积分学理论

本书主要介绍了复数、复变量、复变函数、微分方程、重积分、线积分、傅里叶级数、C.A.恰普雷金院士的微分方程近似积分法等知识，其中着重介绍了重积分及其在几何学中的应用，同时配有相应的例题及解答。
本书适合高等院校数学专业师生和数学爱好者参考阅读。

Н.Н.鲁金(1883—1950)，苏联数学家。1901年进入莫斯科大学数学系物理组学习，受教于叶戈罗夫。1905年和1910年两次出国留学，受到数学家阿达马、E.博雷尔、勒贝格和兰道的影响1916年在叶戈罗夫的指导下获博士学位1917年任莫斯科大学教授。1927年后主要在苏联科学院斯捷克洛夫数学研究所工作。1929年当选为苏联科学院通信院士。他是波兰科学院外籍院士，以及波兰、印度、比利时、法国和意大利的数学会的名誉会员，还是莫斯科数学学派的创始人和代表人物，早期从事实变函数论的研究和教学。论文《积分与三角级数》对测度论的发展有重要影响1916—1920年，他与苏斯林、п.с.亚历山德罗夫合作创建了描述性集合论，发现了射影集，并进行深入研究，提出关于L2可积函数的傅里叶级数一定几乎处处收敛的猜测他在解析函数的边界性质、曲面的变形问题、解析集合论等问题上都有重要贡献．还为开辟经典分析和微分几何的应用范围做出贡献他培养了大批人才，数学家科尔莫戈罗夫、辛钦、п.с.亚历山德罗夫和п.с.诺维科夫等人都是他的学生。他在1930年著有《解析集合论讲义及其应用》。他对苏联高等学校教材的建设也做出了重要贡献。编著了微积分学教材。他对数学史也感兴趣，在职业生涯后期，发表了关于牛顿和欧拉的重要文章。1928年，他当选为波伦亚国际数学家大会副主席，1945年获授苏联政府劳动红旗勋章，火星上有以其名字命名的陨石坑。

第1章 复数，复变量及复变函数
1 复数的算术及代数
2 复数的几何表示法
3 复变量
4 复数项级数的理论
5 复变函数的概念
6 复变函数的连续性
7 导数及解析性
8 复变函数的微分法公式
9 幂级数
10 泰勒级数及其收敛圆
11 复变指数函数与三角函数
12 双曲函数
13 保角变换的概念
第2章 微分方程
1 微分方程及它的阶数与次数
2 微分方程的解与积分常量
3 微分方程解的验证
4 一阶一次微分方程
5 高阶微分方程的两个特殊类型
6 降阶法
7 二阶线性齐次方程的一般积分的形式
8 非齐次（带右边部分的）方程
9 拉格朗日的变化常量法（1）
10 常系数二阶线性方程
11 一般情形下，特殊解y*的求法
12 力学问题上的应用
13 常系数n阶线性微分方程
14 拉格朗日的变化常量法（2）
第3章 重积分
1 二元积分和1
2 二元积分和的几何意义
3 二重（定）积分
4 二重积分的几何意义
5 二重积分的计算法——矩形区域的情形
6 二重积分的计算法——由曲线围成的区域的一般情形
7 极坐标二重积分
8 柱体的体积
9 平面曲线所围成的面积
10 平面图形的重心
11 平面图形面积的惯性矩
12 曲面面积的一般计算法
13 利用三重积分求体积的方法
第4章 线积分
1 线积分的记号
2 线积分的来源
3 线积分的计算
4 当线积分∫ Pdx Qdy不依赖于积分路径而只依赖于端点的位置时的情形
5 全微分的解析检验法
6 线积分依赖于路径的情形——力所做的功
7 M.B.奥斯特罗格拉德斯基公式
8 左边为全微分的微分方程
9 积分因子
第5章 傅里叶级数
1 三角级数
2 傅里叶公式
3 预备定理
4 傅里叶级数的前n 1项和的表达式
5 傅里叶级数的收敛
6 谐量分析
7 关于误差的最小平均二乘方值
第6章 C.A.恰普雷金院士的微分方程近似积分法
1 C.A.恰普雷金微分不等式
2 C.A.恰普雷金法
3 无限近似法
4 C.A.恰普雷金法收敛的快慢程度