描述
开 本: 16开纸 张: 胶版纸包 装: 平装是否套装: 否国际标准书号ISBN: 9787030341136丛书名: 普通高等教育“十二五”规划教材 全国高等医药院校规划教材
编辑推荐
《医药高等数学学习辅导(第3版全国高等医药院校规划教材)》(作者杨松涛、钱微微)是《医药高等数学》(第4版)的配套教材，相应地也有10章。每章包括三大部分：一、内容提要与基本要求；二、习题解答(该章习题的解答过程)；三、增补习题解答(增补一些有代表性，有适当难度的习题)；书的*后编入一些院校有代表性的试卷。本辅导教材有利于学生对高等数学的概念与理论的理解，有利于对运算和方法的掌握，帮助学生在学好高等数学的同时培养自己分析解决问题的能力，也有利于教师的教学工作。
内容简介
医药高等数学学习辅导（第3版）是普通高等教育“十二五”规划教材、全国高等医药院校规划教材《医药高等数学》（第4版）的配套教材，也是医药高等数学学习辅导（第3版）的第3版。全书分10章，包括一元函数微积分、空间解析几何、多元函数微积分、微分方程与无穷级数。《医药高等数学》侧重于理论，医药高等数学学习辅导（第3版）侧重于理论知识的归纳总结、各类各层次习题的分析与解法，它有利于学生对高等数学的概念与理论的理解，有利于培养学生归纳总结、分析解决问题的能力，有利于学生对运算和方法的掌握，也有利于沟通教与学两个教学环节。
医药高等数学学习辅导（第3版）可供高等医药院校各专业层次的学生使用。
医药高等数学学习辅导（第3版）可供高等医药院校各专业层次的学生使用。
目 录
第3版编写说明
第一章 函数与极限
第二章 导数与微分
第三章 导数的应用
第四章 不定积分
第五章 定积分及其应用
第六章 空间解析几何
第七章 多元函数微分学
第八章 多元函数积分学
第九章 微分方程
第十章 无穷级数
医药高等数学试题及答案
第一章 函数与极限
第二章 导数与微分
第三章 导数的应用
第四章 不定积分
第五章 定积分及其应用
第六章 空间解析几何
第七章 多元函数微分学
第八章 多元函数积分学
第九章 微分方程
第十章 无穷级数
医药高等数学试题及答案
在线试读
一、内容提要与基本要求
本章介绍了函数的概念、性质与表示法；数列的极限、函数的极限；函数的增量；函数的连续性．函数是高等
数学中研究的主要对象，极限方法是高等数学的主要方法．极限是从量变认识质变，从近似认识精确，从有限认
识无限的一种数学方法．本章必须掌握下面几方面的内容：
1.正确理解函数的概念、性质，会求函数的定义域，能将复合函数分解为若干简单函数．
2.正确理解函数的极限，能用ε-δ定义刻画函数的极限，理解xl→imx0
f（ x）是否存在与f（ x） 在x0 是否有定义
无关，了解极限的一些性质．
3.熟练掌握极限运算法则，正确理解并熟练应用两个重要极限lxi→m0 sinx
x ＝ 1 ，xli→m∞ 1 + 1
x
x
＝ e ．
4.了解无穷小量、无穷大量，掌握函数的极限与无穷小量的关系．
5.正确理解函数y ＝ f（ x） 在x0 点处连续的概念，会判断函数的连续性与间断点，了解初等函数的连续
性，掌握闭区间上连续函数的性质．
二、习题一解答
1.判断下列各对函数是否相同，并说明理由：
（1） y ＝ x + 1 与y ＝ x2 – 1
x – 1 ； （2） y ＝ lnx2 与y ＝ 2lnx ；
（3） y ＝ f（ x） 与x ＝ f（ y） ； （4） y ＝ 1 + 1
x2 与y ＝ 1 + x2
x ；
（5） y ＝ 3 x4 – x3 与y ＝ x ? 3 x – 1 ； （6） y ＝ ax 与y ＝ ex?lna ．
解 （1） 不同． y ＝ x + 1 的定义域为（ – ∞ ，+ ∞ ） ， y ＝ x2 – 1
x – 1 的定义域为（- ∞ ，1） ∪ （1 ， + ∞ ） ．
（2） 不同． y ＝ lnx2 的定义域为（ – ∞ ，0） ∪ （0 ， + ∞ ） ， y ＝ 2lnx 的定义域为（0 ， + ∞ ） ．
（3） 相同．定义域和对应关系都相同．
（4） 不同．对应关系不同．
（5） 相同．定义域和对应关系都相同．
（6） 相同．定义域和对应关系都相同．
2.设f（ x） ＝ x
x + 1 ，求f 1
2 ， f 3
2 ， f 1
x ，［ f（ x）］2 ， f［ f（ x）］ ， f｛ f［ … f（ x）］｝
n个f
．
解 f 1
2 ＝ 1
3 ， f 32
＝ 3
5 ， f 1
x ＝ 1
x + 1 ， ［ f（ x）］2 ＝ x2
（ x + 1）2 ．
由于
f［ f（ x）］ ＝
x
x + 1
x
x + 1 + 1
＝ x
2 x + 1 ，
又
f｛ f［ f（ x）］｝ ＝
x
2 x + 1
x
2 x + 1 + 1
＝ x
3 x + 1 ，
假定对n ＝ k 均有
f｛ f［ … f（ x）］｝
k个f
＝ x
kx + 1 ，
对于n ＝ k + 1 ，
f｛ f［ … f（ x）］｝
k+ 1个f
＝
x
kx + 1
x
kx + 1 + 1
＝ x
（ k + 1） x + 1 ，
故对于所有的n ，均有
f｛ f［ … f（ x）］｝
