与B没有共同的样本点,则称事件A与事件B互不相容,或称为互斥的,记为。其含义是:事件A与事件B不可能同时发生。
基本事件是两两互不相容的。
7. 对立事件
由在中而不在A中的样本点组成的新事件称为事件A的对立事件,或称为A的逆事件,记为,即。其含义是:事件A不发生,显然A也是A的对立事件。两个相互对立的事件A与A,在每次试验中有且仅有一个发生。
注 两个相互对立的事件一定是互不相容事件,但是两个互不相容的事件一般未必是对立事件。
例1中“正”与“反”两个事件是互不相容事件,也是对立事件。
例3中“点数是3”与“点数大于3”两个事件是互不相容事件,但不是对立事件。
8. 完备事件组
设是有限或可数个事件,如果其满足则称是一个完备事件组,
图1-1是事件的关系与运算的维恩图,以助于直观上的理解。
图1-1 维恩图
六、事件的运算性质
由集合的运算性质,容易得出事件的运算性质,设A,B,C是同一随机试验中的事件,则有
(1)交换律AUB=BUA,AnB=BnA;
(2)结合律;
(3)分配律;
(4)对偶律。
注 上述各运算律可推广到有限个或可数个事件的情形,
例7 在例3中,样本空间设事件A为“奇数点”,事件B为“被3整除的点”,事件C为“点数小于2”,事件D为“偶数点”,事件F为“点数不超过5”,写出各事件间的关系。
解 A={1,3,5},B={3,6},C={1},D={2,4,6},F={1,2,3,4,5};B与C,D与C,A与D都是不相容事件,其中A与D为对立事件,
例8 甲、乙、丙三人同时各译一份密码,记事件A为“甲译出”,事件B为“乙译出”,事件C为“丙译出”,则可用上述三个事件的运算表示下列事件。
(1)“甲未译出”:。
(2)“甲译出而乙未译出”:。
(3)“三人中只有乙未译出”:。
(4)“三人中恰好有一人译出”:。
(5)“三人中至少有一人译出”:A+B+C。
(6)“三人中至少有一人未译出”:。
(7)“三人中恰有两人译出”:。
(8)“三人中至少有两人译出”:AB+AC+BC。
(9)“三人均未译出”:。
(10)“三人中至多一人译出”:。
(11)“三人中至多两人译出”:。
1.2 随机事件的概率
每个随机事件(必然事件与不可能事件除外)在一次试验中都有可能发生,也有可能不发生。人们常常希望知道某些事件在一次试验中发生的可能性究竟有多大,例如,在开办学生平安保险业务中,保险公司按一定标准,将一个学生的平安情况分为平安、轻度意外伤害、严重意外伤害以及意外事故死亡等多种结果,由于这些结果都是随机事件,因此重要的是知道各个事件发生的可能性的大小,于是希望找到一个合适的数来表示事件在一次试验中发生的可能性大小,为此,首先引入频率,它描述了事件发生的频繁程度,进而引出表征事件在一次试验中发生的可能性大小的数——概率。
一、用频率估计概率
定义1.1 若在相同的条件下进行了次试验,在这次试验中,事件A发生
概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门应用性学科。它的理论与方法广泛应用于工业、国防、经济与工程技术等领域,本章主要内容有:随机事件、频率与概率、概率的公理化定义、古典概型和几何概型、条件概率、概率的三个基本公式(乘法公式、全概率公式和贝叶斯(Bayes)公式)及事件的独立性与独立重复试验等。
1.1 随机事件
一、随机现象
在自然界和人类社会生活中出现的现象,大致可分为两类:一类是在一定条件下必然出现的现象,称为确定性现象,例如:向上抛一石子必然下落,同性电荷必然排斥,“旭日东升”“夕阳西下”等。而另一类则是在一定条件下无法准确预知其结果的现象,称为随机现象。
例如:
(1)抛掷一枚质地均匀的硬币,有可能正面朝上,也有可能反面朝上;
(2)掷一颗质地均匀的骰子,出现的点数;
(3)将来某日某种股票的价格;
(4)某型号电池的寿命;
(5)未来某天进入某超市的顾客数。
