矩阵论

本书比较全面地介绍了矩阵理论的基础知识。全书共分九章，分别介绍了线性空间与内

积空间、线性变换与Jordan标准形，范数理论与矩阵级数，矩阵函数和函数矩阵，矩阵分

解，一些特殊矩阵，非负矩阵与M-矩阵理论，Kronecher积与矩阵方程和*小二乘问题。附

录里简述了一元多项式的有关概念和性质。每一章配备了习题，以使读者学习的巩固。   

    本书可作为理工科以及财经类院校的研究生和高年级本科生（基于学过《线性代数》课程）的学习教材，也可作为有关专业教师和工程技术人员的参考书。

    

顾桂定为上海财经大学数学学院教授。

前言1

 

章  线性空间与内积空间1

§1.1集合与映射1

  一、集合1

  二、映射2

§1.2线性空间及其基与维数4

  一、线性空间的定义4

  二、基、维数与坐标6

  三、基变换与坐标变换8

§1.3线性子空间11

  一、线性子空间11

  二、子空间的交与和12

  三、直和14

§1.4*线性空间的同构17

§1.5内积空间18

  一、欧氏空间18

  二、标准正交基与GramSchmidt正交化过程22

  三、子空间25

  四*、同构27

  五、酉空间28

习题一29

 

第二章  线性变换和矩阵的Jordan标准形33

§2.1线性变换与线性变换的矩阵33

  一、线性变换33

  二、线性变换的矩阵35

  三、线性变换在不同基下的矩阵39

  四、正交变换40

§2.2特征值与特征向量41

  一、基本概念41

  二、矩阵对角化的相似条件43

  三、HamiltonCaylay定理44

§2.3不变子空间与Jordan标准形45

  一、值域与核45

  二、不变子空间48

  三、Jordan标准形51

§2.4对称矩阵的相似对角化52

§2.5λ矩阵54

  一、基本概念54

  二、标准形55

  三、不变因子57

  四、初等因子59

§2.6Jordan标准形的理论推导60

  一、矩阵的相似性条件60

  二、Jordan标准形64

  三、小多项式68

习题二70

 

第三章  范数与极限74

§3.1范数74

  一、向量范数74

  二、矩阵范数76

  三、赋范线性空间81

§3.2矩阵序列与矩阵级数82

  一、矩阵序列与收敛性82

  二、矩阵级数84

习题三88

 

第四章  矩阵函数与函数矩阵90

§4.1矩阵函数90

  一、矩阵多项式90

  二、矩阵函数的解析定义94

  三、矩阵函数的一般定义96

§4.2函数矩阵及其导数101

  一、函数矩阵101

  二、函数矩阵的导数103

  三、函数矩阵的二阶导数与Hessian矩阵110

习题四111

 

第五章  矩阵分解114

§5.1约化矩阵114

  一、Gauss矩阵114

  二、Householder矩阵115

  三、Givens矩阵116

§5.2三角分解117

  一、LU分解117

  二、平方根分解121

§5.3QR分解122

§5.4Schur分解125

§5.5奇异值分解127

§5.6其他分解130

习题五132

 

第六章  一些特殊矩阵134

§6.1正规矩阵134

§6.2Hermite矩阵135

  一、Hermite矩阵136

  二、Hermite矩阵的特征值极性137

§6.3Hermite正定矩阵141

§6.4不可约矩阵和对角占优矩阵143

  一、不可约矩阵143

  二、对角占优矩阵144

§6.5投影矩阵147

习题六151

 

第七章  非负矩阵153

§7.1 非负矩阵及其谱半径性质153

§7.2 Perron定理和Frobenius定理155

§7.3 随机矩阵与单调矩阵159

  一、随机矩阵159

  二、单调矩阵161

§7.4 M矩阵161

习题七166

 

第八章 
Kronecker积与矩阵方程167

§8.1 Kronecker积167

  一、矩阵Kronecker积的定义和基本性质167

  二、矩阵Kronecker积的特征值168

  三、矩阵Kronecker积的秩170

  四、矩阵Kronecker积的幂171

§8.2 矩阵方程171

  一、矩阵的向量化171

  二、线性矩阵方程172

§8.3 矩阵方程AX XB＝C173

  一、Sylvester方程174

  二、Sylvester方程解的形式174

  三、Lyapunov方程简介176

§8.4* 求解矩阵方程的数值解法176

  一、中小规模Sylvester方程的数值解法176

  二、Sylvester方程系数矩阵A为大规模矩阵，B为小矩阵177

  三、Sylvester方程系数矩阵A，B均为大规模矩阵179

习题八180

 

第九章  小二乘问题182

§9.1 小二乘问题的基本性质182

  一、小二乘问题的基本概念182

  二、小二乘问题的数学性质182

§9.2 满秩矩阵的小二乘问题184

  一、法方程（Normal
equation）184

  二、曲线拟合问题185

  三、基于Cholesky分解求解的小二乘解187

  四、基于QR分解求解的小二乘解187

  五、奇异值分解方法191

§9.3 秩显分解和秩亏小二乘问题193

  一、带列选主元的QR分解193

  二、数值秩显分解195

  三、秩亏小二乘问题195

§9.4 广义逆矩阵195

一、广义逆矩阵195

二、广义逆的应用198

习题九199

 

附录 一元多项式202

  一、一元多项式及其基本运算202

  二、整除203

  三、公因式204

  四、多项式函数206

 

参考文献208