n个f
＝ x
nx + 1 ．
3.设f（ x） ＝
1 – x2 ， – ∞ ＜ x ≤ 0 ，
– 2x ， 0 ＜ x ＜ + ∞ ， 求f（ – 1） ， f（0） ， f（1） ， f［ f（ – 1）］ ， f［ f（0）］ ， f［ f（1）］ ．
解 f（ – 1） ＝ 0 ， f（0） ＝ 1 ， f（1） ＝ – 2 ， f［ f（ – 1）］ ＝ 1 ， f［ f（0）］ ＝ – 2 ， f［ f（1）］ ＝ – 3 ．
4.求下列函数的反函数及其定义域：
（1） y ＝ 1 – x2 （0 ≤ x ≤ 1） ； （2） y ＝ 2sin3 x x ∈ – π
6 ，π
6 ；
（3） y ＝ 2x
2x + 1 ； （4） y ＝ aln（ bx – c） ；
（5） y ＝ ax + b
cx + d （ ad – bc ≠ 0） ．
解 （1） y ＝ 1 – x2 （0 ≤ x ≤ 1） ． （2） y ＝ 1
3 arcsin x
2 （ – 2 ≤ x ≤ 2） ．
（3） y ＝ log2 x
1 – x （0 ＜ x ＜ 1） ． （4） y ＝ 1
b （c + ex
a ） （ – ∞ ＜ x ＜ + ∞ ） ．
（5） y ＝ b – dx
cx – a x ≠ a
c ．
5.求下列各题中所给函数构成的复合函数，再指出其定义域：
（1） y ＝ eu ， u ＝ sinx ； （2） y ＝ u – 1 ， u ＝ lgx ；
（3） y ＝ u2 ， u ＝ cosv ， v ＝ x – 1
x2 – 5 x + 6 ； （4） y ＝ au ， u ＝ arctanv ， v ＝ 3 w ， w ＝ t2 – 1 ；
（5） y ＝ arcsinu ， u ＝ 1 + ex
解 （1） y ＝ esinx （ – ∞ ＜ x ＜ + ∞ ） ．
（2） y ＝ lgx – 1 （10 ≤ x ＜ + ∞ ） ．
（3） y ＝ cos2 x – 1
x2 – 5 x + 6 （ – ∞ ＜ x ＜ 2） ∪ （2 ＜ x ＜ 3） ∪ （3 ＜ x ＜ + ∞ ） ．
（4） y ＝ aarctan 3 x2 – 1 （ – ∞ ＜ x ＜ + ∞ ） ．
（5） 由于无论x 取什么值， u ＝ 1 + ex ＞ 1 ，此时u 值对y ＝ arcsinu 没有意义．因此， y ＝ arcsinu 与u ＝
1 + ex 不能复合成复合函数．
6.设f（ x） ＝
0 ， x ≤ 0 ，
x ， x ＞ 0 ，
g（ x） ＝
0 ， x ≤ 0 ，
– x2 ， x ＞ 0 ，求f［ g（ x）］ ，g［ f（ x）］ ，f［ f（ x）］ ，g［ g（ x）］ ．
解 f［ g（ x）］ ＝ 0 ， g［ f（ x）］ ＝ g（ x） ， f［ f（ x）］ ＝ f（ x） ， g［ g（ x）］ ＝ 0 ．
7.下列函数中，哪些是复合函数？ 如是，它们是怎样合成的？
（1） y ＝ arccos（5 + x3 ） ； （2） y ＝ x3 ? 3x ；
（3） y ＝ cos3 x2 + 1
2 ； （4） y ＝ lg x – 1
x + 1 ；
（5） y ＝ x
3 1 – x2 + 12
arcsinx ； （6） y ＝ lnsin 3 x2 + π
4 ．
解 （1） 是． y ＝ arccosu ， u ＝ 5 + x3 ．
（3） 是． y ＝ u3 ， u ＝ cosv ， v ＝ x2 + 1
2 ．
（4） 是． y ＝ lgu ， u ＝ v ， v ＝ x – 1
x + 1 ．
（6） 是． y ＝ lnu ， u ＝ sinv ， v ＝ w ， w ＝ 3 x2 + π
4 ．
（2） 、（5）题的函数不是复合函数。
倡8.根据极限定义证明（打“ 倡”的是可选题，以下各章同）
（1） nli→m∞
3 n + 1
2 n + 1 ＝ 3
2 （用“ε-N”语言证明） ； （2） xli→m∞
1 + x3
2 x3 ＝ 1
2 （用“ε-X”语言证明） ；
（3） lxi→m2
（5 x + 2） ＝ 12 （用“ε-δ”语言证明） ．
证 （1） 对任意给定的ε＞ 0 ，总存在正整数N ＝ 1
ε ．当n ＞ N 时，
3 n + 1
2 n + 1 – 32
＝ 1
2（2 n + 1） ＜ 1
n ＜ ε，
nli→m∞
3 n + 1
2 n + 1 ＝ 32
．
（2） 对任意给定的ε＞ 0 ，总存在正数X ＝
3 1
2ε ．当x ＞ X 时，
1 + x3
2 x3 – 1
2 ＝ 1
2 x3 ＝ 1
2 x 3 ＜ 1
2 X3 ＝ ε，
xli→m∞
1 + x3
2 x3 ＝ 1
2 ．
（3） 对任意给定的ε＞ 0 ，总存在正数δ ＝ ε
5 ．当0 ＜ x – 2 ＜ δ时，
5 x + 2 – 12 ＝ 5 x – 2 ＜ 5δ ＝ ε，
lxi→m2
（5 x + 2） ＝ 12 ．
9.求下列极限：
（1） xl→im- 1
（3 x3 – 5 x + 2） ； （2） lim x → 2
x2 + 1