随机现象到处可见。由于随机现象的结果事先不能预知,初看起来似乎毫无规律,然而人们发现同一随机现象在大量重复出现时,其每种可能的结果的频率却具有稳定性,从而表明随机现象也有其固有的量的规律性,人们把随机现象在大量重复出现时所表现出来的量的规律性称为随机现象的统计规律性,例如,一名优秀的射手,一两次射击不足以反映其真正水平,只有多次重复射击才能反映其真正水平。再例如,抛掷一枚质地均匀的硬币,尽管掷一次时,有可能正面朝上,也有可能反面朝上,但是重复掷多次时,将会发现正面与反面朝上的次数大致相等,各占总次数的1/2。
概率论与数理统计就是研究随机现象统计规律性的一门学科。
二、随机试验与样本空间
1. 随机试验
为了对随机现象的统计规律性进行研究,就需要对随机现象进行大量的重复观察,对随机现象的观察称为随机试验,简称试验,记为E。
例1 抛掷一枚硬币,观察朝上的是哪个面。
例2 同时抛掷两枚硬币,观察两枚分别朝上的是哪个面,
例3 掷一颗骰子,观察出现的点数。
例4 观察某高速公路上一段时间内发生的交通事故数,
例5 考察某地12月份的**气温(设范围为t1~t2)。
例6 从一批灯泡中,任取一只,测定灯泡的寿命,
以上都是随机试验的例子,一般地,随机试验具有如下三个特点:
(1)可重复性 试验在相同的条件下可重复进行;
(2)随机性 每次试验的结果是不确定的,事先无法准确预知;
(3)可观察性 试验结果是可观察的,所有可能的结果是明确的。
2. 样本空间
随机试验E的每一个可能的结果称为一个样本点,记为叫,由全体样本点组成的集合称为样本空间,记为,即。
例1的样本空间。
例2的样本空间。
例3的样本空间。
例4的样本空间。
例5的样本空间。
例6的样本空间。
注 样本空间的元素可以是数也可以不是数;样本空间中至少有两个样本点;从样本空间所含元素的个数来区分,样本空间可分为有限与无限两类。
三、随机事件
在概率论中,把具有某一可观察特征的随机试验的结果称为事件,事件可分为以下三类。
1. 随机事件
在试验中可能发生也可能不发生的事件称为随机事件,随机事件通常用字母A,B,C等表示。
在例3中,用A表示“点数是3”,用B表示“点数小于4”,用C表示“点数小于5的偶数”。
2. 必然事件
在每次试验中必然发生的事件称为必然事件,用字母表示。
在例3中,“点数小于7”是一个必然事件。
3. 不可能事件
在任何一次试验中都不可能发生的事件称为不可能事件,用字母够表示。
在例3中,“点数是10”是一个不可能事件。
虽然必然事件与不可能事件是完全对立的,但它们的共同特点是在试验之前我们能够准确预知其是否发生,因而均不是随机事件,通常称之为确定性事件,概率论研究的是随机事件,但为方便起见,常常将必然事件与不可能事件视为特殊的随机事件,即随机事件的**情形。
四、随机事件的集合表示
前面我们用直观语言描述了随机事件,事实上随机事件还可以用集合的形式来表示。
在实际中,进行随机试验时,人们常常关心满足某种条件的那些样本点组成的集合。若规定某种灯泡的寿命t(单位:h)小于500为次品,则在例6中人们关心灯泡的寿命是否满足t≥500,满足这一条件的样本点组成的一个子集,A显然是一个随机事件。
一般地,在一个随机试验中,称样本空间的子集为随机事件,简称事件,在每次试验中,当且仅当这一于集中的某一样本点出现时,称这一事件发生。
例2的样本空间。
事件A为“两枚都出现正面”,A={(正,正)};
事件B为“恰有一枚出现正面”,B={(正,反),(反,正));
事件C为“至少有一枚出现正面”,C={(正,正),(正,反),(反,正))。
恰由一个样本点组成的事件称为基本事件,由两个或两个以上的样本点组成的事件称为复杂事件。以上事件A为基本事件;事件B,C为复杂事件。
样本空间是必然事件,空集乃是不可能事件,
五、事件的关系与运算
在一个随机试验中,一般有很多个事件,为了通过对简单事件的研究来掌握复杂事件,需要研究事件之间的关系与运算。因为事件是样本空间的一个子集,所以事件之间的关系与运算可按集合之间的关系与运算来处理。
1. 包含关系
如果属于A的样本点必属于B,则称事件A包含于事件B,或称事件B包含事件A,记为。其含义是:事件A发生必然导致事件B发生。
