物理学中的群理论基础

《物理学中的群理论基础》是为物理学等专业群理论知识初学者编写的一部简明教程，主要内容包括群和群表示的基础知识、点群、转动群、置换群以及李群和李代数的基础知识。《物理学中的群理论基础》在传统群论教材的基础上增加了对类算子和类代数表示的介绍，以及群理论例题的较为详尽的推导。

目录
前言
第1章 群的基础知识 1
1.1 群 1
1.1.1 群的概念 1
1.1.2 群的重排定理 1
1.1.3 举例 2
1.2 子群和陪集 4
1.2.1 子群 4
1.2.2 陪集 5
1.2.3 类和不变子群 6
1.2.4 商群 7
1.3 群的同构与同态 8
1.3.1 同构 8
1.3.2 同态 9
1.4 群的直积和半直积 10
1.4.1 直积 10
1.4.2 半直积 11
习题 11
第2章 群的表示理论 13
2.1 群表示的概念 13
2.1.1 线性变换 (算子) 及其表示 13
2.1.2 对易算子完备集 (CSCO) 及其表示 14
2.1.3 群的线性表示 16
2.2 等价表示和不可约表示以及幺正 (酉) 表示 23
2.2.1 等价表示 23
2.2.2 可约表示 23
2.2.3 不可约表示 24
2.2.4 幺正 (酉) 表示 24
2.3 群代数和正则表示 25
2.3.1 群代数 25
2.3.2 正则表示 26
2.4 有限群的表示理论 29
2.4.1 舒尔引理 29
2.4.2 有限群表示的正交性和完备性 31
2.5 群表示的特征标理论 34
2.5.1 特征标的概念 34
2.5.2 特征标理论 34
2.6 群表示的直积和直积群的表示 37
2.6.1 群表示的直积 37
2.6.2 直积群的表示 40
2.7 类算子和类代数表示 40
2.7.1 类算子的表示 40
2.7.2 类代数的表示 42
习题 42
第3章 点群 44
3.1 空间操作类型 44
3.1.1 空间变换的一般形式 44
3.1.2 空间操作的基本类型 44
3.2 对称操作 46
3.2.1 对称操作的性质 46
3.2.2 对称操作的分类 48
3.3 点群 48
3.3.1 点群的性质 48
3.3.2 点群的分类 49
3.4 晶体点群 54
3.4.1 晶体制约定理 55
3.4.2 晶体点群的种类 55
3.4.3 晶体点群的符号表示 56
3.5 点群的不可约表示 57
习题 61
第4章 转动群 63
4.1 用欧拉角表示的SO(3)群元的一般形式 63
4.2 SU(2)群与SO(3)群的同态关系 64
4.2.1 SU(2)群 65
4.2.2 SO(3)群 65
4.3 SU(2)群和SO(3)群的不可约表示 67
4.3.1 SU(2)群的不可约表示 67
4.3.2 SO(3)群的不可约表示 69
4.4 su(2)代数与so(3)代数的同构关系 71
4.4.1 su(2)代数 71
4.4.2 so(3)代数 72
4.5 SO(3)群表示矩阵元的性质 75
4.6 SO(3)群表示的直积及C-G系数 76
习题 77
第5章 置换群 79
5.1 置换 79
5.1.1 置换的性质 79
5.1.2 轮换 80
5.2 Sn群的类 81
5.2.1 共轭置换 81
5.2.2 杨图 82
5.3 投影算子和幂等元 83
5.3.1 投影算子 83
5.3.2 幂等元 84
5.4 杨盘和杨算子 85
5.4.1 杨盘 85
5.4.2 杨算子 85
5.5 Sn群的不可约表示 88
习题 93
第6章 李群的基础知识 94
6.1 李群 94
6.1.1 李群的概念 94
6.1.2 李群举例 95
6.2 李群的生成元 100
6.2.1 无穷小生成元 100
6.2.2 李群的生成 101
6.3 洛伦兹群 106
6.3.1 洛伦兹变换 106
6.3.2 洛伦兹群的生成 108
6.4 李群的张量表示 110
习题 110
第7章 李代数的基础知识 111
7.1 李代数 111
7.1.1 李代数的概念 111
7.1.2 几种常见李代数 112
7.1.3 子代数和理想 113
7.2 李代数的表示 114
7.2.1 伴随表示 115
7.2.2 基林形式 115
7.2.3 根和邓金图 116
7.2.4 权 119
7.2.5 卡西米尔算子 120
习题 122
主要参考文献 123