x4 – 3 x2 + 1 ；
（3） lxi→m2
x2 – 3
x – 2 ； （4） lxi→m3
x2 – 2 x – 3
x – 3 ；
（5） lxi→m9
4 x – 3
x – 3
； （6） lhi→m0
（ x + h）3 – x3
h ；
（7） lxi→m0
x + 1 – （ x + 1）
x + 1 – 1
； （8） lxi→m4
2 x + 1 – 3
x – 2
；
（9） lxi→m1
xm – 1
xn – 1 （ m ，n 为自然数） ； （10） nli→m∞
2 n + 1
n2 + n
；
（11） xli→m∞
（2 x2 + 1）2
x2 + 3 ； （12） xli→m∞
（2 x + 1）3 （ x – 3）2
x5 + 4 ；
（13） xli→m∞
2 x2 – 6 x + 5
x3 – 8 x2 + 1 ； （14） xl→im+ ∞ eax – 1
eax + 1 （ a ＞ 0） ；
（15） nli→m∞
1
n2 + 2
n2 + … + n
n2 ； （16） nli→m∞
（ n + 1 – n） ；
（17） xl→im- 1
1
x + 1 – 3
x3 + 1 ； （18） x l→im+ ∞ x x2 + 1 – x ．
解 （1） xl→im- 1
（3 x3 – 5 x + 2） ＝ 3 xl→im- 1 x3 – 5 xl→im- 1 x + 2 ＝ 4 ．
（2） lim x → 2
x2 + 1
x4 – 3 x2 + 1 ＝ lim x → 2
（ x2 + 1）
lim x → 2
（ x4 – 3 x2 + 1） ＝ 3
– 1 ＝ – 3 ．
（3） lxi→m2
x2 – 3
x – 2 ＝ ∞ 因为lxi→m2
x – 2
x2 – 3 ＝ 0 ．
（4） lxi→m3
x2 – 2 x – 3
x – 3 ＝ lxi→m3
（ x – 3）（ x + 1）
x – 3 ＝ 4 ．
（5） lxi→m9
4 x – 3
x – 3
＝ lxi→m9
4 x – 3
（4 x – 3）（4 x + 3）
＝ 1
2 3
．
（6） lhi→m0
（ x + h）3 – x3
h ＝ lhi→m0
（3 x2 + 3 xh + h2 ） h
h ＝ 3 x2 ．
（7） lxi→m0
x + 1 – （ x + 1）
x + 1 – 1
＝ lxi→m0
x + 1（1 – x + 1）
x + 1 – 1
＝ – lxi→m0 x + 1 ＝ – 1 ．
（8） lxi→m4
2 x + 1 – 3
x – 2
＝ lxi→m4
（ 2 x + 12 – 32 ）（ x + 2）
（ x2 – 22 ）（ 2 x + 1 + 3）
＝ lxi→m4
（2 x – 8）（ x + 2）
（ x – 4）（ 2 x + 1 + 3）
＝ lxi→m4
2（ x + 2）
2 x + 1 + 3
＝ 4
3 ．
（9） lxi→m1
xm – 1
xn – 1 ＝ lxi→m1
xm- 1 + xm- 2 + … + 1
xn- 1 + xn- 2 + … + 1 ＝ mn
（ m ，n 为自然数） ．
（10） nli→m∞
2 n + 1
n2 + n
＝ nli→m∞
2 + 1
n
1 + 1
n
＝ 2 ．
（11） xli→m∞
（2 x2 + 1）2
x2 + 3 ＝ ∞ ．
（12） xli→m∞
（2 x + 1）3 （ x – 3）2
x5 + 4 ＝ 8 ．
（13） xli→m∞
2 x2 – 6 x + 5
x3 – 8 x2 + 1 ＝ 0 ．
（14） xl→im+ ∞ eax – 1
eax + 1 ＝ xl→im+ ∞
1 – 1
eax
1 + 1
eax
＝ 1 （ a ＞ 0） ．
（15） nli→m∞
1
n2 + 2
n2 + … + n
n2 ＝ nli→m∞
n（ n + 1）
2 n2 ＝ 1
2 ．
（16） nli→m∞
（ n + 1 – n） ＝ nli→m∞
1
n + 1 + n
＝ 0 ．
（17） xl→im- 1
1
x + 1 – 3
x3 + 1 ＝ xl→im- 1
x2 – x + 1 – 3
x3 + 1 ＝ xl→im- 1
（ x + 1）（ x – 2）
（ x + 1）（ x2 – x + 1） ＝ – 1 ．
（18） x l→im+ ∞ x x2 + 1 – x ＝ x l→im+ ∞ x x2 + 1 – x x2 + 1 + x
x2 + 1 + x
＝ xl→im+ ∞
x
x2 + 1 + x
＝ xl→im+ ∞
1
1 + 1
x2 + 1
＝ 1
2 ．
10.下列函数在给定条件下，哪些是无穷小？ 哪些是无穷大？
（1） 1 + 2 x2
x （ x → 0） ； （2） sinx
x （ x → ∞ ） ；
（3） lgx （ x → 0+ ） ； （4） 2 x + 5 （ x → – ∞ ） ；
（5） x + 1
x2 – 4 （ x → 2） ； （6） 1 – cos2 t （ t → 0） ．