例3中,事件A“点数是3”的发生必然导致事件B“点数小于4”的发生,故。
2. 相等关系
如果属于A的样本点必属于B,同时属于B的样本点必属于A,即且,则称事件A与事件B相等,记为A=B。显然相等的两个事件总是同时发生或同时不发生。
3. 和(并)
由事件A与B中所有的样本点(相同的只计入一次)组成的新事件称为事件A与事件B的和(并),记为AUB或A+B。其含义是:事件A与事件B中至少有一个发生。
类似地,称为个事件的和事件,称为可数个事件的和事件。
4. 积(交)
由事件A与B中公共的样本点组成的新事件称为事件A与事件B的积(交),记为或AB。其含义是:事件A与事件B同时发生,
类似地,称为个事件的积事件,称为可数个事件的积事件。
5. 差
由事件A中而不在事件B申的样本点组成的新事件称为事件A与事件B的差,记为A-B。其含义是:事件A发生而事件B不发生。
例3中,事件A为“点数是3”,事件B为“点数小于4”,则B-A={1,2}。
6. 互不相容事件
如果A与B没有共同的样本点,则称事件A与事件B互不相容,或称为互斥的,记为。其含义是:事件A与事件B不可能同时发生。
基本事件是两两互不相容的。
7. 对立事件
由在中而不在A中的样本点组成的新事件称为事件A的对立事件,或称为A的逆事件,记为,即。其含义是:事件A不发生,显然A也是A的对立事件。两个相互对立的事件A与A,在每次试验中有且仅有一个发生。
注 两个相互对立的事件一定是互不相容事件,但是两个互不相容的事件一般未必是对立事件。
例1中“正”与“反”两个事件是互不相容事件,也是对立事件。
例3中“点数是3”与“点数大于3”两个事件是互不相容事件,但不是对立事件。
8. 完备事件组
设是有限或可数个事件,如果其满足则称是一个完备事件组,
图1-1是事件的关系与运算的维恩图,以助于直观上的理解。
图1-1 维恩图
六、事件的运算性质
由集合的运算性质,容易得出事件的运算性质,设A,B,C是同一随机试验中的事件,则有
(1)交换律AUB=BUA,AnB=BnA;
(2)结合律;
(3)分配律;
(4)对偶律。
注 上述各运算律可推广到有限个或可数个事件的情形,
例7 在例3中,样本空间设事件A为“奇数点”,事件B为“被3整除的点”,事件C为“点数小于2”,事件D为“偶数点”,事件F为“点数不超过5”,写出各事件间的关系。
解 A={1,3,5},B={3,6},C={1},D={2,4,6},F={1,2,3,4,5};B与C,D与C,A与D都是不相容事件,其中A与D为对立事件,
例8 甲、乙、丙三人同时各译一份密码,记事件A为“甲译出”,事件B为“乙译出”,事件C为“丙译出”,则可用上述三个事件的运算表示下列事件。
(1)“甲未译出”:。
(2)“甲译出而乙未译出”:。
(3)“三人中只有乙未译出”:。
(4)“三人中恰好有一人译出”:。
(5)“三人中至少有一人译出”:A+B+C。
(6)“三人中至少有一人未译出”:。
(7)“三人中恰有两人译出”:。
(8)“三人中至少有两人译出”:AB+AC+BC。
(9)“三人均未译出”:。
(10)“三人中至多一人译出”:。
(11)“三人中至多两人译出”:。
1.2 随机事件的概率
每个随机事件(必然事件与不可能事件除外)在一次试验中都有可能发生,也有可能不发生。人们常常希望知道某些事件在一次试验中发生的可能性究竟有多大,例如,在开办学生平安保险业务中,保险公司按一定标准,将一个学生的平安情况分为平安、轻度意外伤害、严重意外伤害以及意外事故死亡等多种结果,由于这些结果都是随机事件,因此重要的是知道各个事件发生的可能性的大小,于是希望找到一个合适的数来表示事件在一次试验中发生的可能性大小,为此,首先引入频率,它描述了事件发生的频繁程度,进而引出表征事件在一次试验中发生的可能性大小的数——概率。
一、用频率估计概率
定义1.1 若在相同的条件下进行了次试验,在这次试验中,事件A发生
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