Loewner理论及其在力学中的应用

本书共6章, 第1至第3章为数学部分, 第4至第6章为力学部分.
第1章是共形映射的基础知识, 通过较为系统地介绍共形映射理论, 勾勒出Loewner理论根植生发的背景. 后续章节会引用共形映射理论的相关结论. 
第2章是本书的核心内容之一, 介绍了经典的Loewner参数表示法及其主要的发展演变成果, 涉及Loewner理论发展的几个重要节点及断裂分析中所需要的几种Loewner微分方程. 为了尽可能全面地展示Loewner理论发展的全貌, 本章还简略介绍了全纯映射半群与一般化的Loewner微分方程以及SLE等近期成果. 对这部分内容感兴趣的读者可进一步参阅有关著作, 特别是劳勒尔(G. F. Lawler)的著作(文献[8]). 
第3章主要介绍了共形映射变分法的内容, 涉及共形映射(单叶函数)的定性变分及定量变分、域内变分及边界变分等, 其中的Goluzin变分公式、Schiffer边界变分定理也是第6章进行动态断裂分析时要引用的结果.
第4章涉及平面弹性理论中的复变方法. 从数学力学的角度来看, 线弹性断裂问题不过是一般平面弹性问题的特例, 故本章内容可以作为后续用复变方法进行断裂分析的基础与起点. 这是一个相对成熟的研究方向, 国内外不少学者致力于其中, 研究成果十分丰富且文献众多. 我国已故数学家路见可教授在解析函数的边值问题领域深耕多年, 成就卓著, 并且在与该领域密切相关的平面弹性复变方法方面也颇有造诣, 特别是对带裂纹的平面弹性问题有其独到的见解, 这方面的研究成果汇集在他的著作(文献[12])中. 
第5章是关于线弹性断裂力学中复变方法的应用内容, 主要介绍了Muskhelishivili方法框架下裂纹问题的共形变换解法, 侧重对静态问题的讨论, 目的是让读者预先了解断裂分析中共形变换解法的基本步调, 为后续动态问题的分析作必要的铺垫. 
第6章为本书的第二个核心, 主要介绍了平面裂纹问题的动态分析方法及成果, 相关内容以复变方法特别是共形映射法的应用为线索来展开, 其中既有对Radok-范天佑方法等较早时期成果的介绍, 也有对动态断裂分析中新的数学方法与技巧应用的重点讨论, 涉及奥里加将单叶函数的Schiffer边界变分、弦Loewner微分方程引入动态断裂分析中的工作以及笔者将径向Loewner微分方程应用于动态断裂分析的工作. 

本书对共形映射方法在平面断裂动力学中的直接应用进行了探讨. 本书前半部分(第1~3章)介绍了共形映射的基本理论, 其中不仅涵盖了Riemann映射定理、边界对应等经典内容, 还从映射实现的角度对共形映射理论中深刻的Loewner参数表示法、共形映射的变分法进行了颇为详细的讨论. 特别值得一提的是, 书中较为全面地介绍了基于经典Loewner参数表示法发展而来的Loewner理论, 包括一般化的Loewner微分方程以及近年来十分活跃的随机Loewner演化等内容. 本书后半部分(第4~6章)以平面弹性理论中的复变方法为背景, 讨论了共形映射方法在平面线弹性断裂问题解析求解中的应用, 并融入了Loewner理论、变分法在动态断裂分析中的最新应用成果.
本书可供应用数学或力学专业的学生以及相关科技人员阅读或参考.