解 （2） ，（6）为无穷小；（1） ，（3） ，（4） ，（5）为无穷大．
11.x2 ， x2 – 1
x3 ，e- x 何时是无穷大？ 何时是无穷小？
解 x → ∞ 时， x2 → ∞ ， x2 – 1
x3 → 0 ；
x → + ∞ 时，e- x → 0 ；
x → – ∞ 时，e- x → ∞ ；
x → ± 1 时， x2 – 1
x3 → 0 ；
x → 0 时， x2 → 0 ， x2 – 1
x3 → ∞ ．
12.x → 1 时，下列函数中哪个是1 – x 的高阶无穷小？ 哪个是1 – x 的等阶无穷小？
（1） （1 – x） 3
2 ； （2） 1 – x
1 + x ； （3） 2（1 – x） ．
解 （1） 因为lxi→m1
（1 – x） 3
2
1 – x ＝ lxi→m1
（1 – x） 1
2 ＝ 0 ，所以当x → 1 时，（1 – x） 3
2 较1 – x 为高阶无穷小．
（2） 因为lxi→m1
1 – x
1 + x
1 – x ＝ lxi→m1
1
1 + x ＝ 1
2 ，所以当x → 1 时，1 – x
1 + x 与1 – x 是同阶无穷小．
（3） 因为lxi→m1
2（1 – x）
1 – x ＝ lxi→m1
2
1 + x
＝ 1 ，所以当x → 1 时，2（1 – x） 与1 – x 等价，即2（1 – x） ~ （1 – x） ．
13.设有函数
f（ x） ＝
（ x + a）2 – a2
x ， x ＜ 0 ，
x – 2 ， 0 ＜ x ≤ 1 ，
x2 – 5 x + 4
x2 + x – 2 ， x ＞ 1 ．
（1） 求xl→im- ∞ f（ x） ，xl→im+ ∞ f（ x） ； （2） a 为何值时，lxi→m0 f（ x） 存在；
（3） 求lxi→m1 f（ x） ．
解 （1） x l→im- ∞ f（ x） ＝ x l→im- ∞
（ x + a）2 – a2
x ＝ x l→im- ∞
x2 + 2 ax
x ＝ x l→im- ∞
（ x + 2 a） ＝ – ∞ ，
x l→im+ ∞ f（ x） ＝ x l→im+ ∞
x2 – 5 x + 4
x2 + x – 2 ＝ 1 ．
（2） 因为
lim x → 0 + f（ x） ＝ lim x → 0 +
（ x – 2） ＝ – 2 ，
lim x → 0 – f（ x） ＝ lim x → 0 –
（ x + a）2 – a2
x ＝ lim x → 0 –
（ x + 2 a） ＝ 2 a ，
所以
a ＝ – 1 时，lxi→m0 f（ x） 存在．
（3） 因为
lim x → 1 + f（ x） ＝ lim x → 1 +
x2 – 5 x + 4
x2 + x – 2 ＝ lim x → 1 +
（ x – 1）（ x – 4）
（ x – 1）（ x + 2） ＝ – 1 ，
lim x → 1 – f（ x） ＝ lim x → 1 –
（ x – 2） ＝ – 1 ，
所以
lxi→m1 f（ x） ＝ – 1 ．
14.已知xli→m∞
x2 + 1
x + 1 – ax – b ＝ 0 ，试确定a ，b的值．
解 xli→m∞
x2 + 1
x + 1 – ax – b ＝ xli→m∞
（1 – a） x2 – （a + b） x – b + 1
x + 1 ．
因为极限存在，所以1 – a ＝ 0 ，即a ＝ 1 ，从而
原式＝ xli→m∞
– （1 + b） x – b + 1
x + 1 ＝ – （1 + b） ．
由给定条件知- （1 + b） ＝ 0 ，所以b ＝ – 1 ．
15.求下列极限：
（1） lxi→m0 sin3 x
sin4 x ； （2） lxi→m0 tan3 x
sin5 x ；
（3） xli→m∞ xsin 1
x ； （4） lxi→m0 xsin 1
x ；
（5） lxi→mπ sinx
π – x ； （6） lhi→m0
1 – cos2 x
xsinx ；
（7） nli→m∞
2n sin a
2n （ a ≠ 0） ； （8） lxi→m0
x + 2sinx
x + sinx ；
（9） xl→im- ∞ x sin 1
x2 ； （10） xli→m∞ 1 + k
x
x
；
（11） lxi→m0 1 + x
2
x – 1
x ； （12） lxi→m0
（1 + 2tanx）cotx ；
（13） lxi→m0
（cosx） 1
1 – cosx ； （14） xli→m∞
x + 3
x
x + 2
．
解 （1） lxi→m0 sin3 x
sin4 x ＝ lxi→m0
sin3 x
3 x ? 3 x
sin4 x
4 x ? 4 x
＝ 3
4 lxi→m0
sin3 x
3 x
sin4 x
4 x
＝ 3
4 ．
（2） lxi→m0 tan3 x
sin5 x ＝ lxi→m0
sin3 x
3 x ? 3 x
cos3 x
sin5 x
5 x ? 5 x
＝ 3
5 ．
（3） xli→m∞ xsin 1
x ＝ xli→m∞
sin 1
x
1
x
＝ 1 ．
（4） 因为lxi→m0 x ＝ 0 ，而sin 1
x 为有界函数，即sin 1
x ≤ 1 ，所以
lxi→m0 xsin 1
x ＝ 0
（5） lxi→mπ sinx
π – x ＝ lxi→mπ sin（π – x）
π – x ＝ 1 ．
（6） lxi→m0
1 – cos2 x
xsinx ＝ 2 lxi→m0 sin2 x
xsinx ＝ 2 lxi→m0 sinx
x ＝ 2 ．
（7） nli→m∞
2n sin a
2n ＝ nli→m∞
sin a
2n
a
2n
? a ＝ a（ a ≠ 0） ．
（8） lxi→m0
x + 2sinx
x + sinx ＝ lxi→m0
1 + 2 sinx
x
1 + sinx
x
＝ 3
2 ．
（9） xl→im- ∞ x sin 1
x2 ＝ xl→im- ∞
– sin 1
x2
1
x2
＝ – 1 ．
（10） xli→m∞
1 + k
x
x
＝ xli→m∞
1 + k
x
x
k k
＝ ek ．
本章介绍了函数的概念、性质与表示法；数列的极限、函数的极限；函数的增量；函数的连续性．函数是高等
数学中研究的主要对象，极限方法是高等数学的主要方法．极限是从量变认识质变，从近似认识精确，从有限认
识无限的一种数学方法．本章必须掌握下面几方面的内容：
1.正确理解函数的概念、性质，会求函数的定义域，能将复合函数分解为若干简单函数．
2.正确理解函数的极限，能用ε-δ定义刻画函数的极限，理解xl→imx0
f（ x）是否存在与f（ x） 在x0 是否有定义
无关，了解极限的一些性质．
3.熟练掌握极限运算法则，正确理解并熟练应用两个重要极限lxi→m0 sinx
x ＝ 1 ，xli→m∞ 1 + 1
x
x
＝ e ．
4.了解无穷小量、无穷大量，掌握函数的极限与无穷小量的关系．
5.正确理解函数y ＝ f（ x） 在x0 点处连续的概念，会判断函数的连续性与间断点，了解初等函数的连续
性，掌握闭区间上连续函数的性质．
二、习题一解答
1.判断下列各对函数是否相同，并说明理由：
（1） y ＝ x + 1 与y ＝ x2 – 1
x – 1 ； （2） y ＝ lnx2 与y ＝ 2lnx ；
（3） y ＝ f（ x） 与x ＝ f（ y） ； （4） y ＝ 1 + 1
x2 与y ＝ 1 + x2
x ；
（5） y ＝ 3 x4 – x3 与y ＝ x ? 3 x – 1 ； （6） y ＝ ax 与y ＝ ex?lna ．
解 （1） 不同． y ＝ x + 1 的定义域为（ – ∞ ，+ ∞ ） ， y ＝ x2 – 1
x – 1 的定义域为（- ∞ ，1） ∪ （1 ， + ∞ ） ．
（2） 不同． y ＝ lnx2 的定义域为（ – ∞ ，0） ∪ （0 ， + ∞ ） ， y ＝ 2lnx 的定义域为（0 ， + ∞ ） ．
（3） 相同．定义域和对应关系都相同．
（4） 不同．对应关系不同．
（5） 相同．定义域和对应关系都相同．
（6） 相同．定义域和对应关系都相同．
2.设f（ x） ＝ x
x + 1 ，求f 1
2 ， f 3
2 ， f 1
x ，［ f（ x）］2 ， f［ f（ x）］ ， f｛ f［ … f（ x）］｝
n个f
．
解 f 1
2 ＝ 1
3 ， f 32
＝ 3
5 ， f 1
x ＝ 1
x + 1 ， ［ f（ x）］2 ＝ x2
（ x + 1）2 ．
由于
f［ f（ x）］ ＝
x
x + 1
x
x + 1 + 1
＝ x
2 x + 1 ，
又
f｛ f［ f（ x）］｝ ＝
x
2 x + 1
x
2 x + 1 + 1
＝ x
3 x + 1 ，
假定对n ＝ k 均有
f｛ f［ … f（ x）］｝
k个f
＝ x
kx + 1 ，
对于n ＝ k + 1 ，
f｛ f［ … f（ x）］｝
k+ 1个f
＝
x
kx + 1
x
kx + 1 + 1
＝ x
（ k + 1） x + 1 ，
故对于所有的n ，均有
f｛ f［ … f（ x）］｝
n个f
＝ x
nx + 1 ．
3.设f（ x） ＝
1 – x2 ， – ∞ ＜ x ≤ 0 ，
– 2x ， 0 ＜ x ＜ + ∞ ， 求f（ – 1） ， f（0） ， f（1） ， f［ f（ – 1）］ ， f［ f（0）］ ， f［ f（1）］ ．
解 f（ – 1） ＝ 0 ， f（0） ＝ 1 ， f（1） ＝ – 2 ， f［ f（ – 1）］ ＝ 1 ， f［ f（0）］ ＝ – 2 ， f［ f（1）］ ＝ – 3 ．
4.求下列函数的反函数及其定义域：
（1） y ＝ 1 – x2 （0 ≤ x ≤ 1） ； （2） y ＝ 2sin3 x x ∈ – π
6 ，π
6 ；
（3） y ＝ 2x
2x + 1 ； （4） y ＝ aln（ bx – c） ；
（5） y ＝ ax + b
cx + d （ ad – bc ≠ 0） ．
解 （1） y ＝ 1 – x2 （0 ≤ x ≤ 1） ． （2） y ＝ 1
3 arcsin x
2 （ – 2 ≤ x ≤ 2） ．
（3） y ＝ log2 x
1 – x （0 ＜ x ＜ 1） ． （4） y ＝ 1
b （c + ex
a ） （ – ∞ ＜ x ＜ + ∞ ） ．
（5） y ＝ b – dx
cx – a x ≠ a
c ．
5.求下列各题中所给函数构成的复合函数，再指出其定义域：
（1） y ＝ eu ， u ＝ sinx ； （2） y ＝ u – 1 ， u ＝ lgx ；
（3） y ＝ u2 ， u ＝ cosv ， v ＝ x – 1
x2 – 5 x + 6 ； （4） y ＝ au ， u ＝ arctanv ， v ＝ 3 w ， w ＝ t2 – 1 ；
（5） y ＝ arcsinu ， u ＝ 1 + ex
解 （1） y ＝ esinx （ – ∞ ＜ x ＜ + ∞ ） ．
（2） y ＝ lgx – 1 （10 ≤ x ＜ + ∞ ） ．
（3） y ＝ cos2 x – 1
x2 – 5 x + 6 （ – ∞ ＜ x ＜ 2） ∪ （2 ＜ x ＜ 3） ∪ （3 ＜ x ＜ + ∞ ） ．
（4） y ＝ aarctan 3 x2 – 1 （ – ∞ ＜ x ＜ + ∞ ） ．
（5） 由于无论x 取什么值， u ＝ 1 + ex ＞ 1 ，此时u 值对y ＝ arcsinu 没有意义．因此， y ＝ arcsinu 与u ＝
1 + ex 不能复合成复合函数．
6.设f（ x） ＝
0 ， x ≤ 0 ，
x ， x ＞ 0 ，
g（ x） ＝
0 ， x ≤ 0 ，
– x2 ， x ＞ 0 ，求f［ g（ x）］ ，g［ f（ x）］ ，f［ f（ x）］ ，g［ g（ x）］ ．
解 f［ g（ x）］ ＝ 0 ， g［ f（ x）］ ＝ g（ x） ， f［ f（ x）］ ＝ f（ x） ， g［ g（ x）］ ＝ 0 ．
7.下列函数中，哪些是复合函数？ 如是，它们是怎样合成的？
（1） y ＝ arccos（5 + x3 ） ； （2） y ＝ x3 ? 3x ；
（3） y ＝ cos3 x2 + 1
2 ； （4） y ＝ lg x – 1
x + 1 ；
（5） y ＝ x
3 1 – x2 + 12
arcsinx ； （6） y ＝ lnsin 3 x2 + π
4 ．
解 （1） 是． y ＝ arccosu ， u ＝ 5 + x3 ．
（3） 是． y ＝ u3 ， u ＝ cosv ， v ＝ x2 + 1
2 ．
（4） 是． y ＝ lgu ， u ＝ v ， v ＝ x – 1
x + 1 ．
（6） 是． y ＝ lnu ， u ＝ sinv ， v ＝ w ， w ＝ 3 x2 + π
4 ．
（2） 、（5）题的函数不是复合函数。
倡8.根据极限定义证明（打“ 倡”的是可选题，以下各章同）
（1） nli→m∞
3 n + 1
2 n + 1 ＝ 3
2 （用“ε-N”语言证明） ； （2） xli→m∞
1 + x3
2 x3 ＝ 1
2 （用“ε-X”语言证明） ；
（3） lxi→m2
（5 x + 2） ＝ 12 （用“ε-δ”语言证明） ．
证 （1） 对任意给定的ε＞ 0 ，总存在正整数N ＝ 1
ε ．当n ＞ N 时，
3 n + 1
2 n + 1 – 32
＝ 1
2（2 n + 1） ＜ 1
n ＜ ε，
nli→m∞
3 n + 1
2 n + 1 ＝ 32
．
（2） 对任意给定的ε＞ 0 ，总存在正数X ＝
3 1
2ε ．当x ＞ X 时，
1 + x3
2 x3 – 1
2 ＝ 1
2 x3 ＝ 1
2 x 3 ＜ 1
2 X3 ＝ ε，
xli→m∞
1 + x3
2 x3 ＝ 1
2 ．
（3） 对任意给定的ε＞ 0 ，总存在正数δ ＝ ε
5 ．当0 ＜ x – 2 ＜ δ时，
5 x + 2 – 12 ＝ 5 x – 2 ＜ 5δ ＝ ε，
lxi→m2
（5 x + 2） ＝ 12 ．
9.求下列极限：
（1） xl→im- 1
（3 x3 – 5 x + 2） ； （2） lim x → 2
x2 + 1
x4 – 3 x2 + 1 ；
（3） lxi→m2
x2 – 3
x – 2 ； （4） lxi→m3
x2 – 2 x – 3
x – 3 ；
（5） lxi→m9
4 x – 3
x – 3
； （6） lhi→m0
（ x + h）3 – x3
h ；
（7） lxi→m0
x + 1 – （ x + 1）
x + 1 – 1
； （8） lxi→m4
2 x + 1 – 3
x – 2
；
（9） lxi→m1
xm – 1
xn – 1 （ m ，n 为自然数） ； （10） nli→m∞
2 n + 1
n2 + n
；
（11） xli→m∞
（2 x2 + 1）2
x2 + 3 ； （12） xli→m∞
（2 x + 1）3 （ x – 3）2
x5 + 4 ；
（13） xli→m∞
2 x2 – 6 x + 5
x3 – 8 x2 + 1 ； （14） xl→im+ ∞ eax – 1
eax + 1 （ a ＞ 0） ；
（15） nli→m∞
1
n2 + 2
n2 + … + n
n2 ； （16） nli→m∞
（ n + 1 – n） ；
（17） xl→im- 1
1
x + 1 – 3
x3 + 1 ； （18） x l→im+ ∞ x x2 + 1 – x ．
解 （1） xl→im- 1
（3 x3 – 5 x + 2） ＝ 3 xl→im- 1 x3 – 5 xl→im- 1 x + 2 ＝ 4 ．
（2） lim x → 2
x2 + 1
x4 – 3 x2 + 1 ＝ lim x → 2
（ x2 + 1）
lim x → 2
（ x4 – 3 x2 + 1） ＝ 3
– 1 ＝ – 3 ．
（3） lxi→m2
x2 – 3
x – 2 ＝ ∞ 因为lxi→m2
x – 2
x2 – 3 ＝ 0 ．
（4） lxi→m3
x2 – 2 x – 3
x – 3 ＝ lxi→m3
（ x – 3）（ x + 1）
x – 3 ＝ 4 ．
（5） lxi→m9
4 x – 3
x – 3
＝ lxi→m9
4 x – 3
（4 x – 3）（4 x + 3）
＝ 1
2 3
．
（6） lhi→m0
（ x + h）3 – x3
h ＝ lhi→m0
（3 x2 + 3 xh + h2 ） h
h ＝ 3 x2 ．
（7） lxi→m0
x + 1 – （ x + 1）
x + 1 – 1
＝ lxi→m0
x + 1（1 – x + 1）
x + 1 – 1
＝ – lxi→m0 x + 1 ＝ – 1 ．
（8） lxi→m4
2 x + 1 – 3
x – 2
＝ lxi→m4
（ 2 x + 12 – 32 ）（ x + 2）
（ x2 – 22 ）（ 2 x + 1 + 3）
＝ lxi→m4
（2 x – 8）（ x + 2）
（ x – 4）（ 2 x + 1 + 3）
＝ lxi→m4
2（ x + 2）
2 x + 1 + 3
＝ 4
3 ．
（9） lxi→m1
xm – 1
xn – 1 ＝ lxi→m1
xm- 1 + xm- 2 + … + 1
xn- 1 + xn- 2 + … + 1 ＝ mn
（ m ，n 为自然数） ．
（10） nli→m∞
2 n + 1
n2 + n
＝ nli→m∞
2 + 1
n
1 + 1
n
＝ 2 ．
（11） xli→m∞
（2 x2 + 1）2
x2 + 3 ＝ ∞ ．
（12） xli→m∞
（2 x + 1）3 （ x – 3）2
x5 + 4 ＝ 8 ．
（13） xli→m∞
2 x2 – 6 x + 5
x3 – 8 x2 + 1 ＝ 0 ．
（14） xl→im+ ∞ eax – 1
eax + 1 ＝ xl→im+ ∞
1 – 1
eax
1 + 1
eax
＝ 1 （ a ＞ 0） ．
（15） nli→m∞
1
n2 + 2
n2 + … + n
n2 ＝ nli→m∞
n（ n + 1）
2 n2 ＝ 1
2 ．
（16） nli→m∞
（ n + 1 – n） ＝ nli→m∞
1
n + 1 + n
＝ 0 ．
（17） xl→im- 1
1
x + 1 – 3
x3 + 1 ＝ xl→im- 1
x2 – x + 1 – 3
x3 + 1 ＝ xl→im- 1
（ x + 1）（ x – 2）
（ x + 1）（ x2 – x + 1） ＝ – 1 ．
（18） x l→im+ ∞ x x2 + 1 – x ＝ x l→im+ ∞ x x2 + 1 – x x2 + 1 + x
x2 + 1 + x
＝ xl→im+ ∞
x
x2 + 1 + x
＝ xl→im+ ∞
1
1 + 1
x2 + 1
＝ 1
2 ．
10.下列函数在给定条件下，哪些是无穷小？ 哪些是无穷大？
（1） 1 + 2 x2
x （ x → 0） ； （2） sinx
x （ x → ∞ ） ；
（3） lgx （ x → 0+ ） ； （4） 2 x + 5 （ x → – ∞ ） ；
（5） x + 1
x2 – 4 （ x → 2） ； （6） 1 – cos2 t （ t → 0） ．
解 （2） ，（6）为无穷小；（1） ，（3） ，（4） ，（5）为无穷大．
11.x2 ， x2 – 1
x3 ，e- x 何时是无穷大？ 何时是无穷小？
解 x → ∞ 时， x2 → ∞ ， x2 – 1
x3 → 0 ；
x → + ∞ 时，e- x → 0 ；
x → – ∞ 时，e- x → ∞ ；
x → ± 1 时， x2 – 1
x3 → 0 ；
x → 0 时， x2 → 0 ， x2 – 1
x3 → ∞ ．
12.x → 1 时，下列函数中哪个是1 – x 的高阶无穷小？ 哪个是1 – x 的等阶无穷小？
（1） （1 – x） 3
2 ； （2） 1 – x
1 + x ； （3） 2（1 – x） ．
解 （1） 因为lxi→m1
（1 – x） 3
2
1 – x ＝ lxi→m1
（1 – x） 1
2 ＝ 0 ，所以当x → 1 时，（1 – x） 3
2 较1 – x 为高阶无穷小．
（2） 因为lxi→m1
1 – x
1 + x
1 – x ＝ lxi→m1
1
1 + x ＝ 1
2 ，所以当x → 1 时，1 – x
1 + x 与1 – x 是同阶无穷小．
（3） 因为lxi→m1
2（1 – x）
1 – x ＝ lxi→m1
2
1 + x
＝ 1 ，所以当x → 1 时，2（1 – x） 与1 – x 等价，即2（1 – x） ~ （1 – x） ．
13.设有函数
f（ x） ＝
（ x + a）2 – a2
x ， x ＜ 0 ，
x – 2 ， 0 ＜ x ≤ 1 ，
x2 – 5 x + 4
x2 + x – 2 ， x ＞ 1 ．
（1） 求xl→im- ∞ f（ x） ，xl→im+ ∞ f（ x） ； （2） a 为何值时，lxi→m0 f（ x） 存在；
（3） 求lxi→m1 f（ x） ．
解 （1） x l→im- ∞ f（ x） ＝ x l→im- ∞
（ x + a）2 – a2
x ＝ x l→im- ∞
x2 + 2 ax
x ＝ x l→im- ∞
（ x + 2 a） ＝ – ∞ ，
x l→im+ ∞ f（ x） ＝ x l→im+ ∞
x2 – 5 x + 4
x2 + x – 2 ＝ 1 ．
（2） 因为
lim x → 0 + f（ x） ＝ lim x → 0 +
（ x – 2） ＝ – 2 ，
lim x → 0 – f（ x） ＝ lim x → 0 –
（ x + a）2 – a2
x ＝ lim x → 0 –
（ x + 2 a） ＝ 2 a ，
所以
a ＝ – 1 时，lxi→m0 f（ x） 存在．
（3） 因为
lim x → 1 + f（ x） ＝ lim x → 1 +
x2 – 5 x + 4
x2 + x – 2 ＝ lim x → 1 +
（ x – 1）（ x – 4）
（ x – 1）（ x + 2） ＝ – 1 ，
lim x → 1 – f（ x） ＝ lim x → 1 –
（ x – 2） ＝ – 1 ，
所以
lxi→m1 f（ x） ＝ – 1 ．
14.已知xli→m∞
x2 + 1
x + 1 – ax – b ＝ 0 ，试确定a ，b的值．
解 xli→m∞
x2 + 1
x + 1 – ax – b ＝ xli→m∞
（1 – a） x2 – （a + b） x – b + 1
x + 1 ．
因为极限存在，所以1 – a ＝ 0 ，即a ＝ 1 ，从而
原式＝ xli→m∞
– （1 + b） x – b + 1
x + 1 ＝ – （1 + b） ．
由给定条件知- （1 + b） ＝ 0 ，所以b ＝ – 1 ．
15.求下列极限：
（1） lxi→m0 sin3 x
sin4 x ； （2） lxi→m0 tan3 x
sin5 x ；
（3） xli→m∞ xsin 1
x ； （4） lxi→m0 xsin 1
x ；
（5） lxi→mπ sinx
π – x ； （6） lhi→m0
1 – cos2 x
xsinx ；
（7） nli→m∞
2n sin a
2n （ a ≠ 0） ； （8） lxi→m0
x + 2sinx
x + sinx ；
（9） xl→im- ∞ x sin 1
x2 ； （10） xli→m∞ 1 + k
x
x
；
（11） lxi→m0 1 + x
2
x – 1
x ； （12） lxi→m0
（1 + 2tanx）cotx ；
（13） lxi→m0
（cosx） 1
1 – cosx ； （14） xli→m∞
x + 3
x
x + 2
．
解 （1） lxi→m0 sin3 x
sin4 x ＝ lxi→m0
sin3 x
3 x ? 3 x
sin4 x
4 x ? 4 x
＝ 3
4 lxi→m0
sin3 x
3 x
sin4 x
4 x
＝ 3
4 ．
（2） lxi→m0 tan3 x
sin5 x ＝ lxi→m0
sin3 x
3 x ? 3 x
cos3 x
sin5 x
5 x ? 5 x
＝ 3
5 ．
（3） xli→m∞ xsin 1
x ＝ xli→m∞
sin 1
x
1
x
＝ 1 ．
（4） 因为lxi→m0 x ＝ 0 ，而sin 1
x 为有界函数，即sin 1
x ≤ 1 ，所以
lxi→m0 xsin 1
x ＝ 0
（5） lxi→mπ sinx
π – x ＝ lxi→mπ sin（π – x）
π – x ＝ 1 ．
（6） lxi→m0
1 – cos2 x
xsinx ＝ 2 lxi→m0 sin2 x
xsinx ＝ 2 lxi→m0 sinx
x ＝ 2 ．
（7） nli→m∞
2n sin a
2n ＝ nli→m∞
sin a
2n
a
2n
? a ＝ a（ a ≠ 0） ．
（8） lxi→m0
x + 2sinx
x + sinx ＝ lxi→m0
1 + 2 sinx
x
1 + sinx
x
＝ 3
2 ．
（9） xl→im- ∞ x sin 1
x2 ＝ xl→im- ∞
– sin 1
x2
1
x2
＝ – 1 ．
（10） xli→m∞
1 + k
x
x
＝ xli→m∞
1 + k
x
x
k k
＝ ek ．
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